ラプラス分布

確率変数には${\displaystyle \operatorname {ラプラス} (\mu ,b)}$確率密度関数が

$${\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}},}$$

どこ${\displaystyle \mu }$は位置パラメータであり、${\displaystyle b>0}$（「多様性」とも呼ばれる）はスケールパラメータである。${\displaystyle \mu =0}$そして${\displaystyle b=1}$正の半直線は、 1/2 倍にスケーリングされた指数分布と正確に一致する。^{[ 2 ]}

ラプラス分布の確率密度関数は正規分布を彷彿とさせますが、正規分布が平均からの二乗差で表されるのに対し、ラプラス分布は平均からの二乗差で表されます。${\displaystyle \mu }$ラプラス密度は、平均からの絶対差で表されます。したがって、ラプラス分布は正規分布よりも裾が厚くなります。これは、一般化正規分布と双曲線分布の特殊なケースです。ラプラス分布のように指数関数的な裾を持ち、最頻値で微分可能な確率密度関数を持つ連続対称分布には、ロジスティック分布、双曲線正割分布、およびチャンパーノウン分布があります。

ラプラス分布は、絶対値関数を用いるため、（対称な2つのケースを区別すれば）積分が容易である。その累積分布関数は以下のとおりである。 $${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

逆累積分布関数は次のように表される。

$${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\オペレーター名 {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).}$$

$${\displaystyle \mu _{r}'={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{r}\left[{\frac {r!}{(rk)!}}b^{k}\mu ^{(rk)}\left\{1+(-1)^{k}\right\}\right].}$$

• もし${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$それから${\displaystyle kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)}$。
• もし${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$それから${\displaystyle bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}$。
• もし${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}$それから${\displaystyle \left|X\right|\sim {\textrm {指数関数}}\left(b^{-1}\right)}$（指数分布）
• もし${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {指数関数}}(\lambda )}$それから${\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}$．
• もし${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$それから${\displaystyle \left|X-\mu \right|\sim {\textrm {指数関数}}(b^{-1})}$。
• もし${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$それから${\displaystyle X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,1)}$（指数べき分布）
• もし${\displaystyle X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)}$（正規分布）${\displaystyle X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$そして${\displaystyle (X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+X_{3}^{2}-X_{4}^{2})/2\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$。
• もし${\displaystyle X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$それから${\displaystyle {\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)}$（カイ二乗分布）
• もし${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$それから${\displaystyle {\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$（F分布）
• もし${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)}$（一様分布）${\displaystyle \log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$。
• もし${\displaystyle X\sim {\textrm {指数関数}}(\lambda )}$そして${\displaystyle Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)}$（ベルヌーイ分布）${\displaystyle X}$、 それから${\displaystyle X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}$。
• もし${\displaystyle X\sim {\textrm {指数関数}}(\lambda )}$そして${\displaystyle Y\sim {\textrm {指数}}(\nu )}$独立して${\displaystyle X}$、 それから${\displaystyle \lambda X-\nu Y\sim {\textrm {ラプラス}}(0,1)}$．
• もし${\displaystyle X}$ラデマッハー分布を持ち、${\displaystyle Y\sim {\textrm {指数関数}}(\lambda )}$それから${\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}$。
• もし${\displaystyle V\sim {\textrm {Exponential}}(1)}$そして${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$独立して${\displaystyle V}$、 それから${\displaystyle X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)}$。
• もし${\displaystyle X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)}$（幾何級数的に安定した分布）${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )}$。
• ラプラス分布は双曲線分布の極限の場合である。
• もし${\displaystyle X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,Y^{2})}$と${\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}$（レイリー分布）${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$.注意して${\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}$、 それから${\displaystyle Y^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(1,2b^{2})}$と${\displaystyle {\textrm {E}}(Y^{2})=2b^{2}}$これは指数分布に等しい。${\displaystyle {\textrm {Exp}}(1/(2b^{2}))}$。
• 整数が与えられた場合${\displaystyle n\geq 1}$、 もし${\displaystyle X_{i},Y_{i}\sim \Gamma \left({\frac {1}{n}},b\right)}$（ガンマ分布、使用）${\displaystyle k,\theta }$特性評価）${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mu }{n}}+X_{i}-Y_{i}\right)\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}$（無限分割可能性）^{[ 3 ]}
• Xがラプラス分布に従う場合、 Y = e ^Xは対数ラプラス分布に従う。逆に、Xが対数ラプラス分布に従う場合、その対数はラプラス分布に従う。

させて ${\displaystyle X,Y}$独立なラプラス確率変数とする。${\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{X},b_{X})}$そして${\displaystyle Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{Y},b_{Y})}$、そして計算したい${\displaystyle P(X>Y)}$。

確率${\displaystyle P(X>Y)}$（以下の性質を用いて）以下のように簡略化できる${\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})}$、 どこ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$この確率は

$${\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})={\begin{cases}{\frac {b^{2}e^{\mu /b}-e^{\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu <0\\1-{\frac {b^{2}e^{-\mu /b}-e^{-\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}$$

いつ${\displaystyle b=1}$両方の式は極限値に置き換えられます。${\displaystyle b\to 1}$:

$${\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})={\begin{cases}e^{\mu }{\frac {(2-\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu <0\\1-e^{-\mu }{\frac {(2+\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}$$

ケースを計算するには${\displaystyle \mu >0}$、 ご了承ください${\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})=1-P(\mu +Z_{1}<Z_{2})=1-P(-\mu -Z_{1}>-Z_{2})=1-P(-\mu +Z_{1}>Z_{2})}$

以来${\displaystyle Z\sim -Z}$いつ${\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}$。

ラプラス確率変数は、2 つの独立同分布( iid ) 指数確率変数の差として表すことができます。 ^{[ 3 ]}これを示す 1 つの方法は、特性関数アプローチを使用することです。任意の独立連続確率変数のセットに対して、それらの変数の任意の線形結合に対して、その特性関数 (分布を一意に決定する) は、対応する特性関数を掛け合わせることによって得られます。

2 つの独立同分布の確率変数を考える${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}$特性関数${\displaystyle X,-Y}$は

$${\displaystyle {\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}}$$

それぞれ、これらの特性関数（確率変数の和の特性関数に相当）を掛け合わせると、${\displaystyle X+(-Y)}$)、結果は

$${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

これは、特性関数と同じです。${\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}$それは

$${\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.}$$

サーガン分布は、ラプラス分布を中核とする分布体系である。${\displaystyle p}$次サルガン分布は密度^{[ 4 ] [ 5 ]を持つ。}$${\displaystyle f_{p}(x)={\tfrac {1}{2}}\exp(-\alpha |x|){\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\alpha ^{j}|x|^{j}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}j!\beta _{j}}},}$$ パラメータについて${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta _{j}\geq 0}$ラプラス分布の結果は${\displaystyle p=0}$。