定義 これは線形微分方程式 であるため、解は任意の振幅にスケーリングできます。関数に選択された振幅は、関数が微分方程式の解ではなく定積分の解 として現れた初期の研究に由来します。微分方程式は2階であるため、線形独立な 解が2つ存在する必要があります。1つは第1種、もう1つは第2種です。ただし、状況によっては、これらの解のさまざまな定式化が便利です。さまざまなバリエーションは、以下の表にまとめられ、次のセクションで説明されています。添え字n は通常、α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha }
Bessel functions of the second kind and the spherical Bessel functions of the second kind are sometimes denoted by Nn and nn , respectively, rather than Yn and yn .[ 4] [ 5]
Jα Plot of Bessel function of the first kind, J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} α = 0 , 1 , 2 {\displaystyle \alpha =0,1,2} Plot of Bessel function of the first kind J α ( z ) {\displaystyle J_{\alpha }(z)} α = 0.5 {\displaystyle \alpha =0.5} − 4 − 4 i {\displaystyle -4-4i} 4 + 4 i {\displaystyle 4+4i} Bessel functions of the first kind, denoted as Jα (x ) α , Bessel functions of the first kind are finite at the origin (x = 0 α , Bessel functions of the first kind diverge as x approaches zero. It is possible to define the function by x α {\displaystyle x^{\alpha }} Maclaurin series (note that α need not be an integer, and non-integer powers are not permitted in a Taylor series), which can be found by applying the Frobenius method to Bessel's equation:[ 6] J α ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α , {\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },} Γ(z ) is the gamma function , a shifted generalization of the factorial function to non-integer values. Some earlier authors define the Bessel function of the first kind differently, essentially without the division by 2 {\displaystyle 2} x / 2 {\displaystyle x/2} [ 7] entire function if α is an integer, otherwise it is a multivalued function with singularity at zero. The graphs of Bessel functions look roughly like oscillating sine or cosine functions that decay proportionally to x − 1 / 2 {\displaystyle x^{-{1}/{2}}} x が大きい場合の漸近的な場合を除いて、それらの根は一般に周期的ではない。（この級数は、− J 1 ( x )が J 0 ( x )−sin x がcos x の導関数であるのとよく似ている。より一般的には、 J n ( x )下記の 恒等式によってJ n ± 1x )
非整数α の場合、関数J α ( x )J − α ( x )n の場合、次の関係が成り立ちます (ガンマ関数は各非正整数で単純極を持ちます)。[ 8 ] J − n （ x ） = （ − 1 ） n J n （ x ） 。 {\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}
これは、2つの解がもはや線形独立ではないことを意味します。この場合、2番目の線形独立な解は、後述するように、第2種ベッセル関数であることがわかります。
n が整数値の場合のベッセル関数の別の定義は、積分表現を使用して可能です。[ 9 ] J n （ x ） = 1 π ∫ 0 π コス （ n τ − x 罪 τ ） d τ = 1 π 再 （ ∫ 0 π e 私 （ n τ − x 罪 τ ） d τ ） 、 {\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau \right),} [ 10 ]
これはベッセルが用いたアプローチであり、[ 11 ] Re( x ) > 0 の場合、シュレーフリの積分の一つによって非整数次数に拡張することができる。 [ 9 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] J α （ x ） = 1 π ∫ 0 π コス （ α τ − x 罪 τ ） d τ − 罪 （ α π ） π ∫ 0 ∞ e − x シン t − α t d t 。 {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}
超幾何級数との関係 ベッセル関数は、一般化超幾何級数を用いて 次のように表すことができる[ 16 ]。 J α （ x ） = （ x 2 ） α Γ （ α + 1 ） 0 F 1 （ − ; α + 1 ; − x 2 4 ） 。 {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(-;\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}
この表現は、ベッセル・クリフォード関数 の観点からベッセル関数を展開することに関連しています。
