定義 これは線形微分方程式 であるため、解は任意の振幅にスケーリングできます。関数に選択された振幅は、関数が微分方程式の解ではなく定積分の解 として現れた初期の研究に由来します。微分方程式は2階であるため、線形独立な 解が2つ存在する必要があります。1つは第1種、もう1つは第2種です。ただし、状況によっては、これらの解のさまざまな定式化が便利です。さまざまなバリエーションは、以下の表にまとめられ、次のセクションで説明されています。添え字n は通常、α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha }
第2種ベッセル関数と第2種球面ベッセル関数は、 Y n y n N n とn n で表されることがある。[ 4 ] [ 5 ]
I α 、K α ベッセル関数は複素 引数x に対しても有効であり、重要な特殊なケースとして純虚数引数の場合がある。この場合、ベッセル方程式の解は第 1 種および第 2 種の 変形ベッセル関数 (または双曲線ベッセル関数 )と呼ばれ、 [ 24 ] 私 α （ x ） = 私 − α J α （ 私 x ） = ∑ m = 0 ∞ 1 m ! Γ （ m + α + 1 ） （ x 2 ） 2 m + α 、 K α （ x ） = π 2 私 − α （ x ） − 私 α （ x ） 罪 α π 、 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}} α が整数でない 場合。αが 整数の場合は極限が使用されます。これらは、実数かつ正の引数xに対して実数値となるように選択されます。したがって、 I α ( x )J α ( x )(−1) m 因子はありません。
K α {\displaystyle K_{\alpha }} K α （ x ） = { π 2 私 α + 1 H α （ 1 ） （ 私 x ） − π < 引数 x ≤ π 2 π 2 （ − 私 ） α + 1 H α （ 2 ） （ − 私 x ） − π 2 < 引数 x ≤ π {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}
これら2つの公式を使用すると、結果はJ α 2 （ z ） + Y α 2 （ z ） {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)+Y_{\alpha }^{2}(z)} 。 J α 2 （ x ） + Y α 2 （ x ） = 8 π 2 ∫ 0 ∞ コッシュ （ 2 α t ） K 0 （ 2 x シン t ） d t 、 {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}
条件Re( x ) > 0 が満たされると仮定すると、次のことも示せる。 J α 2 （ x ） + Y α 2 （ x ） = 8 コス （ α π ） π 2 ∫ 0 ∞ K 2 α （ 2 x シン t ） d t 、 {\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,} | Re( α ) | < 1 / 2 かつ Re( x ) ≥ 0 の x = 0[ 25 ]
第１および第２ベッセル関数は、修正ベッセル関数を用いて表現できます（これらは− π < arg z ≤ π / 2 の場合に有効です ） ：[ 26 ] J α （ 私 z ） = e α π 私 2 私 α （ z ） 、 Y α （ 私 z ） = e （ α + 1 ） π 私 2 私 α （ z ） − 2 π e − α π 私 2 K α （ z ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}
I α ( x )K α ( x )は、修正ベッセル方程式 の 2 つの線形独立解です。 [ 27 ] x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − （ x 2 + α 2 ） y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}
通常のベッセル関数は実引数の関数として振動するのに対し、I α とK α はそれぞれ指数関数的に増加 および減少する 関数です。通常のベッセル関数J α と同様に、関数I αは α > 0 の場合はx = 0α = 0 の場合はx = 0 で有限になります。同様に、K αは x = 0 で発散し、特異点はK 0 1 / 2 Γ( | α | )(2/ x ) | α | [ 28 ]
修正ベッセル関数の 2 つの積分公式は ( Re( x ) > 0 の場合) : [ 29 ] 私 α （ x ） = 1 π ∫ 0 π e x コス θ コス α θ d θ − 罪 α π π ∫ 0 ∞ e − x コッシュ t − α t d t 、 K α （ x ） = ∫ 0 ∞ e − x コッシュ t コッシュ α t d t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}
ベッセル関数は、二次関数のべき乗のフーリエ変換として記述できます。例えば（Re(ω) > 0 の場合）： 2 K 0 （ ω ） = ∫ − ∞ ∞ e 私 ω t t 2 + 1 d t 。 {\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}
これは、K₀ に対する
第2種の変形ベッセル関数はバセットの積分[ 30 ]で表すことができる。 K n （ x z ） = Γ （ n + 1 2 ） （ 2 z ） n π x n ∫ 0 ∞ コス （ x t ） d t （ t 2 + z 2 ） n + 1 2 。 {\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}
