バイモジュール

抽象代数学において、双加群は左加群と右加群の両方であるアーベル群であり、左乗法と右乗法は両立する。双加群は数学の多くの部分で自然に現れるほか、左加群と右加群の関係の多くが双加群で表現されるとより単純になるという意味で、説明的な役割も果たす。

RとS が2つの環である場合、R - S -双加群は次のようなアーベル群( M、 + )になります。

1. M は左Rモジュールと右Sモジュールです。
2. Rのすべてのr、Sのすべてのs、Mのすべてのmについて:$${\displaystyle (rm).s=r.(ms).}$$

R - R双加群はR双加群とも呼ばれます。

• 正の整数 nとmについて、実数のn × m行列の集合M _{n , m} ( R ) はR - S双加群です。ここで、Rはn × n行列の環M _n ( R ) 、Sはm × m行列の環M _m ( R )です。加算と乗算は、行列の加算と行列の乗算の通常の規則を使用して実行されます。行列の高さと幅は、乗算が定義されるように選択されています。M _{n , m} ( R ) 自体は環ではないことに注意してください ( n = mでない限り)。これは、 n × m 行列に別の n × m 行列を乗算することが定義されていないためです。双加群の重要な特性である( r . x ). s = r .( x . s )は、行列の乗算が結合的である (行列環の場合は結合性に対応する) というステートメントです。
• 環R上の任意の代数AはR双加群の自然な構造を持ち、左乗法と右乗法はそれ​​ぞれr . a = φ ( r ) aとa . r = aφ ( r )で定義されます。ここで、φ  : R → AはRのAへの標準埋め込みです。
• Rが環である場合、左と右の作用を乗算と見なすことで、 R自体はR - R双加群と見なすことができます。つまり、作用は結合性によって交換されます。これは、 R ⁿ ( Rのn倍の直積)に拡張できます。
• 環Rの任意の両側イデアルはR - R双加群であり、環の乗算は左乗算と右乗算の両方として存在します。
• 可換環 R上の任意の加群は、双加群の自然な構造を持ちます。たとえば、M が左加群である場合、右の乗算は左の乗算と同じであると定義できます。(ただし、すべてのR双加群がこのように発生するわけではありません。他の互換性のある右乗算が存在する可能性があります。)
• M が左R加群であれば、M はR - Z双加群であり、Z は整数環です。同様に、右R加群はZ - R双加群として解釈できます。任意のアーベル群はZ - Z双加群として扱うことができます。
• Mが右R加群の場合、 R加群自己準同型の集合End _R ( M )は、乗法が合成で与えられる環です。自己準同型環End _R ( M ) は、 f . x = f ( x )で定義される左乗法によってM に作用します。 ( f . x ). r = f .( x . r )という双加群の性質は、fがMからそれ自身へのR加群準同型であることを言い換えたものです。したがって、任意の右R加群MはEnd _R ( M )- R双加群です。同様に、任意の左R加群NはR -End _R ( N ) ^op双加群です。
• R がSの部分環である場合、S はR - R双加群である。また、R - SかつS - R双加群でもある。
• M がS - R双加群であり、N がR - T双加群である場合、M ⊗ _R NはS - T双加群です。

MとN がR - S -双加群である場合、写像f  : M → Nは、左R -加群の準同型かつ右S -加群の準同型である場合に双加群準同型である。

R - S双加群は、実際には環R ⊗ _Z S ^op上の左加群と同じものです。ここで、S ^{op は}Sの反対の環です（ここで、乗算は引数を交換して定義されます）。双加群準同型は、左R ⊗ _Z S ^op加群の準同型と同じです。これらの事実を使用すると、加群に関する多くの定義とステートメントを、双加群に関する定義とステートメントにすぐに変換できます。たとえば、すべてのR - S双加群のカテゴリはアーベルであり、標準的な同型定理は双加群に対して有効です。

しかし、双加群の世界には、特にテンソル積に関して、いくつかの新しい効果があります。MがR - S双加群でN がS - T双加群である場合、 MとNのテンソル積( 環Sをとったもの)は、自然にR - T双加群になります。この双加群のテンソル積は結合的(唯一の標準同型を除いて) であり、したがって、環をオブジェクトとし、双加群を射とするカテゴリを構築できます。これは実際には、標準的な方法で2 カテゴリです。R - S双加群MとNの間の 2 つの射は、まさに双加群準同型、つまり関数です。

${\displaystyle f:M\rightarrow N}$

満足する

1. ${\displaystyle f(m+m')=f(m)+f(m')}$
2. ${\displaystyle f(rms)=rf(m).s}$、

m ∈ M、r ∈ R、s ∈ Sである。双加群準同型に対する交換則は直ちに証明される。すなわち、

${\displaystyle (f'\otimes g')\circ (f\otimes g)=(f'\circ f)\otimes (g'\circ g)}$

は、等式のどちらかの辺（したがってもう一方の辺）が定義されているときはいつでも成り立ち、∘ は準同型の通常の合成です。この解釈では、カテゴリEnd ( R ) = Bimod ( R、R )は、カテゴリのテンソル積がR上の通常のテンソル積である、まさに R - R 双加群のモノイドカテゴリです。特に、 Rが可換環である場合、すべての左または右のR加群は標準的に R - R 双加群であり、カテゴリR - Mod の Bimod ( R 、 R ) へのモノイド埋め込みを与えます。 Rが体Kである場合は、対称モノイドカテゴリの動機となる例であり、その場合、R - Mod = K - Vect、つまりK上のベクトル空間のカテゴリで、通常のテンソル積⊗ = ⊗ _{K が}モノイド構造を与え、単位Kを持ちます。また、 Bimod ( R , R )のモノイドはまさにR代数であることも分かります。^{[説明が必要] [1]} さらに、MがR - S -双加群で、LがT - S -双加群である場合、MからLへのすべてのS -加群準同型集合Hom _S ( M , L )は自然にT - R -双加群になります。これらのステートメントは、導出関数ExtとTorに拡張されます。

プロファンクタは、双加群のカテゴリカルな一般化として見ることができます。

双加群は双代数とはまったく関係がないことに注意してください。

• プロファンクター

• Jacobson, N. (1989).基礎代数 II . WH Freeman and Company. pp. 133–136. ISBN 0-7167-1933-9。