円を正方形にする

円積問題は、古代ギリシャの数学で初めて提起された幾何学の問題である。これは、コンパスと定規を用いて限られた手順で、与えられた円と同じ面積を持つ正方形を作図するという課題である。この問題の難しさから、直線と円の存在に関するユークリッド幾何学の特定の公理が、このような正方形の存在を必然的に示唆するのかどうかという疑問が生じた。

1882年、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理により、この課題は不可能であることが証明されました。この定理は、π (${\displaystyle \pi }$) は超越数です。つまり、${\displaystyle \pi }$は有理係数を持つ多項式の根ではない。 が成り立つ場合、その構成は不可能であることが何十年も前から知られていた。${\displaystyle \pi }$それらは超越論的であったが、その事実は1882年まで証明されなかった。任意の不完全な精度で近似的な構成は存在し、そのような構成は数多く発見されている。

不可能であることが証明されているにもかかわらず、円を正方形にしようとする試みは数学的な奇抜さにおいてよく見られる。「円を正方形にする」という表現は、不可能なことをしようとする比喩として使われることがある。^{[ 1 ]}円の求積 という用語は、円の正方形化の同義語として使われることがある。また、円の面積を求めるための近似法や数値的方法を指す場合もある。一般に、求積法や正方形化は他の平面図形にも適用できる。

与えられた円のおおよその面積を計算する方法は、円積問題の先駆けとなる問題と考えることができ、多くの古代文化ですでに知られていました。これらの方法は、それらが生成するπの近似値を示すことで要約できます。紀元前2000年頃、バビロニアの数学者は近似値を使用しました。$\displaystyle \pi \approx \tfrac {25}{8​​}}=3.125$ほぼ同時期に古代エジプトの数学者たちは$\displaystyle \pi \approx \tfrac {256}{81}}\approx 3.16$1000年以上後、旧約聖書の列王記ではより単純な近似式が用いられた。${\displaystyle \pi \approx 3}$[ ^{2 ]}シャタパタ・ブラーフマナとシュルバ・スートラに記録されている古代インドの数学では、いくつかの異なる近似法が用いられ^、${\displaystyle \pi }$^{[ 3 ]}アルキメデスは円の面積の公式を証明し、それによると、$\displaystyle 3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3.141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3.143}$[ ^{2 ]}中国の数学では、西暦3世紀に劉徽がアルキメデスの方法に似た方法を用いてさらに正確な近似値を見つけ、5世紀には^祖崇之が${\displaystyle \pi \approx 355/113\approx 3.141593}$ミルと呼ばれる近似法。^{[ 4 ]}

面積が円の近似値ではなく、円と全く同じ面積を持つ正方形を作図するという問題は、ギリシャ数学に由来する。ギリシャの数学者たちは、コンパスと定規を用いて、任意の多角形を同等の面積を持つ正方形に変換する作図法を発見した。 ^{[ 5 ]}彼らはこの作図法を用いて、現代数学でより一般的な面積の数値計算ではなく、幾何学的に多角形の面積を比較した。数世紀後にプロクロスが記したように、これが多角形以外の形状との比較を可能にする方法の探求を促したのである。

この問題を研究した最初のギリシャ人として知られているのは、獄中でこの問題に取り組んだアナクサゴラスである。キオスのヒポクラテスは、円弧で囲まれた形状、すなわちヒポクラテスの三日月形を見つけることでこの問題に取り組んだ。この三日月形は正方形にすることができる。ソフィストのアンティフォンは、正多角形を円の中に内接させ、辺の数を倍にすれば、最終的には円の面積が埋まるだろうと信じていた（これは、尽くしの方法である）。どんな多角形も正方形にすることができるので^{[ 5 ]} 、円も正方形にすることができると彼は主張した。これに対し、エウデモスは、大きさは無限に分割できるので、円の面積は決して使い尽くされることはないと主張した^{[ 7 ]} 。アンティフォンと同時期に、ヘラクレアのブリソンは、大きい円と小さい円の両方が存在するので、同じ面積の円が存在するはずだと主張した。この原理は、現代の中間値の定理の一形態と見なすことができる。^{[ 8 ]}コンパスと定規のみを使用してすべての幾何学的作図を実行するというより一般的な目標は、しばしばオエノピデスに帰せられてきたが、その証拠は状況証拠に過ぎない。^{[ 9 ]}