変形ベッセル関数K 1/3 K 2/3 [ 31 ] K 1 3 （ ξ ） = 3 ∫ 0 ∞ exp （ − ξ （ 1 + 4 x 2 3 ） 1 + x 2 3 ） d x 、 K 2 3 （ ξ ） = 1 3 ∫ 0 ∞ 3 + 2 x 2 1 + x 2 3 exp （ − ξ （ 1 + 4 x 2 3 ） 1 + x 2 3 ） d x 。 {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}
修正ベッセル関数K 1 2 （ ξ ） = （ 2 ξ / π ） − 1 / 2 exp （ − ξ ） {\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )} ラプラス分布を 正規分布の指数スケール混合として表現することは有用である。
第2種変形ベッセル関数は 、以下の名称でも呼ばれていました（現在ではあまり使われていません）。
j n 、y n 複素平面上の−2 − 2 i 2 + 2 iの範囲における、 n = 0.5 の球面ベッセル関数j n ( z )のプロット。 複素平面上の−2 − 2 i 2 + 2 iの範囲における、 n = 0.5 の第二種球面ベッセル関数y n ( z )のプロット。 第一種球面ベッセル関数j α （ x ） {\displaystyle j_{\alpha }(x)} α = 0 、 1 、 2 {\displaystyle \alpha =0,1,2} 第2種球面ベッセル関数y α （ x ） {\displaystyle y_{\alpha }(x)} α = 0 、 1 、 2 {\displaystyle \alpha =0,1,2} 変数分離法 を用いて球面座標系でヘルムホルツ方程式 を解くと、動径方程式は次の形になる。 x 2 d 2 y d x 2 + 2 x d y d x + （ x 2 − n （ n + 1 ） ） y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}
この方程式の 2 つの線形独立解は球面ベッセル関数 j n とy n と呼ばれ、通常のベッセル関数J n とY n と次の関係にある[ 33 ] j n （ x ） = π 2 x J n + 1 2 （ x ） 、 y n （ x ） = π 2 x Y n + 1 2 （ x ） = （ − 1 ） n + 1 π 2 x J − n − 1 2 （ x ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}
y n はn n またはη n 球面ノイマン関数 と呼んでいます。
通常のベッセル関数との関係から、次のことが直接的にわかる。 j n （ x ） = （ − 1 ） n y − n − 1 （ x ） y n （ x ） = （ − 1 ） n + 1 j − n − 1 （ x ） {\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}
球面ベッセル関数は次のように書くこともできます（レイリーの公式 [ 34 ] j n （ x ） = （ − x ） n （ 1 x d d x ） n 罪 x x 、 y n （ x ） = − （ − x ） n （ 1 x d d x ） n コス x x 。 {\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}
ゼロ次球面ベッセル関数j 0 ( x )は、（正規化されていない） sinc関数 としても知られています。最初のいくつかの球面ベッセル関数は次のとおりです。[ 35 ] j 0 （ x ） = 罪 x x 。 j 1 （ x ） = 罪 x x 2 − コス x x 、 j 2 （ x ） = （ 3 x 2 − 1 ） 罪 x x − 3 コス x x 2 、 j 3 （ x ） = （ 15 x 3 − 6 x ） 罪 x x − （ 15 x 2 − 1 ） コス x x {\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}} [ 36 ] y 0 （ x ） = − j − 1 （ x ） = − コス x x 、 y 1 （ x ） = j − 2 （ x ） = − コス x x 2 − 罪 x x 、 y 2 （ x ） = − j − 3 （ x ） = （ − 3 x 2 + 1 ） コス x x − 3 罪 x x 2 、 y 3 （ x ） = j − 4 （ x ） = （ − 15 x 3 + 6 x ） コス x x − （ 15 x 2 − 1 ） 罪 x x 。 {\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}
最初のいくつかの球面ベッセル関数の最初のいくつかの非ゼロ根は次のとおりです。
生成関数 球面ベッセル関数は生成関数[ 37 ]を持つ。 1 z コス （ z 2 − 2 z t ） = ∑ n = 0 ∞ t n n ! j n − 1 （ z ） 、 1 z 罪 （ z 2 − 2 z t ） = ∑ n = 0 ∞ t n n ! y n − 1 （ z ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}
