ユニフォームモジュール

抽象代数では、任意の 2 つの非ゼロ部分加群の共通部分が非ゼロである場合、加群は均一加群と呼ばれます。これは、 Mのすべての非ゼロ部分加群が本質部分加群であると言っているのと同じです。環は、右 (左)加群としてそれ自身に対して均一である場合、右 (左) 均一環と呼ばれることがあります。

アルフレッド・ゴールディは、均一加群の概念を使用して、加群の次元の尺度を構築しました。これは現在、加群の均一次元(またはゴールディ次元) として知られています。均一次元は、ベクトル空間の次元の概念のいくつかの (すべてではない) 側面を一般化します。有限均一次元は、半単純環の正しい順序である環を特徴付けるゴールディの定理 を含む、ゴールディのいくつかの定理の重要な仮定でした。有限均一次元の加群は、アルティン加群とノイザン加群の両方を一般化します。

文献では、均一次元は単にモジュールの次元またはモジュールのランクとも呼ばれます。均一次元は、同じく Goldie によるモジュールの縮減ランクという関連概念と混同しないでください。

直積や商加群では、一様加群であることは通常保たれない。2つの非零一様加群の直和には、常に交差が零である2つの部分加群、すなわち2つの元の加数加群が含まれる。N 1 と N 2 が一様加群 M の適切な部分加群であり、_どちらの部分_加群も他方を含まない場合、一様加群ではない。 ${\displaystyle M/(N_{1}\cap N_{2})}$

${\displaystyle N_{1}/(N_{1}\cap N_{2})\cap N_{2}/(N_{1}\cap N_{2})=\{0\}。}$

ユニシリアル モジュールはユニフォームであり、ユニフォーム モジュールは必然的に直接分解不可能です。任意の可換領域はユニフォーム リングです。これは、aとb が2 つのイデアルの非ゼロ元である場合、積abがイデアルの交差における非ゼロ元であるためです。

次の定理により、均一なサブモジュールを使用してモジュール上の次元を定義することが可能になります。これはベクトル空間定理のモジュール バージョンです。

定理: U _iと V _{j が}モジュールMの均一サブモジュールの有限集合のメンバーであり、と が両方ともMの必須サブモジュールである場合、n  =  mです。 ${\displaystyle \oplus_{i=1}^{n}U_{i}}$${\displaystyle \oplus_{i=1}^{m}V_{i}}$

モジュールMのユニフォーム次元は u.dim( M ) と表記され、Mの本質的サブモジュールとなるようなユニフォームサブモジュールU _{iの有限集合が存在する場合、} nと定義されます。前述の定理により、このnが適切に定義されることが保証されます。このようなサブモジュールの有限集合が存在しない場合、 u.dim( M ) は ∞ と定義されます。リングのユニフォーム次元について話す場合、測定対象が u.dim( R _R ) なのか、それとも u.dim( _R R ) なのかを指定する必要があります。リングの反対側に 2 つの異なるユニフォーム次元が存在する可能性があります。 ${\displaystyle \oplus_{i=1}^{n}U_{i}}$

N がMのサブモジュールである場合、 N がMの本質的サブモジュールであるとき、 u.dim( N ) ≤ u.dim( M ) が成り立ちます。特に、Mとその入射包E ( M ) は常に同じ均一次元を持ちます。また、 E ( M ) がn個の分解不可能な入射モジュールの直和である場合に限り、 u.dim( M ) =  n であることも真です。

u.dim( M ) = ∞ となるのは、 Mが非ゼロのサブモジュールの無限直和を含む場合のみである。したがって、 Mがノイザンまたはアルティンのいずれかである場合、M は有限のユニフォーム次元を持つ。M が有限の合成長 k を持つ場合、 M が半単純モジュールである場合に限り、 u.dim( M ) ≤ k が等号で成立する。(Lam 1999)

標準的な結果は、右ネーター領域は右オーレ領域であるということです。実際、この結果は、次の 3 つの条件が領域Dに対して同等であると述べている、ゴールドィに帰属する別の定理から得ることができます。

