ジャクソンq-ベッセル関数

数学において、ジャクソンqベッセル関数（または基本ベッセル関数）は、ジャクソン （1906a、1906b、1905a、1905b）によって導入されたベッセル関数の3つのq類似関数の1つです。3番目のジャクソンqベッセル関数は、ハーン–エクストンqベッセル関数と同じです。

3つのジャクソンq-ベッセル関数はq-ポッホハマー記号と基本超幾何関数 を用いて次のよう に表される。${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(1)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{2}\phi _{1}(0,0;q^{\nu +1};q,-x^{2}/4),\quad |x|<2,}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{ \infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{0}\phi _{1}(;q^{\nu +1};q,-x^{2}q^{\ぬ+1}/4),\quad x\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(3)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{ \infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{1}\phi _{1}(0;q^{\nu +1};q,qx^{2}/4), \クアッドx\in \mathbb {C} .}$

これらは連続極限によってベッセル関数に簡約できます。

${\displaystyle \lim _{q\to 1}J_{\nu }^{(k)}(x(1-q);q)=J_{\nu }(x),\ k=1,2,3.}$

ジャクソンq-ベッセル関数の1番目と2番目の間には接続式があります(Gasper & Rahman (2004))。

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }J_{\nu }^{(1)}(x ;q)、\ |x|<2.}$

整数次数の場合、qベッセル関数は

${\displaystyle J_{n}^{(k)}(-x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} ,\ k=1,2,3.}$

次の関係式（Gasper & Rahman (2004)）を使用すると、

${\displaystyle (q^{m+1};q)_{\infty }=(q^{m+n+1};q)_{\infty }(q^{m+1};q)_{n},}$

${\displaystyle (q;q)_{m+n}=(q;q)_{m}(q^{m+1};q)_{n},\ m,n\in \mathbb {Z} ,}$

我々は得る

${\displaystyle J_{-n}^{(k)}(x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ k=1,2 。}$

ハーンは、 には無限個の実零点があると述べています(ハーン(1949))。イスマイルは、 のすべての非零根 に対して、が実数であることを証明しました (イスマイル (1982))。 ${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)}$${\displaystyle \nu >-1}$${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)}$

この関数は完全に単調な関数である（Ismail  （1982））。 ${\displaystyle -ix^{-1/2}J_{\nu +1}^{(2)}(ix^{1/2};q)/J_{\nu }^{(2)}(ix ^{1/2};q)}$

第1および第2のジャクソンq-ベッセル関数には、次の再帰関係があります（Ismail（1982）およびGasper＆Rahman（2004）を参照）。

${\displaystyle q^{\nu }J_{\nu +1}^{(k)}(x;q)={\frac {2(1-q^{\nu })}{x}}J_{ \nu }^{(k)}(x;q)-J_{\nu -1}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.}$

${\displaystyle J_{\nu}^{(1)}(x{\sqrt {q}};q)=q^{\pm \nu /2}\left(J_{\nu}^{(1)}(x;q)\pm {\frac {x}{2}}J_{\nu \pm 1}^{(1)}(x;q)\right).}$

のとき、2番目のジャクソンq-ベッセル関数は次式を満たします。 (Zhang (2006)を参照。) ${\displaystyle \nu >-1}$${\displaystyle \left|J_{\nu }^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-{\sqrt {q}};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{\nu }\exp \left\{{\frac {\log \left(|z|^{2}q^{\nu }/4\right)}{2\log q}}\right\}.}$

については、 Koelink (1993)を参照。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \left|J_{n}^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-q^{n+1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{n}(-|z|^{2};q)_{\infty }.}$

次の式はベッセル関数の生成関数のq類似体である（Gasper & Rahman（2004）を参照）。

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }e_{q}(xt/2)e_{q}(-x/2t),}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(3)}(x;q)=e_{q}(xt/2)E_{q}(-qx/2t).}$

