平面波展開

物理学では、平面波展開は平面波を球面波の線形結合として表現します。 ここで $${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{ \ell }(kr)P_{\ell }({\hat {\mathbf {k} }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}),}$$

• iは虚数単位です。
• k は長さkの波数ベクトルであり、
• r は長さrの位置ベクトルであり、
• j _{ℓ は}球面ベッセル関数であり、
• P _{ℓ は}ルジャンドル多項式であり、
• ハット^は単位ベクトルを表します。

k がz軸と一致する特殊なケースでは 、 θ はrの球面極角 です。 $${\displaystyle e^{ikr\cos \theta }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{ \ell }(\cos \theta ),}$$

球面調和関数の加法定理を用いると、この式は 次の ように書き直すことができる。$${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{ \ell }i^{\ell }j_{\ell }(kr)Y_{\ell }^{m}{}({\hat {\mathbf {k} }})Y_{\ell }^{m* }({\hat {\mathbf {r} }}),}$$

• Y _ℓ ^mは球面調和関数であり、
• 上付き文字の*は複素活用を表します。

対称性により、複素共役は 2 つの球面調和関数間で交換できることに注意してください。

平面波展開は、

• 音響
• 光学
• Sマトリックス
• 量子力学

• ヘルムホルツ方程式
• 計算電磁気学における平面波展開法
• ワイル展開

• 数学関数のデジタルライブラリ、方程式 10.60.7、国立標準技術研究所
• ラミ・メーレム (2009)、「平面波展開、球面ベッセル関数を含む無限積分と恒等式」、arXiv : 0909.0494、Bibcode :2009arXiv0909.0494M