ロンメル関数

z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^ {2})y=z^{\mu +1}.

解は、オイゲン・フォン・ロンメル（1880）によって導入されたロンメル関数 s _μ,ν ( z )とS _μ,ν ( z )によって与えられる。

s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}\left[Y_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\ !\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_{\nu }(x)\,dx\right],

S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {\mu +\nu +1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]Y_{\nu }(z)\right),

ここで、J _ν ( z ) は第1種のベッセル関数であり、 Y _ν ( z ) は第2種のベッセル関数です。

s関数は次のようにも書ける^[1]

s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{ }_{1}F_{2}(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}),

ここで_p F _qは一般化超幾何関数です。

参照

エルデーリ、アーサー;マグナス、ウィルヘルム; オーバーヘッティンガー、フリッツ; トリコミ、フランチェスコ G. (1953)、高次超越関数。第 2 巻(PDF)、McGraw-Hill Book Company、Inc.、ニューヨーク、トロント、ロンドン、MR 0058756
Lommel, E. (1875)、「Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function」、Math。アン。、9 (3): 425–444、土井:10.1007/BF01443342
Lommel, E. (1880)、「Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV」、Math。アン。、16 (2): 183–208、土井:10.1007/BF01446386
Paris, RB (2010)、「Lommel 関数」、Olver, Frank WJ、Lozier, Daniel M.、Boisvert, Ronald F.、Clark, Charles W. (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR 2723248。
Solomentsev, ED (2001) [1994]、「ロンメル関数」、数学百科事典、EMS Press