有限級数展開 整数ベッセル関数J n ( x ) 、Y n ( x )j n ( x ) 、y n ( x )[ 38 ] j n （ x ） = π 2 x J n + 1 2 （ x ） = 1 2 x [ e 私 x ∑ r = 0 n 私 r − n − 1 （ n + r ） ! r ! （ n − r ） ! （ 2 x ） r + e − 私 x ∑ r = 0 n （ − 私 ） r − n − 1 （ n + r ） ! r ! （ n − r ） ! （ 2 x ） r ] = 1 x [ 罪 （ x − n π 2 ） ∑ r = 0 ⌊ n 2 ⌋ （ − 1 ） r （ n + 2 r ） ! （ 2 r ） ! （ n − 2 r ） ! （ 2 x ） 2 r + コス （ x − n π 2 ） ∑ r = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ （ − 1 ） r （ n + 2 r + 1 ） ! （ 2 r + 1 ） ! （ n − 2 r − 1 ） ! （ 2 x ） 2 r + 1 ] {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\\end{alignedat}}} y n （ x ） = （ − 1 ） n + 1 j − n − 1 （ x ） = （ − 1 ） n + 1 π 2 x J − （ n + 1 2 ） （ x ） = （ − 1 ） n + 1 2 x [ e 私 x ∑ r = 0 n 私 r + n （ n + r ） ! r ! （ n − r ） ! （ 2 x ） r + e − 私 x ∑ r = 0 n （ − 私 ） r + n （ n + r ） ! r ! （ n − r ） ! （ 2 x ） r ] = （ − 1 ） n + 1 x [ コス （ x + n π 2 ） ∑ r = 0 ⌊ n 2 ⌋ （ − 1 ） r （ n + 2 r ） ! （ 2 r ） ! （ n − 2 r ） ! （ 2 x ） 2 r − 罪 （ x + n π 2 ） ∑ r = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ （ − 1 ） r （ n + 2 r + 1 ） ! （ 2 r + 1 ） ! （ n − 2 r − 1 ） ! （ 2 x ） 2 r + 1 ] {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}
微分関係 以下では、f nは n = 0, ±1, ±2, ... に対してj n 、y n 、h (1) n h (2) n [ 39 ] （ 1 z d d z ） m （ z n + 1 f n （ z ） ） = z n − m + 1 f n − m （ z ） 、 （ 1 z d d z ） m （ z − n f n （ z ） ） = （ − 1 ） m z − n − m f n + m （ z ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}
h (1) n h (2) n 複素平面上の−2 − 2 i 2 + 2 i n = −0.5 の球面ハンケル関数h (1) n x )をプロットする。 複素平面上の−2 − 2 i 2 + 2 i n = −0.5 の球面ハンケル関数h (2) n x )をプロットする。 ハンケル関数 には球面版も存在する。 h n （ 1 ） （ x ） = j n （ x ） + 私 y n （ x ） 、 h n （ 2 ） （ x ） = j n （ x ） − 私 y n （ x ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}
半整数 次のベッセル関数は、標準的な三角関数 を用いて簡単な閉形式で表現でき、したがって球面ベッセル関数についても同様である。特に、非負整数n の場合： h n （ 1 ） （ x ） = （ − 私 ） n + 1 e 私 x x ∑ m = 0 n 私 m m ! （ 2 x ） m （ n + m ） ! （ n − m ） ! 、 {\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},} h (2) n x の場合)。したがって、例えばj 0 ( x ) = sin x / x y 0 ( x ) = − cos x / x
球面ハンケル関数は、例えば電磁場の多重極展開など、 球面波の 伝播に関する問題に現れる。
S n 、C n 、ξ n 、ζ n リッカチ ・ベッセル関数は、球面ベッセル関数とわずかに異なるだけです。 S n （ x ） = x j n （ x ） = π x 2 J n + 1 2 （ x ） C n （ x ） = − x y n （ x ） = − π x 2 Y n + 1 2 （ x ） ξ n （ x ） = x h n （ 1 ） （ x ） = π x 2 H n + 1 2 （ 1 ） （ x ） = S n （ x ） − 私 C n （ x ） ζ n （ x ） = x h n （ 2 ） （ x ） = π x 2 H n + 1 2 （ 2 ） （ x ） = S n （ x ） + 私 C n （ x ） {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}
リッカチ・ベッセル関数 Sn 複素数プロット（-2 - 2 i から2 + 2 i まで） それらは微分方程式を満たす x 2 d 2 y d x 2 + （ x 2 − n （ n + 1 ） ） y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}
例えば、この種の微分方程式は、仮想的な円筒形の無限ポテンシャル障壁を持つシュレーディンガー方程式 の動径成分を解く際に量子力学で現れます。 [ 40 ] この微分方程式とリッカチ・ベッセル解は、ミー（1908）による最初の解の発表にちなんでミー散乱 として知られる、球による電磁波の散乱の問題でも現れます。最近の進展と参考文献については、例えば Du（2004） [ 41 ]
デバイ （1909）に倣って、 S n C n ψ n 、χ n という表記が使われることがある。
ベッセル関数は、次の漸近 形を持つ。引数が小さい場合0 < z 〜 α + 1 {\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}} α {\displaystyle \alpha } [ 6 ] J α （ z ） ～ 1 Γ （ α + 1 ） （ z 2 ） α 。 {\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}