任意の曲線の下の面積を求める問題は、現在では微積分学では積分、数値解析では求積法として知られていますが、微積分学が発明される前は、平方化として知られていました。 ^{[ 10 ]} 微積分学の手法が知られていなかったため、一般的には、コンパスと定規を使って幾何学的作図によって平方化を行うべきだと考えられていました。例えば、ニュートンは1676年にオルデンブルクに宛てて、「M.ライプニッツは、私の手紙の冒頭4ページにある曲線を幾何学的に平方化する定理を嫌がらないと思います」と書いています。^{[ 11 ]}現代の数学では、これらの用語の意味は分かれており、一般的には微積分学の手法が許容される場合に求積法が使用され、曲線の平方化は、制限された幾何学的手法のみを使用するという考え方を保持しています。

1647年にグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンが円積算を試みた『Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum』は、ヴァンサン・レオトーから激しく批判された。^{[ 12 ]}それにもかかわらず、ド・サン＝ヴァンサンは双曲線の積分に成功し、その過程で自然対数を最初に開発した人物の一人となった。^{[ 13 ]}ジェームズ・グレゴリーは、ド・サン＝ヴァンサンに倣い、1667年に『Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura』 （円と双曲線の真の積分）で円積算の不可能性を別の形で証明しようと試みた。彼の証明は不完全であったが、代数的性質を用いてこの問題を解決しようとした最初の論文であった。${\displaystyle \pi }$[ ^{14 ] [ 15 ]ヨハン・ハインリヒ・}ランベルトは1761年に、${\displaystyle \pi }$π は無理数です。^{[ 16 ] [ 17 ]}フェルディナント・フォン・リンデマンがπが超越数であることをより強く証明することに成功したのは1882 年になってからで、その際にコンパスと定規で円を正方形にすることは不可能であることも証明しました。^{[ 18 ] [ 19 ]}

リンデマンの不可能性証明の後、この問題は専門の数学者によって解決済みとみなされ、その後の数学史は、主にアマチュアによる円積構成の疑似数学的試みと、それらの試みの反証によって支配されている。 ^{[ 20 ]}また、スリニヴァーサ・ラマヌジャンを含む後世の数人の数学者は、コンパスと定規を使った構成を開発し、少数の手順でこの問題を正確に近似した。^{[ 21 ] [ 22 ]}

古代の古典的な問題で、解けないことで有名なものが他に2つある。それは立方体の倍増と角の三等分である。円積問題と同様に、これらはコンパスと定規では解けない。しかし、円積問題とは異なり、その解は超越式ではなく、三次方程式の根を含む。したがって、これらの問題の解を構築するには、コンパスと定規による作図よりも強力な方法、例えばネウシス作図や数学的な紙折りなどを用いることができる。^{[ 23 ] [ 24 ]}

コンパスと定規を使って円を正方形にする問題の解決には、数の構成が必要です。${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$、面積が単位円の面積に等しい正方形の一辺の長さ。${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$が作図可能な数であれば、標準的なコンパスと定規の作図から次のことが導かれるだろう。${\displaystyle \pi }$円も作図可能となる。1837年、ピエール・ワンツェルは、コンパスと定規で作図可能な長さは、有理係数を持つ特定の多項式方程式の解でなければならないことを示した。^{[ 25 ] [ 26 ]}したがって、作図可能な長さは代数的数でなければならない。円がコンパスと定規のみで正方形にできるとすれば、${\displaystyle \pi }$は代数的な数でなければならない。フェルディナント・フォン・リンデマンが超越性を証明したのは1882年のことだった。${\displaystyle \pi }$そして、この構成の不可能性を示した。リンデマンのアイデアは、オイラー数の超越性の証明と組み合わせることであった。${\displaystyle e}$1873年にシャルル・エルミートによって示されたオイラーの等式$${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$$ この恒等式は、${\displaystyle \pi }$は無理数である。なぜなら、超越数の有理数乗は超越数のままだからである。リンデマンはこの議論を、代数的べき乗の線形独立性に関するリンデマン＝ワイエルシュトラスの定理によって拡張することができた。${\displaystyle e}$示すために${\displaystyle \pi }$は超越的であるため、円積問題は不可能である。^{[ 18 ] [ 19 ]}

