単調収束定理

（１ ⇒ ２）仮に$\displaystyle (a_n)\to L\in \mathbb {R} }$.${\displaystyle \varepsilon }$-極限の定義、存在する${\displaystyle N}$そのため${\displaystyle |a_{n}-L|<1}$すべての人々のために${\displaystyle n\geq N}$したがって${\displaystyle |a_{n}|\leq |L|+1}$のために${\displaystyle n\geq N}$。 させて${\displaystyle M=\max\{\,|a_{1}|,\dots ,|a_{N-1}|,\,|L|+1\,\}}$。 それから${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$すべての人々のために${\displaystyle n}$、 それで${\displaystyle (a_{n})}$有界である。

（２ ⇒ １）仮に${\displaystyle (a_{n})}$有界かつ単調である。

• もし${\displaystyle (a_{n})}$は非減少かつ上に有界である。${\displaystyle c=\sup _{n}a_{n}}$どのような場合でも${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle N}$と${\displaystyle c-\varepsilon <a_{N}\leq c}$; さもないと${\displaystyle c-\varepsilon }$より小さい上限値になります${\displaystyle c}$。 のために${\displaystyle n\geq N}$単調性は${\displaystyle a_{N}\leq a_{n}\leq c}$したがって$\displaystyle 0\leq c-a_{n}\leq c-a_{N}<\varepsilon }$。 したがって${\displaystyle a_{n}\to c=\sup _{n}a_{n}}$。
• もし${\displaystyle (a_{n})}$は非増加かつ下限を持つので、以下の議論を繰り返す。${\displaystyle c=\inf _{n}a_{n}}$または、前のケースを適用する${\displaystyle (-a_{n})}$取得する$\displaystyle a_{n}\to \inf _{n}a_{n}}$。

これは等価性を証明する。

「有界かつ単調 ⇒ 収束」という含意は、${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数列の上限/下限は有理数である必要はないからです。例えば、${\displaystyle a_{n}=\lfloor 10^{n}{\sqrt {2}}\rfloor /10^{n}}$は非減少であり、上に制限されている。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$しかし、制限はありません${\displaystyle \mathbb {Q} }$（その本当の限界は$\displaystyle {\sqrt {2}}}$)

以来${\displaystyle a_{i,k}\leq \sup _{k}a_{i,k}}$我々は持っています${\displaystyle \sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$それで${\displaystyle \sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$。

逆に、極限の定義に戻ることで、supとsumを有限和に置き換えることができるので、 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sup _{k}a_{i,k}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{N}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$したがって${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$。

させて${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$測定空間であり、${\displaystyle X\in \Sigma }$。 もし${\displaystyle \{f_{k}\}_{k\geq 1}}$は非負のシーケンスです${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$-測定可能な関数${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle 0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots \quad {\text{for all }}x\in X,}$ 次に、点ごとの上限${\displaystyle f:=\sup _{k}f_{k}}$測定可能であり、${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \;=\;\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu \;=\;\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

させて${\displaystyle f=\sup _{k}f_{k}}$測定可能性${\displaystyle f}$可測関数の点ごとの極限/上限は可測であるため、このことが成り立つ。

上限。積分の単調性により、${\displaystyle f_{k}\leq f}$暗示する${\displaystyle \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \;\leq \;\int _{X}f\,d\mu .}$

下限。非負の単純関数を固定する${\displaystyle s\leq f}$。 セット${\displaystyle A_{k}=\{x\in X:\;s(x)\leq f_{k}(x)\}.}$それから${\displaystyle A_{k}\uparrow X}$なぜなら${\displaystyle f_{k}\uparrow f\geq s}$. 設定関数の場合${\displaystyle \nu _{s}(A):=\int _{A}s\,d\mu ,}$我々は持っています${\displaystyle \nu _{s}}$は尺度です（${\displaystyle s=\sum _{i}c_{i}\mathbf {1} _{E_{i}}}$そして注意${\displaystyle \nu _{s}(A)=\sum _{i}c_{i}\,\mu (A\cap E_{i})}$)したがって、下からの連続性により、${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \;=\;\lim _{k\to \infty }\int _{A_{k}}s\,d\mu .}$それぞれ${\displaystyle A_{k}}$我々は持っています${\displaystyle s\leq f_{k}}$、 それで${\displaystyle \int _{A_{k}}s\,d\mu \;\leq \;\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$限界を取ると${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$最後に、すべての単純なものに対する至高のものを取ります${\displaystyle s\leq f}$（これは等しい）${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$（ルベーグ積分の定義により）${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \;\leq \;\liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

2つの境界を組み合わせると、${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \;=\;\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu \;=\;\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .\square }$

1. （有限性）量は有限でも無限でも構いません。左辺が有限であるのは、右辺が有限である場合に限ります。
2. （点ごとの極限と積分極限）以下の仮定の下で、
   • ${\displaystyle \displaystyle \lim _{k\to \infty }f_{k}(x)=\sup _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k\to \infty }f_{k}(x)=\liminf _{k\to \infty }f_{k}(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x}$;
   • 積分の単調性により、${\displaystyle \displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$同様に、${\displaystyle \displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}\lim _{k\to \infty }f_{k}\,d\mu ,}$制限がある可能性があることを理解した上で${\displaystyle +\infty }$。
3. （ほぼあらゆる場所で使えるバージョン。）単調性が成り立つ場合${\displaystyle \mu }$ほぼ至るところで、零集合上で極限関数を任意に再定義しても可測性は維持され、すべての積分は変化しない。したがって、定理は依然として成り立つ。
4. （基礎的な役割）証明では、次のことのみを使用します。(i) 非負の可測関数に対する積分の単調性、(ii)${\displaystyle A\mapsto \int _{A}s\,d\mu }$単純な尺度${\displaystyle s}$（iii）測度の下方連続性。したがって、この補題を用いて、ルベーグ積分のさらなる基本性質（例えば線形性）を導出することができる。
5. （単調性仮定の緩和）同様の仮定の下では、単調性を緩和することができる。^{[ 5 ]}${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$測定空間である、${\displaystyle X\in \Sigma }$、そして${\displaystyle \{f_{k}\}_{k\geq 1}}$非負の可測関数である${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle f_{k}(x)\to f(x)}$ae の場合${\displaystyle x}$そして${\displaystyle f_{k}\leq f}$すべての人に${\displaystyle k}$。 それから${\displaystyle f}$測定可能、限界${\displaystyle \displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$存在し、${\displaystyle \displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu \;=\;\int _{X}f\,d\mu .}$

証明は、上記のように直接証明するのではなく、ファトゥの補題に基づいて行うこともできます。なぜなら、ファトゥの補題は単調収束定理とは独立して証明できるからです。ただし、単調収束定理は、ある意味でファトゥの補題よりも原始的です。単調収束定理から容易に導かれ、ファトゥの補題の証明は、上記の証明と似ており、やや自然さに欠けると言えるでしょう。

これまでと同様に、測定可能性は次の事実から導かれる。${\textstyle f=\sup _{k}f_{k}=\lim _{k\to \infty }f_{k}=\liminf _{k\to \infty }f_{k}}$ほぼどこでも。極限と積分の交換は、ファトゥの補題から容易に導かれる。$${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu }$$ファトゥの補題により、そして、 ${\displaystyle \int f_{k}\,d\mu \leq \int f_{k+1}\,d\mu \leq \int fd\mu }$（単調性） $${\displaystyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu .}$$したがって $${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$$