ラゲール多項式との関係 ラゲール多項式 L k と任意に選択されたパラメータt に関して、ベッセル関数は次のように表すことができます[ 17 ] J α （ x ） （ x 2 ） α = e − t Γ （ α + 1 ） ∑ k = 0 ∞ L k （ α ） （ x 2 4 t ） （ k + α k ） t k k ! 。 {\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}
I α 、K α ベッセル関数は複素 引数x に対しても有効であり、重要な特殊なケースとして純虚数引数の場合がある。この場合、ベッセル方程式の解は第 1 種および第 2 種の 変形ベッセル関数 (または双曲線ベッセル関数 )と呼ばれ、 [ 24 ] 私 α （ x ） = 私 − α J α （ 私 x ） = ∑ m = 0 ∞ 1 m ! Γ （ m + α + 1 ） （ x 2 ） 2 m + α 、 K α （ x ） = π 2 私 − α （ x ） − 私 α （ x ） 罪 α π 、 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}} α が整数でない 場合。αが 整数の場合は極限が使用されます。これらは、実数かつ正の引数xに対して実数値となるように選択されます。したがって、 I α ( x )J α ( x )(−1) m 因子はありません。
K α {\displaystyle K_{\alpha }} K α （ x ） = { π 2 私 α + 1 H α （ 1 ） （ 私 x ） − π < 引数 x ≤ π 2 π 2 （ − 私 ） α + 1 H α （ 2 ） （ − 私 x ） − π 2 < 引数 x ≤ π {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}
これら2つの公式を使用すると、結果はJ α 2 （ z ） + Y α 2 （ z ） {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)+Y_{\alpha }^{2}(z)} 。 J α 2 （ x ） + Y α 2 （ x ） = 8 π 2 ∫ 0 ∞ コッシュ （ 2 α t ） K 0 （ 2 x シン t ） d t 、 {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}
条件Re( x ) > 0 が満たされると仮定すると、次のことも示せる。 J α 2 （ x ） + Y α 2 （ x ） = 8 コス （ α π ） π 2 ∫ 0 ∞ K 2 α （ 2 x シン t ） d t 、 {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,} | Re( α ) | < 1 / 2 かつ Re( x ) ≥ 0 の x = 0[ 25 ]
第１および第２ベッセル関数は、修正ベッセル関数を用いて表現できます（これらは− π < arg z ≤ π / 2 の場合に有効です ） ：[ 26 ] J α （ 私 z ） = e α π 私 2 私 α （ z ） 、 Y α （ 私 z ） = e （ α + 1 ） π 私 2 私 α （ z ） − 2 π e − α π 私 2 K α （ z ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}
I α ( x )K α ( x )は、修正ベッセル方程式 の 2 つの線形独立解です。 [ 27 ] x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − （ x 2 + α 2 ） y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}
通常のベッセル関数は実引数の関数として振動するのに対し、I α とK α はそれぞれ指数関数的に増加 および減少する 関数です。通常のベッセル関数J α と同様に、関数I αは α > 0 の場合はx = 0α = 0 の場合はx = 0 で有限になります。同様に、K αは x = 0 で発散し、特異点はK 0 1 / 2 Γ( | α | )(2/ x ) | α | [ 28 ]
修正ベッセル関数の 2 つの積分公式は ( Re( x ) > 0 の場合) : [ 29 ] 私 α （ x ） = 1 π ∫ 0 π e x コス θ コス α θ d θ − 罪 α π π ∫ 0 ∞ e − x コッシュ t − α t d t 、 K α （ x ） = ∫ 0 ∞ e − x コッシュ t コッシュ α t d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}
ベッセル関数は、二次関数のべき乗のフーリエ変換として記述できます。例えば（Re(ω) > 0 の場合）： 2 K 0 （ ω ） = ∫ − ∞ ∞ e 私 ω t t 2 + 1 d t 。 {\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}
これは、K₀ に対する
第2種の変形ベッセル関数はバセットの積分[ 30 ]で表すことができる。 K n （ x z ） = Γ （ n + 1 2 ） （ 2 z ） n π x n ∫ 0 ∞ コス （ x t ） d t （ t 2 + z 2 ） n + 1 2 。 {\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}
変形ベッセル関数K 1/3 K 2/3 [ 31 ] K 1 3 （ ξ ） = 3 ∫ 0 ∞ exp （ − ξ （ 1 + 4 x 2 3 ） 1 + x 2 3 ） d x 、 K 2 3 （ ξ ） = 1 3 ∫ 0 ∞ 3 + 2 x 2 1 + x 2 3 exp （ − ξ （ 1 + 4 x 2 3 ） 1 + x 2 3 ） d x 。 {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}
修正ベッセル関数K 1 2 （ ξ ） = （ 2 ξ / π ） − 1 / 2 exp （ − ξ ） {\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )} ラプラス分布を 正規分布の指数スケール混合として表現することは有用である。
第2種変形ベッセル関数は 、以下の名称でも呼ばれていました（現在ではあまり使われていません）。