α が負の整数の 場合、J α （ z ） ～ （ − 1 ） α （ − α ） ! （ 2 z ） α 。 {\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}
第2種ベッセル関数については、次の3つの場合が考えられます。 Y α （ z ） ～ { 2 π （ ln （ z 2 ） + γ ） もし α = 0 − Γ （ α ） π （ 2 z ） α + 1 Γ （ α + 1 ） （ z 2 ） α ベビーベッド （ α π ） もし α は正の整数です。 − （ − 1 ） α Γ （ − α ） π （ z 2 ） α もし α は負の整数です。 {\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer,}}\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}} γ はオイラー・マスケローニ定数 （0.5772...）である。2番目のケース（ここでα {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha }
大きな実引数z ≫ | α 2 − 1 / 4 | αが 半整数 でない限り)。なぜなら、それらは無限大まで零点を持ち、漸近展開によって正確に一致させる必要があるからです。ただし、与えられた arg z の値に対して、| z | −1 [ 42 ] J α （ z ） = 2 π z （ コス （ z − α π 2 − π 4 ） + e | 私は （ z ） | O （ | z | − 1 ） ） のために | 引数 z | < π 、 Y α （ z ） = 2 π z （ 罪 （ z − α π 2 − π 4 ） + e | 私は （ z ） | O （ | z | − 1 ） ） のために | 引数 z | < π 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}
（α = 1/2 の場合、これらの式 の最後の項 は ）
ハンケル関数の漸近形は以下のとおりです。 H α （ 1 ） （ z ） ～ 2 π z e 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために − π < 引数 z < 2 π 、 H α （ 2 ） （ z ） ～ 2 π z e − 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために − 2 π < 引数 z < π 。 {\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}
これらは、H (1) α ( ze im π ) とH (2) α ( ze im π )を H (1) α ( z ) とH (2) α ( z ) に関連付ける方程式 arg [ 43 ]
興味深いことに、第一種ベッセル関数は 2 つのハンケル関数の平均であるにもかかわらず、zが負の場合、 J α ( z )arg z ベッセル の 漸近 形式 記述 すること ができ ます J α （ z ） ～ 1 2 π z e 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために − π < 引数 z < 0 、 J α （ z ） ～ 1 2 π z e − 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために 0 < 引数 z < π 、 Y α （ z ） ～ − 私 1 2 π z e 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために − π < 引数 z < 0 、 Y α （ z ） ～ 私 1 2 π z e − 私 （ z − α π 2 − π 4 ） のために 0 < 引数 z < π 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}
修正ベッセル関数についても、ハンケルは 漸近展開 を開発した。[ 44 ] [ 45 ] 私 α （ z ） ～ e z 2 π z （ 1 − 4 α 2 − 1 8 z + （ 4 α 2 − 1 ） （ 4 α 2 − 9 ） 2 ! （ 8 z ） 2 − （ 4 α 2 − 1 ） （ 4 α 2 − 9 ） （ 4 α 2 − 25 ） 3 ! （ 8 z ） 3 + ⋯ ） のために | 引数 z | < π 2 、 K α （ z ） ～ π 2 z e − z （ 1 + 4 α 2 − 1 8 z + （ 4 α 2 − 1 ） （ 4 α 2 − 9 ） 2 ! （ 8 z ） 2 + （ 4 α 2 − 1 ） （ 4 α 2 − 9 ） （ 4 α 2 − 25 ） 3 ! （ 8 z ） 3 + ⋯ ） のために | 引数 z | < 3 π 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}
漸近形もある（大きな実数の場合）z {\displaystyle z} [ 46 ] 私 α （ z ） = 1 2 π z 1 + α 2 z 2 4 exp （ − α arcsinh （ α z ） + z 1 + α 2 z 2 ） （ 1 + O （ 1 z 1 + α 2 z 2 ） ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}
α = 1/2 の 項 を 。 私 1 / 2 （ z ） = 2 π シン （ z ） z ～ e z 2 π z のために | 引数 z | < π 2 、 K 1 / 2 （ z ） = π 2 e − z z 。 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}