補助的な道具を導入したり、コンパスと定規の操作を無限に許可したり、特定の非ユークリッド幾何学で操作を実行したりすることでルールを曲げると、ある意味で円の正方形化が可能になります。たとえば、ディノストラトスの定理はヒッピアスの四分円を使用して円を正方形化します。つまり、この曲線が何らかの方法で既に与えられている場合、面積が等しい正方形と円をそこから構成できます。アルキメデス螺旋は、別の同様の構成に使用できます。^{[ 27 ]}しかし、ネウシス構成では、特定の代数比しか構成できず、この問題に必要な超越比を構成できないため、円を正方形化することはできません。^{[ 28 ]} 円はユークリッド空間では正方形化できませんが、用語を適切に解釈すると、双曲幾何学では正方形化できる場合があります。双曲平面には正方形（4つの直角と4つの等しい辺を持つ四角形）は含まれず、代わりに正四角形、つまり4つの等しい辺と直角よりも鋭い4つの等しい角を持つ図形が含まれます。双曲平面には、面積が等しい作図可能な円と作図可能な正四角形のペアが（可算に）無限に存在しますが、これらは同時に作図されます。任意の正四角形から始めて面積が等しい円を作図する方法はありません。同様に、任意の円から始めて面積が等しい正四角形を作図する方法はなく、十分に大きな円にはそのような四角形は存在しません。^{[ 29 ] [ 30 ]}

コンパスと定規で円を正確に正方形にすることは不可能ですが、円の正方形化の近似値は、${\displaystyle \pi }$任意の有理近似を変換するには、初等幾何学のみが必要です。${\displaystyle \pi }$対応するコンパスと定規を用いた作図法も存在するが、そのような作図法は得られる精度に比べて非常に手間がかかる傾向がある。正確な問題が解けないことが証明された後、一部の数学者は、円積問題を解くための近似法を見つけるために創意工夫を凝らし、同様の精度が得られる他の作図法の中でも特に単純なものを探した。

コハンスキによる建設

コハンスキーの近似構造

面積が等しい円と正方形に関する続き。${\displaystyle r}$初期半径を表す

初期の歴史的なコンパスと定規による近似作図法の1つは、1685年にポーランドのイエズス会士アダム・アダマンディ・コハンスキが書いた論文からのもので、${\displaystyle \pi }$小数点以下第5位まで。より正確な数値近似値では${\displaystyle \pi }$すでに知られているように、コハンスキーの構成法は非常に単純であるという利点がある。^{[ 31 ]}左の図では $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx {\frac {|P_{3}P_{9}|}{|P_{1}P_{2}|}}={\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\\[3mu]&=3.141\;5{\color {red}33\,338\;\ldots }\end{aligned}}}$$ 同じ研究で、コチャンスキーは、より精度の高い一連の有理近似式も導出した。${\displaystyle \pi }$[ ^{32 ]​}

355/113を使用した構造

ジェイコブ・デ・ゲルダーの 355/113 構造

ラマヌジャンの355/113構成

ヤコブ・デ・ゲルデルは1849年に近似に基づいた構成を発表した。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx {\frac {355}{113}}\\[3mu]&=3.141\;592{\color {red}\;920\;\ldots }\end{aligned}}}$$ この値は小数点以下6桁まで正確で、中国では5世紀からMilüとして、ヨーロッパでは17世紀から知られています。^{[ 33 ]}

ゲルデルは正方形の一辺を作図しなかった。彼にとって必要なのは値を求めることだけだった。 $${\displaystyle {\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$$ この図は、デ・ゲルデルの構造を示している。

1914年、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、同じ近似に対する別の幾何学的構成を与えた。^{[ 21 ] [ 22 ]}

黄金比を用いた建築

ホブソンの黄金比構成

ディクソンの黄金比構成

ベアトリクスの13段階の建設

1913年にEWホブソンが行った近似計算^{[ 33 ]}は、小数点以下3桁まで正確である。ホブソンの計算は、次の近似値に対応する。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx {\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)\\[3mu]&=3.141\;{\color {red}640\;\ldots },\end{aligned}}}$$どこ${\displaystyle \varphi }$黄金比は、${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}$。