j n 、y n 複素平面上の−2 − 2 i 2 + 2 iの範囲における、 n = 0.5 の球面ベッセル関数j n ( z )のプロット。 複素平面上の−2 − 2 i 2 + 2 iの範囲における、 n = 0.5 の第二種球面ベッセル関数y n ( z )のプロット。 第一種球面ベッセル関数j α （ x ） {\displaystyle j_{\alpha }(x)} α = 0 、 1 、 2 {\displaystyle \alpha =0,1,2} 第2種球面ベッセル関数y α （ x ） {\displaystyle y_{\alpha }(x)} α = 0 、 1 、 2 {\displaystyle \alpha =0,1,2} 変数分離法 を用いて球面座標系でヘルムホルツ方程式 を解くと、動径方程式は次の形になる。 x 2 d 2 y d x 2 + 2 x d y d x + （ x 2 − n （ n + 1 ） ） y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}
この方程式の 2 つの線形独立解は球面ベッセル関数 j n とy n と呼ばれ、通常のベッセル関数J n とY n と次の関係にある[ 33 ] j n （ x ） = π 2 x J n + 1 2 （ x ） 、 y n （ x ） = π 2 x Y n + 1 2 （ x ） = （ − 1 ） n + 1 π 2 x J − n − 1 2 （ x ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}
y n はn n またはη n 球面ノイマン関数 と呼んでいます。
通常のベッセル関数との関係から、次のことが直接的にわかる。 j n （ x ） = （ − 1 ） n y − n − 1 （ x ） y n （ x ） = （ − 1 ） n + 1 j − n − 1 （ x ） {\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}
球面ベッセル関数は次のように書くこともできます（レイリーの公式 [ 34 ] j n （ x ） = （ − x ） n （ 1 x d d x ） n 罪 x x 、 y n （ x ） = − （ − x ） n （ 1 x d d x ） n コス x x 。 {\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}
ゼロ次球面ベッセル関数j 0 ( x )は、（正規化されていない） sinc関数 としても知られています。最初のいくつかの球面ベッセル関数は次のとおりです。[ 35 ] j 0 （ x ） = 罪 x x 。 j 1 （ x ） = 罪 x x 2 − コス x x 、 j 2 （ x ） = （ 3 x 2 − 1 ） 罪 x x − 3 コス x x 2 、 j 3 （ x ） = （ 15 x 3 − 6 x ） 罪 x x − （ 15 x 2 − 1 ） コス x x {\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}} [ 36 ] y 0 （ x ） = − j − 1 （ x ） = − コス x x 、 y 1 （ x ） = j − 2 （ x ） = − コス x x 2 − 罪 x x 、 y 2 （ x ） = − j − 3 （ x ） = （ − 3 x 2 + 1 ） コス x x − 3 罪 x x 2 、 y 3 （ x ） = j − 4 （ x ） = （ − 15 x 3 + 6 x ） コス x x − （ 15 x 2 − 1 ） 罪 x x 。 {\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}
最初のいくつかの球面ベッセル関数の最初のいくつかの非ゼロ根は次のとおりです。
生成関数 球面ベッセル関数は生成関数[ 37 ]を持つ。 1 z コス （ z 2 − 2 z t ） = ∑ n = 0 ∞ t n n ! j n − 1 （ z ） 、 1 z 罪 （ z 2 − 2 z t ） = ∑ n = 0 ∞ t n n ! y n − 1 （ z ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}
有限級数展開 整数ベッセル関数J n ( x ) 、Y n ( x )j n ( x ) 、y n ( x )[ 38 ] j n （ x ） = π 2 x J n + 1 2 （ x ） = 1 2 x [ e 私 x ∑ r = 0 n 私 r − n − 1 （ n + r ） ! r ! （ n − r ） ! （ 2 x ） r + e − 私 x ∑ r = 0 n （ − 私 ） r − n − 1 （ n + r ） ! r ! （ n − r ） ! （ 2 x ） r ] = 1 x [ 罪 （ x − n π 2 ） ∑ r = 0 ⌊ n 2 ⌋ （ − 1 ） r （ n + 2 r ） ! （ 2 r ） ! （ n − 2 r ） ! （ 2 x ） 2 r + コス （ x − n π 2 ） ∑ r = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ （ − 1 ） r （ n + 2 r + 1 ） ! （ 2 r + 1 ） ! （ n − 2 r − 1 ） ! （ 2 x ） 2 r + 1 ] {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\\end{alignedat}}} y n （ x ） = （ − 1 ） n + 1 j − n − 1 （ x ） = （ − 1 ） n + 1 π 2 x J − （ n + 1 2 ） （ x ） = （ − 1 ） n + 1 2 x [ e 私 x ∑ r = 0 n 私 r + n （ n + r ） ! r ! （ n − r ） ! （ 2 x ） r + e − 私 x ∑ r = 0 n （ − 私 ） r + n （ n + r ） ! r ! （ n − r ） ! （ 2 x ） r ] = （ − 1 ） n + 1 x [ コス （ x + n π 2 ） ∑ r = 0 ⌊ n 2 ⌋ （ − 1 ） r （ n + 2 r ） ! （ 2 r ） ! （ n − 2 r ） ! （ 2 x ） 2 r − 罪 （ x + n π 2 ） ∑ r = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ （ − 1 ） r （ n + 2 r + 1 ） ! （ 2 r + 1 ） ! （ n − 2 r − 1 ） ! （ 2 x ） 2 r + 1 ] {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}