小さな議論のために0 < | z | 〜 α + 1 {\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}} 私 α （ z ） ～ 1 Γ （ α + 1 ） （ z 2 ） α 、 K α （ z ） ～ { − ln （ z 2 ） − γ もし α = 0 Γ （ α ） 2 （ 2 z ） α もし α > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}
物件 次数がα {\displaystyle \alpha } [ 47 ]
d d x J α （ x ） = J α − 1 （ x ） − α x J α （ x ） {\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)=J_{\alpha -1}(x)-{\alpha \over x}J_{\alpha }(x)}
または同等に、
d d x J α （ x ） = α x J α （ x ） − J α + 1 （ x ） {\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)={\alpha \over x}J_{\alpha }(x)-J_{\alpha +1}(x)}
これらの式は、漸化式を決定するために使用できます。J α （ x ） {\displaystyle J_{\alpha }(x)} 以下に 示す。[ 47 ]
整数次数α = n J n は 生成関数 のローラン級数 によって定義されることが多い。 e x 2 （ t − 1 t ） = ∑ n = − ∞ ∞ J n （ x ） t n {\displaystyle e^{{\frac {x}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}} 1843年にPAハンセン が用いた手法。（これは、経路積分法 などの方法によって非整数次数にも一般化できる。）
無限級数 ∑ ν = − ∞ ∞ J N ν + p （ x ） {\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)} ν 、 p ∈ Z 、 N ∈ Z + \nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+} Sung級数 によって閉じた形で定義される。[ 48 ] ∑ ν = − ∞ ∞ J 3 ν + p （ x ） = 1 3 [ 1 + 2 コス （ x 3 / 2 − 2 π p / 3 ） ] {\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]} ∑ ν = − ∞ ∞ J N ν + p （ x ） = 1 N ∑ q = 0 N − 1 e 私 x 罪 2 π q / N e − 私 2 π p q / N {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}} ∑ ν = − ∞ ∞ （ − 1 ） ν J N ν + p （ x ） = 1 N ∑ q = 0 N − 1 e 私 x 罪 （ 2 q + 1 ） π / N e − 私 （ 2 q + 1 ） π p / N {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}
ベッセル関数を用いた級数展開（カプテイン級数 ）は 1 1 − z = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ J n （ n z ） 。 {\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}
整数位数に関するもう一つの重要な関係は、ヤコビ・アンガー展開 e 私 z コス ϕ = ∑ n = − ∞ ∞ 私 n J n （ z ） e 私 n ϕ {\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}
e 私 z 罪 θ ≡ ∑ n = − ∞ ∞ J n （ z ） e 私 n θ 。 {\displaystyle e^{iz\sin \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in\theta }.} 後者は以下と同等です e ± 私 z 罪 ϕ = J 0 （ z ） + 2 ∑ n = 1 ∞ J 2 n （ z ） コス （ 2 n ϕ ） ± 2 私 ∑ n = 0 ∞ J 2 n + 1 （ z ） 罪 （ （ 2 n + 1 ） ϕ ） {\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )} これは、平面波を 円筒波の和 として 展開したり、トーン変調されたFM信号の フーリエ級数 を求めたりするために使用されます。
より一般的には、一連の f （ z ） = 1 0 ν J ν （ z ） + 2 ⋅ ∑ k = 1 ∞ 1 k ν J ν + k （ z ） {\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)} これはf のノイマン展開と呼ばれます。ν = 0 の係数は次の明示的な形をとります 。 1 k 0 = 1 2 π 私 ∫ | z | = c f （ z ） O k （ z ） d z {\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz} O k はノイマン多項式 である。[ 49 ]
選択された関数は特別な表現を許容する f （ z ） = ∑ k = 0 ∞ 1 k ν J ν + 2 k （ z ） {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)} 1 k ν = 2 （ ν + 2 k ） ∫ 0 ∞ f （ z ） J ν + 2 k （ z ） z d z {\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz} ∫ 0 ∞ J α （ z ） J β （ z ） d z z = 2 π 罪 （ π 2 （ α − β ） ） α 2 − β 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}