同じ近似値は、1991 年にRobert Dixonによって作成された構成にも現れています。^{[ 34 ]} 2022 年に Frédéric Beatrix は、 13 のステップで幾何学的構成を発表しました。^{[ 35 ]}

ラマヌジャンによる2番目の建築

円の正方形化、1914年のラマヌジャンによる近似作図、作図の続き（破線、平均比例赤線）、アニメーションを参照。

「スリニヴァーサ・ラマヌジャンの手稿第1巻」のスケッチ、54ページ、ラマヌジャンの355/113構成

1914年、ラマヌジャンは、近似値を取ることと同等の構成を与えた。${\displaystyle \pi }$である $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}\\[3mu]&=3.141\;592\;65{\color {red}2\;582\;\ldots }\end{aligned}}}$$ 小数点以下8桁を表示${\displaystyle \pi }$[ ^{21 ] [ 22 ]} 彼は線分OSの構成を次のように説明している^{。[ 21 ]}

中心が O である円の直径を AB (図 2) とする。円弧 ACB を C で二等分し、AO を T で三等分する。BC を結び、そこから CM と MN を切り取り、AT と等しくする。AM と AN を結び、AN から AP を切り取り、AM と等しくする。P を通って MN に平行で、AM と Q で交わる PQ を引く。OQ を結び、T を通って OQ に平行で、AQ と R で交わる TR を引く。AO に垂直で AR と等しく AS を引き、OS を結ぶ。すると、OS と OB の平均比例は円周の 6 分の 1 に非常に近い値となり、直径が 8000 マイルの場合、誤差は 12 分の 1 インチ未満となる。

晩年、イギリスの哲学者トーマス・ホッブズは円積問題を解いたと確信していたが、この主張はホッブズ＝ウォリス論争の一環としてジョン・ウォリスによって否定された。^{[ 36 ]} 18世紀から19世紀にかけて、円積問題は経度問題と何らかの関係があり、解決すれば高額の報酬が得られるという誤った考えが、円積問題に取り組む人々の間で広まった。^{[ 37 ] [ 38 ]} 1851年、ジョン・パーカーは『円積の求積』という本を出版し、その中で円積問題を解いたと主張した。彼の方法は実際には近似値しか得られなかった。${\displaystyle \pi }$6桁まで正確です。^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}

ヴィクトリア朝時代の数学者、論理学者、作家であるチャールズ・ラトウィッジ・ドジソン（ペンネームはルイス・キャロル）もまた、非論理的な円積理論を暴くことに興味を示していた。1855年の日記の1つで、ドジソンは「円積理論家のための平易な事実」というタイトルの本を含め、自分が書きたいと思っていた本を列挙した。「平行線の新理論」の序文で、ドジソンは円積理論家2人に論理的誤りを証明しようとした試みについて語り、次のように述べている。^{[ 42 ]}

オーガスタス・ド・モーガンの著書『パラドックスの予算』には、円積法を揶揄する記述が見られる。この本は、1872年に彼の未亡人によって死後出版された。彼はもともと『アテネウム』誌に一連の記事としてこの著作を発表しており、死去時には出版に向けて改訂作業を行っていた。円積法は19世紀以降人気が衰退したが、ド・モーガンの著作がそれに拍車をかけたと考えられている。^{[ 20 ]}

不可能であることが証明された後も、1894年にアマチュア数学者のエドウィン・J・グッドウィンは、円積を求める方法を開発したと主張した。しかし、彼が開発した手法は円積を正確に求めるものではなく、円の面積を誤って算出し、結果的に円の定義を根本的に覆すものであった。${\displaystyle \pi }$3.2 と等しいとされた。グッドウィンはその後、インディアナ州議会でインディアナ円周率法案を提出し、州が彼に使用料を支払うことなく教育で彼の方法を使用することを許可した。この法案は州議会では反対なく可決されたが、報道機関からの嘲笑が強まる中、上院では棚上げされ、採決されることはなかった。^{[ 43 ]}

数学の奇人カール・セオドア・ハイゼルも、1934年の著書『見よ！ ：もはや未解決ではない大問題：反論の余地なく円を正方形にした』の中で円積問題を解決したと主張した。^{[ 44 ]}ポール・ハルモスはこの本を「古典的な奇人論」と呼んだ。^{[ 45 ]}