微分関係 以下では、f nは n = 0, ±1, ±2, ... に対してj n 、y n 、h (1) n h (2) n [ 39 ] （ 1 z d d z ） m （ z n + 1 f n （ z ） ） = z n − m + 1 f n − m （ z ） 、 （ 1 z d d z ） m （ z − n f n （ z ） ） = （ − 1 ） m z − n − m f n + m （ z ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}
h (1) n h (2) n 複素平面上の−2 − 2 i 2 + 2 i n = −0.5 の球面ハンケル関数h (1) n x )をプロットする。 複素平面上の−2 − 2 i 2 + 2 iの範囲における、 n = −0.5 の第二種球面ハンケル関数h (2) n x )のプロット。 ハンケル関数 には球面版も存在する。 h n （ 1 ） （ x ） = j n （ x ） + 私 y n （ x ） 、 h n （ 2 ） （ x ） = j n （ x ） − 私 y n （ x ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}
半整数 次のベッセル関数は、標準的な三角関数 を用いて簡単な閉形式で表現でき、したがって球面ベッセル関数についても同様である。特に、非負整数n の場合： h n （ 1 ） （ x ） = （ − 私 ） n + 1 e 私 x x ∑ m = 0 n 私 m m ! （ 2 x ） m （ n + m ） ! （ n − m ） ! 、 {\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},} h (2) n x の場合)。したがって、例えばj 0 ( x ) = sin x / x y 0 ( x ) = − cos x / x
球面ハンケル関数は、例えば電磁場の多重極展開など、 球面波の 伝播に関する問題に現れる。
S n 、C n 、ξ n 、ζ n リッカチ ・ベッセル関数は、球面ベッセル関数とわずかに異なるだけです。 S n （ x ） = x j n （ x ） = π x 2 J n + 1 2 （ x ） C n （ x ） = − x y n （ x ） = − π x 2 Y n + 1 2 （ x ） ξ n （ x ） = x h n （ 1 ） （ x ） = π x 2 H n + 1 2 （ 1 ） （ x ） = S n （ x ） − 私 C n （ x ） ζ n （ x ） = x h n （ 2 ） （ x ） = π x 2 H n + 1 2 （ 2 ） （ x ） = S n （ x ） + 私 C n （ x ） {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}
リッカチ・ベッセル関数 Sn 複素数プロット（-2 - 2 i から2 + 2 i まで） それらは微分方程式を満たす x 2 d 2 y d x 2 + （ x 2 − n （ n + 1 ） ） y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}
例えば、この種の微分方程式は、仮想的な円筒形の無限ポテンシャル障壁を持つシュレーディンガー方程式 の動径成分を解く際に量子力学で現れます。 [ 40 ] この微分方程式とリッカチ・ベッセル解は、ミー（1908）による最初の解の発表にちなんでミー散乱 として知られる、球による電磁波の散乱の問題でも現れます。最近の進展と参考文献については、例えば Du（2004） [ 41 ]
デバイ （1909）に倣って、 S n C n ψ n 、χ n という表記が使われることがある。
ベッセル関数は、次の漸近 形を持つ。引数が小さい場合0 < z 〜 α + 1 {\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}} α {\displaystyle \alpha } [ 6 ] J α （ z ） ～ 1 Γ （ α + 1 ） （ z 2 ） α 。 {\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}
α が負の整数の 場合、J α （ z ） ～ （ − 1 ） α （ − α ） ! （ 2 z ） α 。 {\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}
第2種ベッセル関数については、次の3つの場合が考えられます。 Y α （ z ） ～ { 2 π （ ln （ z 2 ） + γ ） もし α = 0 − Γ （ α ） π （ 2 z ） α + 1 Γ （ α + 1 ） （ z 2 ） α ベビーベッド （ α π ） もし α は正の整数です。 − （ − 1 ） α Γ （ − α ） π （ z 2 ） α もし α は負の整数です。 {\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer,}}\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}} γ はオイラー・マスケローニ定数 （0.5772...）である。2番目のケース（ここでα {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha }
大きな実引数z ≫ | α 2 − 1 / 4 | αが 半整数 でない限り)。なぜなら、それらは無限大まで零点を持ち、漸近展開によって正確に一致させる必要があるからです。ただし、与えられた arg z の値に対して、| z | −1 [ 42 ] J α （ z ） = 2 π z （ コス （ z − α π 2 − π 4 ） + e | 私は （ z ） | O （ | z | − 1 ） ） のために | 引数 z | < π 、 Y α （ z ） = 2 π z （ 罪 （ z − α π 2 − π 4 ） + e | 私は （ z ） | O （ | z | − 1 ） ） のために | 引数 z | < π 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}
（α = 1/2 の場合、これらの式 の最後の項 は ）
ハンケル関数の漸近形は以下のとおりです。 H α （ 1 ） （ z ） ～ 2 π z e 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために − π < 引数 z < 2 π 、 H α （ 2 ） （ z ） ～ 2 π z e − 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために − 2 π < 引数 z < π 。 {\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}
これらは、H (1) α ( ze im π ) とH (2) α ( ze im π )を H (1) α ( z ) とH (2) α ( z ) に関連付ける方程式 arg [ 43 ]