• Dは正しいです。
• u.dim( DD ₎ = 1
• u.dim( D _D ) < ∞

均一加群の双対概念は、中空加群の概念です。加群Mが中空であるとは、N ₁とN _{2 が}Mのサブ加群であって となるとき、N ₁  =  MまたはN ₂  =  Mのいずれかであることを意味します。同様に、 Mのすべての適切なサブ加群は余分なサブ加群であると言うこともできます。 ${\displaystyle N_{1}+N_{2}=M}$

これらの加群には、共均一次元、コランク、ホロー次元、またはデュアル ゴールディ次元と呼ばれる、均一次元の類似物もあります。ホロー加群と共均一次元の研究は、(Fleury 1974)、(Reiter 1981)、(Takeuchi 1976)、(Varadarajan 1979)、(Miyashita 1966) で行われました。Fleury は、ゴールディ次元をデュアル化する異なる方法を模索したことに注意してください。Varadarajan、Takeuchi、および Reiter のホロー次元のバージョンは、おそらくより自然なものです。Grzeszczuk と Puczylowski は、(Grezeszcuk & Puczylowski 1984) で、加群のホロー次元がそのサブ加群のデュアル格子の均一次元となるような、モジュラー格子の均一次元の定義を与えました。

有限共生成モジュールは常に有限の均一次元を持ちます。これにより、有限生成モジュールは有限の空洞次元を持つのかという疑問が生じます。答えはノーです。(Sarath & Varadarajan 1979) で、モジュールM が有限の空洞次元を持つ場合、M / J ( M ) は半単純なアルティンモジュールであることが示されました。 R / J ( R ) が半単純なアルティンではない単位元を持つ環は多数あり、そのような環Rが与えられると、R自体は有限生成ですが無限の空洞次元を持ちます。

サラスとバラダラジャンは後に、M / J ( M ) が半単純アルティニアンであることは、J ( M ) がMの余分なサブモジュールである限り、 Mが有限の中空次元を持つのに十分であることを示した。^[1]これは、左または右のRモジュールとして有限の中空次元を持つ環Rがまさに半局所環であることを示しています。

Varadarajan の結果の追加の帰結は、R _{R が}有限の中空次元を持つのとまったく同じであるということです。これは有限の均一次元の場合とは対照的です。なぜなら、リングは片側で有限の均一次元を持ち、もう一方は無限の均一次元を持つ_ことができることが知られているからです。

• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-1-4612-0525-8、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294

• フルーリー、パトリック（1974）、「ゴールド次元の双対化に関する注記」、カナダ数学速報、17（4）：511–517、doi：10.4153/cmb-1974-090-0
• Goldie, AW (1958)、「上昇連鎖条件下での素環の構造」、Proc. London Math. Soc.、シリーズ 3、8 ( 4): 589–608、doi :10.1112/plms/s3-8.4.589、ISSN  0024-6115、MR  0103206
• Goldie, AW (1960)、「最大条件付き半素数環」、Proc. London Math. Soc.、シリーズ 3、10 : 201–220、doi :10.1112/plms/s3-10.1.201、ISSN  0024-6115、MR  0111766
• Grezeszcuk, P.; Puczylowski, E. (1984)、「Goldie とデュアル Goldie 次元について」、Journal of Pure and Applied Algebra、31 (1–3): 47–55、doi : 10.1016/0022-4049(84)90075-6
• Hanna, A.; Shamsuddin, A. (1984)、「モジュールのカテゴリにおける二重性：アプリケーション」、ラインハルト・フィッシャー、ISBN 978-3889270177
• 宮下 勇 (1966)、「準射影加群、完全加群、およびモジュラー格子の定理」、北海道科学誌 I、19 :86–110、MR  0213390
• ライター、E. (1981)、「部分加群の直和に関するゴールディ上昇連鎖条件の双対」、Bull. Calcutta Math. Soc.、73 : 55–63
• Sarath, B.; Varadarajan, K. (1979)、「Dual Goldie 次元 II」、Communications in Algebra、7 (17): 1885–1899、doi :10.1080/00927877908822434
• 竹内 孝文 (1976)、「有限次元加群について」、北海道数学雑誌、5 (1): 1–43、doi : 10.14492/hokmj/1381758746、ISSN  0385-4035、MR  0213390
• Varadarajan, K. (1979)、「デュアル ゴールディ次元」、Comm. Algebra、7 (6): 565–610、doi :10.1080/00927877908822364、ISSN  0092-7872、MR  0524269