カイザーウィンドウ

カイザー窓はカイザー・ベッセル窓とも呼ばれ、ベル研究所のジェームズ・カイザーによって開発された。これは有限インパルス応答フィルタの設計とスペクトル解析で使用される1パラメータの窓関数群である。カイザー窓はメインローブのエネルギー集中を最大化するDPSS窓^[1]を近似するが、計算は難しい。^[2]

カイザーウィンドウとそのフーリエ変換は次のように表されます。

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}{\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left(2x/L\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sin {\bigg (}{\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}{\bigg )}}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot {\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}}},}$   ^{[3] [あ]}

どこ：

• I _{0 は、}第一種0次修正ベッセル関数であり、
• Lはウィンドウの持続時間であり、
• α は、ウィンドウの形状を決定する非負の実数です。周波数領域では、メインローブの幅とサイドローブのレベルの間のトレードオフを決定します。これは、ウィンドウ設計における中心的な決定事項です。
• カイザーウィンドウはβによってパラメータ化されることがあります。ここでβ = πα です。

デジタル信号処理の場合、関数は次のように対称的にサンプリングできます。

${\displaystyle w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(nN/2)\right)={\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad 0\leq n\leq N,}$

ここで、ウィンドウの長さはであり、Nは偶数または奇数になります。(ウィンドウ関数のリストを参照してください) ${\displaystyle N+1,}$

フーリエ変換では、メインローブの後の最初のヌルは、ちょうどN単位 ( DFT「ビン」 ) で発生します。αが増加すると、メインローブの幅が広がり、サイドローブの振幅が減少します。α   = 0 は長方形のウィンドウに対応します。α が大きい場合、カイザーウィンドウの形状 (時間領域と周波数領域の両方) はガウス曲線に近づきます。カイザーウィンドウは、ピークが周波数周辺に集中するという点でほぼ最適です^[5]${\displaystyle f={\tfrac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{L}},}$${\displaystyle {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$${\displaystyle 0.}$

関連するウィンドウ関数として、カイザー・ベッセル導出 (KBD)ウィンドウがあります。これは、修正離散コサイン変換(MDCT)での使用に適した設計になっています。KBD ウィンドウ関数は、長さN +1のカイザー ウィンドウに基づいて、次の式で定義されます。

${\displaystyle d_{n}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N }w[i]}}}&{\mbox{if }}0\leq n<N\\{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{2N-1-n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{if }}N\leq n\leq 2N-1\\0&{\mbox{その他}}.\\\end{ケース}}}$

これは長さ 2 Nのウィンドウを定義します。ここで、 d _{n は}構築によりMDCT の Princen-Bradley 条件を満たします ( w _{N − n} = w _nという事実を使用)。d _n ² + ( d _{n + N} ) ² = 1 ( nとn  +  N を2 Nで割ったものと解釈)。KBD ウィンドウも MDCT に対して適切な方法で対称です。d _n  =  d _{2 N −1− n}。

KBD ウィンドウは、Advanced Audio Codingデジタル オーディオ形式で使用されます。

• Harris, Fredric J. (1978年1 月)。「離散フーリエ変換による調和解析のための Windows の使用について」(PDF)。IEEEの議事録。66 (1): 73 (eq 46b)。CiteSeerX 10.1.1.649.9880。doi : 10.1109 /PROC.1978.10837。 
• Kaiser, James F.; Schafer, Ronald W. (1980)。「スペクトル分析におけるI ₀ -sinh ウィンドウの使用について」。IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing 28 : 105–107. doi :10.1109/TASSP.1980.1163349。
• Smith, JO (2011)。「スペクトルオーディオ信号処理、Kaiser および DPSS ウィンドウの比較」。ccrma.stanford.edu。2016年4 月 13 日閲覧。
• 「Kaiser Window、R2018b」。www.mathworks.com。Mathworks 。2019年 3 月 20 日閲覧。