興味深いことに、第一種ベッセル関数は 2 つのハンケル関数の平均であるにもかかわらず、zが負の場合、 J α ( z )arg z ベッセル の 漸近 形式 記述 すること ができ ます J α （ z ） ～ 1 2 π z e 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために − π < 引数 z < 0 、 J α （ z ） ～ 1 2 π z e − 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために 0 < 引数 z < π 、 Y α （ z ） ～ − 私 1 2 π z e 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために − π < 引数 z < 0 、 Y α （ z ） ～ 私 1 2 π z e − 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために 0 < 引数 z < π 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}
修正ベッセル関数についても、ハンケルは 漸近展開 を開発した。[ 44 ] [ 45 ] 私 α （ z ） ～ e z 2 π z （ 1 − 4 α 2 − 1 8 z + （ 4 α 2 − 1 ） （ 4 α 2 − 9 ） 2 ! （ 8 z ） 2 − （ 4 α 2 − 1 ） （ 4 α 2 − 9 ） （ 4 α 2 − 25 ） 3 ! （ 8 z ） 3 + ⋯ ） のために | 引数 z | < π 2 、 K α （ z ） ～ π 2 z e − z （ 1 + 4 α 2 − 1 8 z + （ 4 α 2 − 1 ） （ 4 α 2 − 9 ） 2 ! （ 8 z ） 2 + （ 4 α 2 − 1 ） （ 4 α 2 − 9 ） （ 4 α 2 − 25 ） 3 ! （ 8 z ） 3 + ⋯ ） のために | 引数 z | < 3 π 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}
漸近形もある（大きな実数の場合）z {\displaystyle z} [ 46 ] 私 α （ z ） = 1 2 π z 1 + α 2 z 2 4 exp （ − α arcsinh （ α z ） + z 1 + α 2 z 2 ） （ 1 + O （ 1 z 1 + α 2 z 2 ） ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}
α = 1/2 の 項 を 。 私 1 / 2 （ z ） = 2 π シン （ z ） z ～ e z 2 π z のために | 引数 z | < π 2 、 K 1 / 2 （ z ） = π 2 e − z z 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}
小さな議論のために0 < | z | 〜 α + 1 {\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}} 私 α （ z ） ～ 1 Γ （ α + 1 ） （ z 2 ） α 、 K α （ z ） ～ { − ln （ z 2 ） − γ もし α = 0 Γ （ α ） 2 （ 2 z ） α もし α > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}
不動産 次数がα {\displaystyle \alpha } [ 47 ]
d d x J α （ x ） = J α − 1 （ x ） − α x J α （ x ） {\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)=J_{\alpha -1}(x)-{\alpha \over x}J_{\alpha }(x)}
または同等に、
d d x J α （ x ） = α x J α （ x ） − J α + 1 （ x ） {\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)={\alpha \over x}J_{\alpha }(x)-J_{\alpha +1}(x)}
これらの式は、漸化式を決定するために使用できます。J α （ x ） {\displaystyle J_{\alpha }(x)} 以下に 示す。[ 47 ]
整数次数α = n J n は 生成関数 のローラン級数 によって定義されることが多い。 e x 2 （ t − 1 t ） = ∑ n = − ∞ ∞ J n （ x ） t n {\displaystyle e^{{\frac {x}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}} 1843年にPAハンセン が用いた手法。（これは、経路積分法 などの方法によって非整数次数にも一般化できる。）
無限級数 ∑ ν = − ∞ ∞ J N ν + p （ x ） {\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)} ν 、 p ∈ Z 、 N ∈ Z + \nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+} Sung級数 によって閉じた形で定義される。[ 48 ] ∑ ν = − ∞ ∞ J 3 ν + p （ x ） = 1 3 [ 1 + 2 コス （ x 3 / 2 − 2 π p / 3 ） ] {\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]} ∑ ν = − ∞ ∞ J N ν + p （ x ） = 1 N ∑ q = 0 N − 1 e 私 x 罪 2 π q / N e − 私 2 π p q / N {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}} ∑ ν = − ∞ ∞ （ − 1 ） ν J N ν + p （ x ） = 1 N ∑ q = 0 N − 1 e 私 x 罪 （ 2 q + 1 ） π / N e − 私 （ 2 q + 1 ） π p / N {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}
ベッセル関数を用いた級数展開（カプテイン級数 ）は 1 1 − z = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ J n （ n z ） 。 {\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}