より一般的には、f が 原点付近にそのような性質の分岐点を持つ場合、 f （ z ） = ∑ k = 0 1 k J ν + k （ z ） {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)} L { ∑ k = 0 1 k J ν + k } （ s ） = 1 1 + s 2 ∑ k = 0 1 k （ s + 1 + s 2 ） ν + k {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}} ∑ k = 0 1 k ξ ν + k = 1 + ξ 2 2 ξ L { f } （ 1 − ξ 2 2 ξ ） {\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)} L { f } {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}} はf のラプラス変換 である。[ 50 ]
ベッセル関数を定義する別の方法として、ポアソン表現式とメーラー・ソニン式がある。 J ν （ z ） = （ z 2 ） ν Γ （ ν + 1 2 ） π ∫ − 1 1 e 私 z s （ 1 − s 2 ） ν − 1 2 d s = 2 （ z 2 ） ν ⋅ π ⋅ Γ （ 1 2 − ν ） ∫ 1 ∞ 罪 z u （ u 2 − 1 ） ν + 1 2 d u {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}} ν > − 1 / 2 およびz ∈ C [ 51 ] この式は特にフーリエ変換を 扱う際に有用である。
ベッセル方程式はx で割るとエルミート方程式 （自己共役方程式）になるため、適切な境界条件の下では解は直交関係を満たさなければならない。具体的には、次のことが成り立つ。 ∫ 0 1 x J α （ x u α 、 m ） J α （ x u α 、 n ） d x = δ m 、 n 2 [ J α + 1 （ u α 、 m ） ] 2 = δ m 、 n 2 [ J α ′ （ u α 、 m ） ] 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}} α > −1δ m 、n はクロネッカーのデルタ であり、u α 、m はJ α ( x ) のm 番目の零点 です。この直交関係は、固定されたαと変化する m に対して関数 J α ( x u α 、 m ) の基底で関数を展開するフーリエ・ベッセル級数の 係数を抽出するために使用でき ます。
球面ベッセル関数についても同様の関係が直ちに成り立つ。 ∫ 0 1 x 2 j α （ x u α 、 m ） j α （ x u α 、 n ） d x = δ m 、 n 2 [ j α + 1 （ u α 、 m ） ] 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}
小さなパラメータεに依存する x のボックスカー関数を 次のように定義する。 f ε （ x ） = 1 ε 長方形 （ x − 1 ε ） {\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)} rect は矩形関数 )の場合、任意の次数α > − 1 / 2 のハンケル変換 g ε ( k ) は、任意のkに対して ε が ゼロに近づくにつれてJ α ( k ) に近づきます。逆に、 g ε ( k ) のハンケル変換 (同じ次数)はf ε ( x ) です。 ∫ 0 ∞ k J α （ k x ） g ε （ k ） d k = f ε （ x ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)} が ゼロに近づくと、右辺はδ ( x − 1)δは ディラックのデルタ関数 です。これにより、次の極限が成り立ちます (分布の 意味で)。 ∫ 0 ∞ k J α （ k x ） J α （ k ） d k = δ （ x − 1 ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}
変数変換を行うと、閉包方程式 が得られます。[ 52 ] ∫ 0 ∞ x J α （ u x ） J α （ v x ） d x = 1 u δ （ u − v ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)} α > − 1/2 の 。 ます 。 ∫ 0 ∞ x 2 j α （ u x ） j α （ v x ） d x = π 2 u v δ （ u − v ） {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v)} α > −1
ベッセル方程式のもう一つの重要な性質は、アーベルの恒等式 から導かれるもので、解の ロンスキアンに関係する。 A α （ x ） d B α d x − d A α d x B α （ x ） = C α x {\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}} A α とB α はベッセル方程式の任意の 2 つの解であり、C α はx に依存しない定数(α と考慮される特定のベッセル関数に依存する) である。特に、 J α （ x ） d Y α d x − d J α d x Y α （ x ） = 2 π x {\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}} 私 α （ x ） d K α d x − d 私 α d x K α （ x ） = − 1 x 、 {\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},} α > −1
