ヤコビ・アンガー展開

数学において、ヤコビ・アンガー展開（またはヤコビ・アンガー恒等式）とは、三角関数の指数関数をその高調波を基底として展開したものです。これは物理学（例えば、平面波と円筒波の変換）や信号処理（ FM信号の記述）において有用です。この恒等式は、19世紀の数学者カール・ヤコビとカール・テオドール・アンガーにちなんで名付けられました。

最も一般的な恒等式は次のように表されます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle e^{iz\cos \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta },}$

どこ${\displaystyle J_{n}(z)}$は${\displaystyle n}$第１種ベッセル関数および${\displaystyle i}$は仮想単位です。${\textstyle i^{2}=-1.}$ 代入${\textstyle \theta }$による${\textstyle \theta -{\frac {\pi }{2}}}$さらに、以下の情報も得られます。

${\displaystyle e^{iz\sin \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in\theta }.}$

関係性を利用する${\displaystyle J_{-n}(z)=(-1)^{n}\,J_{n}(z),}$整数に対して有効${\displaystyle n}$展開すると次のようになります。^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle e^{iz\cos \theta }\equiv J_{0}(z)\,+\,2\,\sum _{n=1}^{\infty }\,i^{n}\,J_{n}(z)\,\cos \,(n\theta ).}$

以下の実数値のバリエーションもしばしば有用です: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&\equiv -2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&\equiv 2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}}$

• 平面波の展開

• アブラモウィッツ、ミルトン；ステガン、アイリーン・アン編（1983年）[1964年6月]。「第9章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』。応用数学シリーズ。第 55巻（第10版（1972年12月）の修正を加えた第9版再版；初版 ）。ワシントンDC；ニューヨーク：米国商務省国立標準局；ドーバー出版。355 ページ。ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• Colton, David; Kress, Rainer (1998)、「逆音響および電磁散乱理論」、応用数理科学、第93巻 （第2 版）、ISBN 978-3-540-62838-5
• アニー・カイト;ピーターセン、ヴィグディス。ヴェルドンク、ブリギッテ。ワーデランド、ホーコン。 Jones、William B. (2008)、特殊関数のための連分数ハンドブック、Springer、ISBN 978-1-4020-6948-2

• Weisstein, Eric W. 「Jacobi–Anger展開」 . MathWorld — WolframのWebリソース. 2008年11月11日取得。