整数位数に関するもう一つの重要な関係は、ヤコビ・アンガー展開 e 私 z コス ϕ = ∑ n = − ∞ ∞ 私 n J n （ z ） e 私 n ϕ {\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}
e 私 z 罪 θ ≡ ∑ n = − ∞ ∞ J n （ z ） e 私 n θ 。 {\displaystyle e^{iz\sin \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in\theta }.} 後者は以下と同等です e ± 私 z 罪 ϕ = J 0 （ z ） + 2 ∑ n = 1 ∞ J 2 n （ z ） コス （ 2 n ϕ ） ± 2 私 ∑ n = 0 ∞ J 2 n + 1 （ z ） 罪 （ （ 2 n + 1 ） ϕ ） {\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )} これは、平面波を 円筒波の和 として 展開したり、トーン変調されたFM信号の フーリエ級数 を求めたりするために使用されます。
より一般的には、一連の f （ z ） = 1 0 ν J ν （ z ） + 2 ⋅ ∑ k = 1 ∞ 1 k ν J ν + k （ z ） {\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)} これはf のノイマン展開と呼ばれます。ν = 0 の係数は明示的な形で表されます 。 1 k 0 = 1 2 π 私 ∫ | z | = c f （ z ） O k （ z ） d z {\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz} O k はノイマン多項式 である。[ 49 ]
選択された関数は特別な表現を許容する f （ z ） = ∑ k = 0 ∞ 1 k ν J ν + 2 k （ z ） {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)} 1 k ν = 2 （ ν + 2 k ） ∫ 0 ∞ f （ z ） J ν + 2 k （ z ） z d z {\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz} ∫ 0 ∞ J α （ z ） J β （ z ） d z z = 2 π 罪 （ π 2 （ α − β ） ） α 2 − β 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}
より一般的には、f が 原点付近にそのような性質の分岐点を持つ場合、 f （ z ） = ∑ k = 0 1 k J ν + k （ z ） {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)} L { ∑ k = 0 1 k J ν + k } （ s ） = 1 1 + s 2 ∑ k = 0 1 k （ s + 1 + s 2 ） ν + k {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}} ∑ k = 0 1 k ξ ν + k = 1 + ξ 2 2 ξ L { f } （ 1 − ξ 2 2 ξ ） {\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)} L { f } {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}} はf のラプラス変換 である。[ 50 ]
ベッセル関数を定義する別の方法として、ポアソン表現式とメーラー・ソニン式がある。 J ν （ z ） = （ z 2 ） ν Γ （ ν + 1 2 ） π ∫ − 1 1 e 私 z s （ 1 − s 2 ） ν − 1 2 d s = 2 （ z 2 ） ν ⋅ π ⋅ Γ （ 1 2 − ν ） ∫ 1 ∞ 罪 z u （ u 2 − 1 ） ν + 1 2 d u {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}} ν > − 1 / 2 およびz ∈ C [ 51 ] この式は、特にフーリエ変換を 扱う際に有用である。
ベッセル方程式はx で割るとエルミート方程式 （自己共役方程式）となるため、適切な境界条件の下では解は直交関係を満たさなければならない。具体的には、次のことが成り立つ。 ∫ 0 1 x J α （ x u α 、 m ） J α （ x u α 、 n ） d x = δ m 、 n 2 [ J α + 1 （ u α 、 m ） ] 2 = δ m 、 n 2 [ J α ′ （ u α 、 m ） ] 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}} α > −1δ m 、n はクロネッカーのデルタ であり、u α 、m はJ α ( x ) のm 番目の零点 です。この直交関係は、固定されたαと変化する m に対して関数 J α ( x u α 、 m ) の基底で関数を展開するフーリエ・ベッセル級数の 係数を抽出するために使用でき ます。
球面ベッセル関数についても同様の関係が直ちに成り立つ。 ∫ 0 1 x 2 j α （ x u α 、 m ） j α （ x u α 、 n ） d x = δ m 、 n 2 [ j α + 1 （ u α 、 m ） ] 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}
小さなパラメータεに依存する x のボックスカー関数を 次のように定義する。 f ε （ x ） = 1 ε 長方形 （ x − 1 ε ） {\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)} rect は矩形関数 )の場合、任意の次数α > − 1 / 2 のハンケル変換 g ε ( k ) は、任意のkに対して ε が ゼロに近づくにつれてJ α ( k ) に近づきます。逆に、 g ε ( k ) のハンケル変換 (同じ次数)はf ε ( x ) です。 ∫ 0 ∞ k J α （ k x ） g ε （ k ） d k = f ε （ x ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)} が ゼロに近づくと、右辺はδ ( x − 1)δは ディラックのデルタ関数 です。これにより、次の極限が成り立ちます (分布の 意味で)。 ∫ 0 ∞ k J α （ k x ） J α （ k ） d k = δ （ x − 1 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}