α > −1x − α J α ( x )0 < j α 、 1 < j α 、 2 < ⋯ < j α 、 n < ⋯ {\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots } J α （ z ） = （ z 2 ） α Γ （ α + 1 ） ∏ n = 1 ∞ （ 1 − z 2 j α 、 n 2 ） {\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}
（ここには掲載されていないものの、参考文献には多数の既知の積分や恒等式が記載されている。）
漸化式 関数J α 、Y α 、H (1) α H (2) α 漸化式 [ 53 ]を満たします。 2 α x Z α （ x ） = Z α − 1 （ x ） + Z α + 1 （ x ） {\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)} 2 d Z α （ x ） d x = Z α − 1 （ x ） − Z α + 1 （ x ） 、 {\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),} Z は J 、Y 、H (1) H (2) [ 54 ]が成り立ちます。 （ 1 x d d x ） m [ x α Z α （ x ） ] = x α − m Z α − m （ x ） 、 （ 1 x d d x ） m [ Z α （ x ） x α ] = （ − 1 ） m Z α + m （ x ） x α + m 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}
上記の関係式を用いると、球面 ベッセル関数についても同様の関係式を導き出すことができる。
2 α + 1 x j α （ x ） = j α − 1 + j α + 1 {\displaystyle {\frac {2\alpha +1}{x}}j_{\alpha }(x)=j_{\alpha -1}+j_{\alpha +1}}
そして
d j α （ x ） d x = j α − 1 − α + 1 x j α {\displaystyle {\frac {dj_{\alpha }(x)}{dx}}=j_{\alpha -1}-{\frac {\alpha +1}{x}}j_{\alpha }}
変形 ベッセル関数も同様の関係に従います。 e （ x 2 ） （ t + 1 t ） = ∑ n = − ∞ ∞ 私 n （ x ） t n {\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}} e z コス θ = 私 0 （ z ） + 2 ∑ n = 1 ∞ 私 n （ z ） コス n θ {\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta } 1 2 π ∫ 0 2 π e z コス （ m θ ） + y コス θ d θ = 私 0 （ z ） 私 0 （ y ） + 2 ∑ n = 1 ∞ 私 n （ z ） 私 m n （ y ） 。 {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}
漸化式は次のようになる。 C α − 1 （ x ） − C α + 1 （ x ） = 2 α x C α （ x ） 、 C α − 1 （ x ） + C α + 1 （ x ） = 2 d d x C α （ x ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}} C α は I α またはe αi π K α
超越 1929年、カール・ルートヴィヒ・ジーゲルは 、 ν が 有理数でxが 代数 ない とき Jν ( x ) 、( x ) 、対数微分 J'ν ( x ) / Jν ( x ) が超越数 であることを証明 [ 55 ] Γ （ v + 1 ） （ 2 / x ） v J v （ x ） {\displaystyle \Gamma (v+1)(2/x)^{v}J_{v}(x)} [ 56 ]
ベッセル関数との和 2つのベッセル関数の積は、次の和をとる。 ∑ ν = − ∞ ∞ J ν （ x ） J n − ν （ y ） = J n （ x + y ） 、 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{n-\nu }(y)=J_{n}(x+y),} ∑ ν = − ∞ ∞ J ν （ x ） J ν + n （ y ） = J n （ y − x ） 。 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(y)=J_{n}(y-x).} ∑ ν = − ∞ ∞ J ν （ x ） J ν + n （ x ） = δ n 、 0 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)=\delta _{n,0}} ∑ ν = − ∞ ∞ J ν 2 （ x ） = 1. {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }^{2}(x)=1.}
これらの和は、指数の多項式関数である項乗数を含むように拡張できます。たとえば、 ∑ ν = − ∞ ∞ ν J ν （ x ） J ν + n （ x ） = x 2 （ δ n 、 1 + δ n 、 − 1 ） 、 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1}\right),} ∑ ν = − ∞ ∞ ν J ν 2 （ x ） = 0 、 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }^{2}(x)=0,} ∑ ν = − ∞ ∞ ν 2 J ν （ x ） J ν + n （ x ） = x 2 （ δ n 、 − 1 − δ n 、 1 ） + x 2 4 （ δ n 、 − 2 + 2 δ n 、 0 + δ n 、 2 ） 、 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1}\right)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2}\right),} ∑ ν = − ∞ ∞ ν 2 J ν 2 （ x ） = x 2 2 。 {\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}.}
