アーベル群の階数

数学では、アーベル群Aのランク、プリューファーランク、またはねじれのないランクは、最大線形独立部分集合の濃度です。^{[ 1 ]} Aのランクは、Aに含まれる最大の自由アーベル群のサイズを決定します。A がねじれのない群である場合、次元ランクA の有理数上のベクトル空間に埋め込まれます。有限生成アーベル群の場合、ランクは強い不変量であり、そのような群はすべて、ランクとねじれ部分群によって同型を除いて決定されます。ランク 1 のねじれのないアーベル群は完全に分類されています。しかし、より高いランクのアーベル群の理論はより複雑です。

ランクという用語は、初等アーベル群の文脈では異なる意味を持つ。

アーベル群Aの部分集合 { a _α } は、これらの要素の線形結合でゼロに等しいものが自明なものだけである場合、 ( Z上)線形独立である。

${\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,}$

有限個の係数n _αを除くすべての係数がゼロである場合 (つまり、和が実質的に有限である場合)、すべての係数はゼロになります。A 内の任意の 2 つの最大線形独立集合は同じ濃度を持ち、これはAのランクと呼ばれます。

アーベル群の階数は、ベクトル空間の次元に類似しています。ベクトル空間の場合との主な違いは、ねじれが存在することです。アーベル群Aの要素は、その位数が有限であればねじれ要素と呼ばれます。すべてのねじれ要素の集合は部分群であり、ねじれ部分群と呼ばれ、 T ( A )と表記されます。非自明なねじれ要素を持たない群は、ねじれフリー群と呼ばれます。因子群A / T ( A ) は、 Aの唯一の最大ねじれフリー商群であり、その階数はAの階数と一致します。

同様の性質を持つランクの概念は、任意の整域上の加群に対して定義することができ、アーベル群の場合はZ上の加群に対応します。これについては、有限生成加群#一般ランクを参照してください。

• アーベル群Aの階数は、Qベクトル空間A ⊗ Qの次元と一致する。Aがねじれのない群である場合、標準写像A → A ⊗ Qは単射であり、 Aの階数は、 A をアーベル部分群として含むQベクトル空間の最小次元である。特に、任意の中間群Z ⁿ < A < Q ^{n の}階数はnである。
• 階数 0 のアーベル群は、周期アーベル群と全く同じである。
• 有理数の群Qはランク 1 である。ランク 1 のねじれのないアーベル群はQの部分群として実現され、同型を除いて満足のいく分類が存在する。対照的に、ランク 2 のねじれのないアーベル群には満足のいく分類は存在しない。^{[ 2 ]}
• ランクは短い完全シーケンス上で加算されます。

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\;}$

がアーベル群の短完全列である場合、rk B = rk A + rk C が成り立つ。これはQの平坦性とベクトル空間に関する対応する事実から導かれる。      

• ランクは任意の直和に対して加法的である。

${\displaystyle \operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {rank} (A_{j}),}$

右辺の合計は基数演算を使用します。

階数が 1 より大きいアーベル群は、興味深い例の源泉です。例えば、任意の基数dに対して、階数dのねじれのないアーベル群が存在し、それらは分解不可能、つまり、その真部分群のペアの直和として表すことができません。これらの例は、階数が 1 より大きいねじれのないアーベル群は、理論がよく理解されている階数 1 のねじれのないアーベル群の直和によって単純に構築することはできないことを示しています。さらに、任意の整数に対して、${\displaystyle n\geq 3}$階数のねじれのないアーベル群が存在する${\displaystyle 2n-2}$それは同時に2つの分解不可能な群の和であり、n個の分解不可能な群の和でもある。したがって、4以上の偶数階数の群の分解不可能な項の数さえも明確に定義されていない。

直接和分解の非一意性に関するもう1つの結果はALSコーナーによるものです。与えられた整数${\displaystyle n\geq k\geq 1}$任意の分割に対して、ランクnのねじれのないアーベル群Aが存在し、${\displaystyle n=r_{1}+\cdots +r_{k}}$k 個の自然和に分解すると、群Aはランクのk 個の分解不可能な部分群の直和となる。${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}$したがって、有限ランクのねじれのないアーベル群の特定の直和分解における分解不可能な項のランクの列は、 Aの不変量とは程遠い。

その他の驚くべき例としては、ねじれのないランク 2 の群A _{n , m}とB _{n , m が}あり、 A ^{n は}、 nがmで割り切れる場合に限りB ⁿと同型である。

無限階数のアーベル群の場合、次のような群Kと部分群Gの例が存在する。

• Kは分解不可能である。
• KはGと他の1つの要素によって生成される。
• Gのゼロでないすべての直和因子は分解可能である。

階数の概念は、整域R上の任意の加群Mに対して、加群と体とのテンソル積の商体であるR ₀上の次元として一般化できる。

$\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\dim _{R_{0}}(M\otimes _{R}R_{0})}$

R ₀は体であるため、その上の任意のモジュール（より正確にはベクトル空間）は自由である、という理屈は成り立つ。

これは一般化であり、すべてのアーベル群は整数の加群である。任意のねじれ元xと任意の有理数qに対して、 Q上の積の次元が最大線形独立部分集合の濃度であることは容易に導かれる。

${\displaystyle x\otimes _{\mathbf {Z} }q=0.}$

• グループのランク