変数変換を行うと、閉包方程式 が得られます。[ 52 ] ∫ 0 ∞ x J α （ u x ） J α （ v x ） d x = 1 u δ （ u − v ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)} α > − 1/2 の 。 ます 。 ∫ 0 ∞ x 2 j α （ u x ） j α （ v x ） d x = π 2 u v δ （ u − v ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v)} α > −1
ベッセル方程式のもう一つの重要な性質は、アーベルの恒等式 から導かれるもので、解の ロンスキアンに関係する。 A α （ x ） d B α d x − d A α d x B α （ x ） = C α x {\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}} A α とB α はベッセル方程式の任意の 2 つの解であり、C α はx に依存しない定数(α と考慮される特定のベッセル関数に依存する) である。特に、 J α （ x ） d Y α d x − d J α d x Y α （ x ） = 2 π x {\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}} 私 α （ x ） d K α d x − d 私 α d x K α （ x ） = − 1 x 、 {\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},} α > −1
α > −1x − α J α ( x )0 < j α 、 1 < j α 、 2 < ⋯ < j α 、 n < ⋯ {\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots } J α （ z ） = （ z 2 ） α Γ （ α + 1 ） ∏ n = 1 ∞ （ 1 − z 2 j α 、 n 2 ） {\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}
（ここには掲載されていないものの、参考文献には多数の既知の積分や恒等式が記載されている。）
漸化式 関数J α 、Y α 、H (1) α H (2) α 漸化式 [ 53 ]を満たします。 2 α x Z α （ x ） = Z α − 1 （ x ） + Z α + 1 （ x ） {\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)} 2 d Z α （ x ） d x = Z α − 1 （ x ） − Z α + 1 （ x ） 、 {\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),} Z は J 、Y 、H (1) H (2) [ 54 ]が成り立ちます。 （ 1 x d d x ） m [ x α Z α （ x ） ] = x α − m Z α − m （ x ） 、 （ 1 x d d x ） m [ Z α （ x ） x α ] = （ − 1 ） m Z α + m （ x ） x α + m 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}
上記の関係式を用いると、球面 ベッセル関数についても同様の関係式を導き出すことができる。
2 α + 1 x j α （ x ） = j α − 1 + j α + 1 {\displaystyle {\frac {2\alpha +1}{x}}j_{\alpha }(x)=j_{\alpha -1}+j_{\alpha +1}}
そして
d j α （ x ） d x = j α − 1 − α + 1 x j α {\displaystyle {\frac {dj_{\alpha }(x)}{dx}}=j_{\alpha -1}-{\frac {\alpha +1}{x}}j_{\alpha }}
変形 ベッセル関数も同様の関係に従います。 e （ x 2 ） （ t + 1 t ） = ∑ n = − ∞ ∞ 私 n （ x ） t n {\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}} e z コス θ = 私 0 （ z ） + 2 ∑ n = 1 ∞ 私 n （ z ） コス n θ {\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta } 1 2 π ∫ 0 2 π e z コス （ m θ ） + y コス θ d θ = 私 0 （ z ） 私 0 （ y ） + 2 ∑ n = 1 ∞ 私 n （ z ） 私 m n （ y ） 。 {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}
漸化式は次のようになる。 C α − 1 （ x ） − C α + 1 （ x ） = 2 α x C α （ x ） 、 C α − 1 （ x ） + C α + 1 （ x ） = 2 d d x C α （ x ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}} C α は I α またはe αi π K α
超越 1929年、カール・ルートヴィヒ・ジーゲルは 、 ν が 有理数でxが 代数 ない とき Jν ( x ) 、( x ) 、対数微分 J'ν ( x ) / Jν ( x ) が超越数 であることを証明 [ 55 ] Γ （ v + 1 ） （ 2 / x ） v J v （ x ） {\displaystyle \Gamma (v+1)(2/x)^{v}J_{v}(x)} [ 56 ]
ベッセル関数との和 2つのベッセル関数の積は、次の和をとる。 ∑ ν = − ∞ ∞ J ν （ x ） J n − ν （ y ） = J n （ x + y ） 、 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{n-\nu }(y)=J_{n}(x+y),} ∑ ν = − ∞ ∞ J ν （ x ） J ν + n （ y ） = J n （ y − x ） 。 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(y)=J_{n}(y-x).} ∑ ν = − ∞ ∞ J ν （ x ） J ν + n （ x ） = δ n 、 0 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)=\delta _{n,0}} ∑ ν = − ∞ ∞ J ν 2 （ x ） = 1. {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }^{2}(x)=1.}
