ヒッピアスの四角形

正方形を考えてみましょう${\displaystyle ABCD}$、そして中心が の内接四分円弧${\displaystyle A}$半径が正方形の一辺に等しいとする。${\displaystyle E}$から弧に沿って一定の角速度で移動する点である。${\displaystyle D}$に${\displaystyle B}$、そして${\displaystyle F}$一定の速度で同時に移動する点である${\displaystyle D}$に${\displaystyle A}$線分に沿って${\displaystyle {\overline {AD}}}$、 となることによって${\displaystyle E}$そして${\displaystyle F}$同時に開始する${\displaystyle D}$そして同時に到着する${\displaystyle B}$そして${\displaystyle A}$すると、四分円は線分の交点の軌跡として定義される。${\displaystyle {\overline {AE}}}$平行線で${\displaystyle {\overline {AB}}}$を通して${\displaystyle F}$[ ^{2 ] [ 3 ]​}

平面内に回転運動をする直線と平行移動をする直線の 2 つの直線があり、この全体集合が平面に垂直な方向に 3 次元空間を直線的に移動していると仮定します。すると、平面と平行移動をする直線の合成運動は傾斜面を描き、平面と回転する直線の合成運動はらせんを描きます。 2 つの直線が交わる点は空間曲線を描き、その曲線を元の平面に投影すると四分円になります。アレクサンドリアのパップスは、この構成を逆にできることに気付きました。らせんを適切な傾斜面と交差させ、その交点の曲線を平面に投影すると四分円を形成できるのです。^{[ 4 ]}

定義する正方形が${\displaystyle ABCD}$四分円の は正の象限にあり、${\displaystyle A}$起源において${\displaystyle (0,0)}$そして${\displaystyle B}$地点で${\displaystyle (a,0)}$どこ${\displaystyle a}$は正方形の一辺の長さです。この定義では、2 つの定義線の動きを反転させて、それらが 上で同時に始まるようにすると便利です。${\displaystyle x}$時刻における軸${\displaystyle t=0}$そして、交差して終わる${\displaystyle D}$その時${\displaystyle t={\tfrac {\pi }{2}}}$この反転によって、線が描く曲線は変化しません。すると、四分円は、曲線上の各点の座標を時間パラメータの関数として表す媒介変数方程式で記述できます。${\displaystyle t}$、 として $${\displaystyle x(t)={\frac {2a}{\pi }}t\cot(t)}$$ そして $${\displaystyle y(t)={\frac {2a}{\pi }}t,}$$ どこ${\displaystyle \cot }$は余接関数です。^{[ 5 ]}

この記述は、幾何学的定義ではなく解析的定義を四分円に与え、それを次の値に拡張するためにも使用できます。${\displaystyle t}$を超えて${\displaystyle (0,{\tfrac {\pi }{2}}]}$区間。ただし、拡張曲線は、以下の値では定義されないままです。${\displaystyle t}$の整数倍である${\displaystyle \pi }$、 なぜなら${\displaystyle \cot(t)}$これらの値では特異です。${\displaystyle t=0}$特異点は極限を用いて評価することで除去できる。${\displaystyle \lim _{t\to 0}t\cot(t)=1}$は、ロピタルの定理を用いて恒等関数と正接関数の比として得られる。このようにして特異点を除去し、パラメトリック定義を負の値に拡張する。${\displaystyle t}$パラメータ値の範囲で連続的な平面曲線が得られる${\displaystyle -\pi <t<\pi }$この曲線の部分は中心と見なすことができます${\displaystyle \supset }$図の 字型の枝。^{[ 5 ]}

複素平面上で左右反転させ、適切に拡大縮小すると、四分円はランベルトW関数の1つの枝の実軸の像を形成する。他の枝の像は、四分円の上と下の曲線、および実軸自体で構成される。^{[ 6 ]}

四分円を分岐のない関数のグラフとして記述するには、${\displaystyle y}$-軸と${\displaystyle x}$-軸、つまり側面を配置する${\displaystyle {\overline {AB}}}$で${\displaystyle y}$軸上ではなく${\displaystyle x}$軸。すると、二次曲線は関数のグラフを形成します^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle f(x)=x\cdot \cot \left({\frac {\pi }{2a}}\cdot x\right).}$$

ディノストラトスの定理によれば、四分法は対応する正方形の一辺を次の比率で分割する。${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}$より正確には、正方形の場合${\displaystyle ABCD}$曲線を定義するために使用する、${\displaystyle J}$曲線の端点をエッジとする${\displaystyle AB}$。 それから $${\displaystyle {\frac {\overline {AJ}}{\overline {AB}}}={\frac {2}{\pi }},}$$ 四角形のパラメトリック方程式からわかるように${\displaystyle t=0}$そして、それを制御する関数の限界挙動${\displaystyle x}$-そのパラメータ値における座標、${\displaystyle \lim _{t\to 0}t\cot t=1}$[ ^{2 ]​}

要点${\displaystyle J}$四分円が辺と交わる場所${\displaystyle {\overline {AB}}}$関連する正方形の 1 つは、定規とコンパスだけでは作図できない、また四分円コンパスを使っても作図できない四分円の点です。これは、（ニカイアのスポルスがすでに指摘したように）2 つの等速直線が一致し、したがって一意の交点が存在しないためです。^{[ 14 ]}しかし、関数または平面曲線としての四分円の一般化された定義に頼ることで、${\displaystyle J}$四分円上の点である。^{[ 15 ] [ 14 ]}

半径が与えられた四分円の場合${\displaystyle r}$関連する正方形を構築する${\displaystyle ABCD}$辺の長さ${\displaystyle r}$四分円は辺と交わる${\displaystyle {\overline {AB}}}$で${\displaystyle J}$と$\displaystyle \left|{\overline {AJ}}\right|={\tfrac {2}{\pi }}r}$さあ、線分を作図しよう。${\displaystyle {\overline {JK}}}$長さ${\displaystyle r}$垂直であること${\displaystyle {\overline {AB}}}$.次に、線が通る${\displaystyle A}$そして${\displaystyle K}$辺の延長線と交差する${\displaystyle {\overline {BC}}}$で${\displaystyle L}$そして切片定理から次のことが導かれる${\displaystyle \left|{\overline {BL}}\right|={\tfrac {\pi }{2}}r}$拡張${\displaystyle {\overline {AB}}}$右側に新しい線分を加える$\displaystyle \left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}}$長方形を生成する ${\displaystyle BLNO}$サイド付き${\displaystyle {\overline {BL}}}$そして${\displaystyle {\overline {BO}}}$その面積は四分円の面積と一致する。この長方形は、ユークリッドの幾何平均の定理を用いて、同じ面積の正方形に変換することができる。辺を延長する。${\displaystyle {\overline {ON}}}$線分によって$\displaystyle \left|{\overline {OQ}}\right|=\left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}}$そして右に半円を描く${\displaystyle {\overline {NQ}}}$これには${\displaystyle {\overline {NQ}}}$その直径として。${\displaystyle {\overline {BO}}}$半円に出会う${\displaystyle {\overline {R}}}$そしてタレスの定理により線分は${\displaystyle {\overline {OR}}}$は直角三角形の高さです${\displaystyle QNR}$したがって幾何平均の定理を適用することができ、それはつまり${\displaystyle {\overline {OR}}}$正方形の一辺を形成する${\displaystyle OUSR}$長方形と同じ面積${\displaystyle BLNO}$したがって、四分円として。^{[ 13 ]}