${\displaystyle e_{q}}$q指数関数です。

2番目のジャクソンq-ベッセル関数には次の積分表現があります（Rahman（1987）およびIsmail＆Zhang（2018a）を参照）。

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{2\nu };q)_{\infty }}{2\pi (q^{\nu };q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\left(e^{2i\theta },e^{-2i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{-i\theta };q\right)_{\infty }}{(e^{2i\theta }q^{\nu },e^{-2i\theta }q^{\nu };q)_{\infty }}}\,d\theta ,}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};q)_{\infty }:=(a_{1};q)_{\infty }(a_{2};q)_{\infty }\cdots (a_{n};q)_{\infty },\ \Re \nu >0,}$

ここで はq-ポッホハマー記号です。この表現は、 の極限におけるベッセル関数の積分表現に簡約されます。 ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{\sqrt {2\pi \log q^{-1}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left({\frac {q^{\nu +1/2}z^{2}e^{ix}}{4}};q\right)_{\infty }\exp \left({\frac {x^{2}}{\log q^{2}}}\right)}{(q,-q^{\nu +1/2}e^{ix};q)_{\infty }}}\,dx.}$

第2ジャクソンq-ベッセル関数には、次のような超幾何表現があります（Koelink（1993）、Chen、Ismail、Muttalib（1994）を参照）。

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }}{(q;q)_{\infty }}}\ _{1}\phi _{1}(-x^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}),}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }({\sqrt {q}};q)_{\infty }}{2(q;q)_{\infty }}}[f(x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)+f(-x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)],\ f(x,a;q):=(iax;{\sqrt {q}})_{\infty }\ _{3}\phi _{2}\left({\begin{matrix}a,&-a,&0\\-{\sqrt {q}},&iax\end{matrix}};{\sqrt {q}},{\sqrt {q}}\right).}$

2 番目の式の直接的な結果として漸近展開が得られます。

その他の超幾何表現については、Rahman (1987) を参照してください。

修正ベッセル関数の q 類似体は、ジャクソン q ベッセル関数で定義されます( Ismail ( 1981) および Olshanetsky & Rogov (1995))。

${\displaystyle I_{\nu }^{(j)}(x;q)=e^{i\nu \pi /2}J_{\nu }^{(j)}(x;q),\ j=1,2.}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)={\frac {\pi }{2\sin(\pi \nu )}}\left\{I_{-\nu }^{(j)}(x;q)-I_{\nu }^{(j)}(x;q)\right\},\ j=1,2,\ \nu \in \mathbb {C} -\mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle K_{n}^{(j)}(x;q)=\lim _{\nu \to n}K_{\nu }^{(j)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} .}$

修正されたq-ベッセル関数の間には接続式があります。

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }I_{\nu }^{(1)}(x;q).}$

統計的応用については、Kemp (1997) を参照してください。

ジャクソンq-ベッセル関数の漸化式と修正q-ベッセル関数の定義により、次の漸化式が得られます（も同じ関係を満たします）（Ismail（1981））。 ${\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)}$

${\displaystyle q^{\nu }I_{\nu +1}^{(j)}(x;q)={\frac {2}{z}}(1-q^{\nu })I_{\nu }^{(j)}(x;q)+I_{\nu -1}^{(j)}(x;q),\ j=1,2.}$

その他の再帰関係については、Olshanetsky & Rogov (1995) を参照してください。

修正qベッセル関数の比は連分数を形成する（Ismail（1981））：

${\displaystyle {\frac {I_{\nu }^{(2)}(z;q)}{I_{\nu -1}^{(2)}(z;q)}}={\cfrac {1}{2(1-q^{\nu })/z+{\cfrac {q^{\nu }}{2(1-q^{\nu +1})/z+{\cfrac {q^{\nu +1}}{2(1-q^{\nu +2})/z+\ddots }}}}}}.}$

この関数は次のように表現されます (Ismail & Zhang (2018b))。 ${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)}$

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{(q,q)_{\infty }}}{}_{1}\phi _{1}(z^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}).}$

修正qベッセル関数には次の積分表現がある（Ismail（1981））。

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)=\left(z^{2}/4;q\right)_{\infty }\left({\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \nu \theta \,d\theta }{\left(e^{i\theta }z/2;q\right)_{\infty }\left(e^{-i\theta }z/2;q\right)_{\infty }}}-{\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t}z/2;q\right)_{\infty }}}\right),}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}},\ |\arg z|<\pi /2,}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh \nu \,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}}.}$