これらの和は、指数の多項式関数である項乗数を含むように拡張できます。たとえば、 ∑ ν = − ∞ ∞ ν J ν （ x ） J ν + n （ x ） = x 2 （ δ n 、 1 + δ n 、 − 1 ） 、 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1}\right),} ∑ ν = − ∞ ∞ ν J ν 2 （ x ） = 0 、 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }^{2}(x)=0,} ∑ ν = − ∞ ∞ ν 2 J ν （ x ） J ν + n （ x ） = x 2 （ δ n 、 − 1 − δ n 、 1 ） + x 2 4 （ δ n 、 − 2 + 2 δ n 、 0 + δ n 、 2 ） 、 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1}\right)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2}\right),} ∑ ν = − ∞ ∞ ν 2 J ν 2 （ x ） = x 2 2 。 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}.}
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa434f6bcee175b4ff90fde5ba2fb596a41b90c3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2748efe7f4138a71b2bf84ed77bc90d4bf0810)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f0226c9673919c5c9a95041395384711081474)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f3ac2da371d4ddcb7b0694f5e7fca8c7453803)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28973dd4cdae45d03d4ed47926313658638682d6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0b68640cfbec56a6b6ad53c432371549dcfedd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4460424d9d6b98161589dd4aa46ad6429678c189)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c907de8d37caf8e5e482ce5005e8941ab401bd4b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526dd0ae355e44f4bd2608b20d39d07da0fff979)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{rn-1}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{rn-1}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc75e7a5b9ec63a394de2680f0414f337cbf93df)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac \end{alignedat} \left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db03a98898fde31c8eb5ad558c53121c52bb7b5)
![{\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer,}}\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11feb8ee8cd4d145c54f130e6de789e7274825e7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi \end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c892df890c00f5a4bc2d13ae3b02ea0abb79aec1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab11a00284d82a75cb91cb6707c390a7dcdb2487)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec3a7941e679aaacaf61d90117613ee90a23851)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbbf3eae419f2a44adfb496e7ccb657439bdaf7)
![{\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eaa4c63e9da373d3678e16136bd9a11688985bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248363b3af99701e32dcec48127f0dfc6e7586bf)
![${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4901ce8ec95f647c69297f8a6a92d245466ba632)
![${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6fbc1b8ac85fb7dd6253a931d1b78cec9b89ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59565e99a36cfef8426d543521d8e4df7bc07a2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8390e0da90e49d8017a003ce6e00d8a2358dc06)