円を四角にする問題は、さまざまな比喩的な意味合いで、幅広い文学時代にわたって言及されてきた。 ^{[ 46 ]}その文学的使用は少なくとも紀元前414年に遡り、アリストパネスの戯曲『鳥』が初演された。その中で、アテナイのメトンという登場人物は、円を四角にすることについて言及しており、おそらく彼の理想郷の逆説的な性質を示すためであろう。^{[ 47 ]}

ダンテの『神曲』天国篇第33歌133～135行には、次の詩句が含まれている。

ダンテにとって、円を正方形にすることは人間の理解を超えた課題であり、それは彼自身が天国を理解できないことと似ている。^{[ 48 ]}ダンテのこのイメージは、ウィトルウィウスの著作の一節を思い起こさせる。この一節は、後にレオナルド・ダ・ヴィンチの『ウィトルウィウス的人体図』で、円と正方形に同時に内接する人物として有名になった。^{[ 49 ]}ダンテは円を神の象徴として用いており、イエスの神性と人間性の同時性に関連して、この形状の組み合わせに言及した可能性がある。^{[ 46 ] [ 49 ]}以前、第13歌で、ダンテはギリシャの円を正方形にすることの達人ブリソンが知恵ではなく知識を求めたと非難している。^{[ 46 ]}

17世紀の詩人マーガレット・キャベンディッシュのいくつかの作品は、円四角化問題とその比喩的な意味について詳しく述べており、真理の統一性と派閥主義の対比や、「空想と女性の本性」を合理化することの不可能性などが含まれている。^{[ 46 ]} 1742年にアレクサンダー・ポープが『ダンシアード』の第4巻を出版した頃には、円四角化の試みは「無益で実りのない」ものと見なされるようになっていた。^{[ 40 ]}

同様に、ギルバートとサリバンの喜劇オペラ『プリンセス・アイダ』には、主人公が運営する女子大学の不可能な目標を風刺的に列挙した歌があり、その中には永久機関の発見などが含まれている。これらの目標の1つは「そして円は、いつか必ず正方形になるだろう」である。^{[ 50 ]}

12世紀にアルノー・ダニエルによって初めて用いられた詩の形式であるセスティナは、 6行からなる6つのスタンザと6つの単語を繰り返す円形の構成を用いることで、比喩的に円を正方形にしていると言われている。スパノス（1978）は、この形式は円が天を、正方形が地を表すという象徴的な意味を喚起すると述べている。^{[ 51 ]}同様の比喩は、 O・ヘンリーの1908年の短編小説「円を正方形にする」で用いられている。この小説は、長年にわたる家族間の確執を描いたもので、タイトルでは円が自然界を、正方形が都市、すなわち人間の世界を表している。^{[ 52 ]}

後の作品では、ジェイムズ・ジョイスの小説『ユリシーズ』のレオポルド・ブルームやトーマス・マンの『魔の山』の弁護士パラヴァントのような円積論者は、悲しいほどに思い違いをしている、あるいは世間知らずの夢想家として描かれ、数学的に不可能なことに気づかず、決して達成できない結果のために壮大な計画を立てている。^{[ 53 ] [ 54 ]}

• ミニヴァー夫人の問題― 交差する円の面積に関する問題 
• 丸四角コピュラ– 撞着語法の哲学的考察リダイレクト先の短い説明を表示するページ 
• スクワークル– 正方形と円の中間の形 
• タルスキーの円正方形化問題― 円盤を切断して正方形に再構成する問題 

• ボゴモルニー、アレクサンダー。「円を四角にする」。cut -the-knot。
• グライム、ジェームズ（2013年3月25日）。「円を四角にする」。Numberphile 。ブレイディ・ハラン– YouTube経由。
• ハーパー、スーザン；ドリスケル、シャノン（2010年8月）「歴史的幾何学的構成の調査」『収束』アメリカ数学協会。
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (1999年4月) 「円積問題」 MacTutor数学史アーカイブ。
• Otero, Daniel E. (2010年7月). 「円の求積とヒポクラテスのルーネス」 . Convergence . アメリカ数学協会.
• ポルスター、ブルクハルト（2019年6月29日）。「2000年間未解決：なぜ立方体の倍数化と円積化は不可能なのか？」。Mathologer – YouTube経由。