• q-ベッセル多項式

• チェン、ヤン; イスマイル、ムラド EH; ムッタリブ、KA (1994)、「基本ベッセル関数とq-ラゲール多項式の漸近解析」、計算および応用数学ジャーナル、54 (3): 263–272、doi : 10.1016/0377-0427(92)00128-v
• Gasper, G.; Rahman, M. (2004)、Basic hypergeometric series、Encyclopedia of Mathematics and its Applications、第96巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83357-8、MR  2128719
• Hahn、Wolfgang (1949)、「Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen」、Mathematische Nachrichten、2 (1–2): 4–34、doi :10.1002/mana.19490020103、ISSN  0025-584X、MR  0030647
• イスマイル、ムラド EH (1981)、「基本的なベッセル関数と多項式」、SIAM 数学解析ジャーナル、12 (3): 454–468、doi :10.1137/0512038
• イスマイル、ムラド EH (1982)、「基本ベッセル関数の零点、関数J _{ν+ ax} ( x )、および関連する直交多項式」、数学解析および応用ジャーナル、86 (1): 1–19、doi :10.1016/0022-247X(82)90248-7、ISSN  0022-247X、MR  0649849
• イスマイル、MEH; 張、R. (2018a)、「q多項式と関数の積分と級数表現: パート I」、解析と応用、16 (2): 209–281、arXiv : 1604.08441、doi :10.1142/S0219530517500129、S2CID  119142457
• イスマイル、MEH; 張、R. (2018b)、「q-ベッセル関数とロジャース・ラマヌジャン型恒等式」、アメリカ数学会紀要、146 (9): 3633–3646、arXiv : 1508.06861、doi :10.1090/proc/13078、S2CID  119721248
• ジャクソン、FH（1906a）、「I.—ルジャンドルとベッセルの一般化関数について」、エディンバラ王立協会紀要、41（1）：1–28、doi：10.1017 / S0080456800080017
• ジャクソン、FH（1906b）、「VI.ベッセル関数の一般化に関する定理」、エディンバラ王立協会紀要、41（1）：105–118、doi：10.1017 / S0080456800080078
• ジャクソン、FH (1906c)、「XVII.—ベッセル関数の一般化に関する定理」、エディンバラ王立協会紀要、41 (2): 399–408、doi :10.1017/s0080456800034475、JFM  36.0513.02
• ジャクソン、FH (1905a)、「ベッセル関数とルジャンドル関数への基本数の応用」、ロンドン数学会紀要、2、2 ( 1): 192–220、doi :10.1112/plms/s2-2.1.192
• ジャクソン、FH (1905b)、「ベッセル関数とルジャンドル関数への基本数の応用（第2論文）」、ロンドン数学会紀要、2、3 （1）：1–23、doi：10.1112/plms/s2-3.1.1
• Kemp, AW (1997)、「修正 q-ベッセル関数といくつかの統計的応用について」、N. Balakrishnan (編)、Advances in Combinatorial Methods and Applications to Probability and Statistics、pp. 451–463、doi :10.1007/978-1-4612-4140-9_27、ISBN 978-1-4612-4140-9、S2CID  124998083
• Koelink, HT (1993)、「ジャクソンのq-ベッセル関数のハンセン-ロンメル直交関係」、数学解析および応用ジャーナル、175 (2): 425–437、doi : 10.1006/jmaa.1993.1181
• Olshanetsky, MA; Rogov, VB (1995)、「修正q -ベッセル関数とq -ベッセル-マクドナルド関数」、arXiv : q-alg/9509013
• ラーマン、M. (1987)、「 q-ベッセル関数の積分表現といくつかの変換特性」、数学分析と応用ジャーナル、125：58-71、doi：10.1016/0022-247x（87）90164-8
• Zhang, R. (2006)、「 q級数の Plancherel-Rotach 漸近解析」、 arXiv : math/0612216