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa434f6bcee175b4ff90fde5ba2fb596a41b90c3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2748efe7f4138a71b2bf84ed77bc90d4bf0810)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f0226c9673919c5c9a95041395384711081474)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f3ac2da371d4ddcb7b0694f5e7fca8c7453803)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28973dd4cdae45d03d4ed47926313658638682d6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0b68640cfbec56a6b6ad53c432371549dcfedd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4460424d9d6b98161589dd4aa46ad6429678c189)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c907de8d37caf8e5e482ce5005e8941ab401bd4b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526dd0ae355e44f4bd2608b20d39d07da0fff979)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{rn-1}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{rn-1}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc75e7a5b9ec63a394de2680f0414f337cbf93df)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(nr)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac \end{alignedat} \left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db03a98898fde31c8eb5ad558c53121c52bb7b5)
![{\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer,}}\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11feb8ee8cd4d145c54f130e6de789e7274825e7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi \end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c892df890c00f5a4bc2d13ae3b02ea0abb79aec1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab11a00284d82a75cb91cb6707c390a7dcdb2487)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec3a7941e679aaacaf61d90117613ee90a23851)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbbf3eae419f2a44adfb496e7ccb657439bdaf7)
![{\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eaa4c63e9da373d3678e16136bd9a11688985bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248363b3af99701e32dcec48127f0dfc6e7586bf)
![${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4901ce8ec95f647c69297f8a6a92d245466ba632)
![${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6fbc1b8ac85fb7dd6253a931d1b78cec9b89ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59565e99a36cfef8426d543521d8e4df7bc07a2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8390e0da90e49d8017a003ce6e00d8a2358dc06)
