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数学において、近環（または近環、近環とも呼ばれる）は、環に似ているが、満たす公理が少ない代数構造である。近環は群上の関数から自然に生じる。
集合Nと 2 つの二項演算+ (加算と呼ばれる) および ⋅ (乗算と呼ばれる) は、以下の条件を満たす場合に (右)近環と呼ばれる。
同様に、右分配法則を対応する左分配法則に置き換えることで、左近環を定義することも可能である。右近環と左近環はどちらも文献に登場する。例えば、Pilz [ 2 ] の著書では右近環が用いられ、Clay [ 3 ] の著書では左近環が用いられている。
この片側分配法則の直接的な帰結は、0⋅ x = 0は真であるが、 Nの任意のxに対してx ⋅0 = 0が必ずしも真であるとは限らないということである。もう 1 つの直接的な帰結は、 Nの任意のx、yに対して ( − x )⋅ y = − ( x ⋅ y ) であるが、 x ⋅( − y ) = − ( x ⋅ y )が必ずしも真であるとは限らないということである。近環がrngであるのは、加法が可換であり、乗法も左側の加法に対して分配法則を満たす場合に限る。近環が乗法単位元を持つ場合、両側の分配法則で十分であり、加法の可換性は自動的に導かれる。
G を、加法的に表記されるが必ずしもアーベル群ではない群とし、M ( G )をGからGへのすべての関数の集合{ f | f : G → G }とする。M ( G )上で加算演算を定義できる。すなわち、 M ( G )のf、gが与えられたとき、 GからGへの写像f + gは、Gのすべてのxに対して( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )で与えられる。すると、( M ( G ), +) も群であり、 Gがアーベル群である場合に限りアーベル群となる。写像の合成を積⋅ とすると、M ( G ) は近環となる。
近環M ( G )の 0 要素はゼロ写像、すなわちGのすべての要素をGの単位元に写像する写像です。M ( G )におけるfの加法逆元 − fは、自然な点ごとの定義と一致します。つまり、すべてのx ∈ Gに対して(− f )( x ) = −( f ( x ))です。
Gが少なくとも 2 つの要素を持つ場合、 Gがアーベル群であってもM ( G ) は環ではありません。 ( GからGの固定要素g ≠ 0への定数写像gを考えると、g ⋅0 = g ≠ 0 となります。) ただし、M ( G ) には、G のすべての群自己準同型、つまり、すべての x 、 y ∈ G に対して f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) となるような写像 f : G → G からなる部分集合 E ( G ) が存在します。( G 、+ )がアーベル群である場合、M ( G )上の両方の近環演算はE ( G )上で閉じられており、 ( E ( G ) 、 + 、⋅ )は環です。( G、 +)が非アーベル群である場合、E ( G ) は一般に近環演算の下で閉じられていません。しかし、近環操作によるE ( G )の閉包は近環である。
M ( G )の多くの部分集合は、興味深く有用な近環を形成します。例えば: [ 1 ]
グループにさらに構造がある場合、例えば次のような例が挙げられます。
すべての近環は、あるGに対してM ( G )のサブ近環と同型である。
多くの応用例では、近接場と呼ばれる近接リングのサブクラスが用いられます。これらについては、近接場に関する記事を参照してください。
適切なニアリング、すなわちリングでも近接場でもないものには、さまざまな応用例がある。
最もよく知られているのは、平面近環を用いた不完全ブロックデザインのバランスをとる方法です[ 2 ] 。これは、群の固定点のない自己同型群の軌道を用いて差分族を得る方法です。James R. Clayらは、これらのアイデアをより一般的な幾何学的構成に拡張しました[ 3 ] 。