低次元トポロジー

数学において、低次元位相幾何学は、4次元以下の多様体、より一般的には位相空間を研究する位相幾何学の一分野である。代表的なトピックは、 3次元多様体と4次元多様体の構造理論、結び目理論、および組紐群である。これは、幾何学的位相幾何学の一部と見なすことができます。また、1次元の位相空間の研究を指すために使用されることもありますが、これはより一般的には連続体理論の一部であると考えられています。

1960 年代に始まった数々の進歩は、位相幾何学における低次元の重要性を強調する結果となった。1961年にスティーブン・スメールが 5 次元以上でポアンカレ予想を解決したことで、3 次元と 4 次元が最も難しいと思われた。実際、これらの次元には新しい手法が必要となったが、高次元の自由度により、問題を外科理論で利用可能な計算手法に簡略化できるようになった。1970 年代後半に定式化されたサーストンの 幾何化予想は、低次元では幾何学と位相幾何学が密接に絡み合っていることを示唆する枠組みを提供し、サーストンによるハーケン多様体の幾何化の証明では、それまで弱くしか関連がなかった数学の分野のさまざまなツールが利用された。1980 年代初頭のヴォーン・ジョーンズによるジョーンズ多項式の発見は、結び目理論を新たな方向に導いただけでなく、低次元位相幾何学と数理物理学の間のいまだに謎に包まれたつながりを生み出した。 2002年、グリゴリー・ペレルマンは、幾何解析の分野に属するアイデアであるリチャード・S・ハミルトンのリッチフローを用いて、3次元ポアンカレ予想の証明を発表しました。

全体として、この進歩により、この分野は数学の他の分野とよりよく統合されるようになりました。

表面は、2 次元の位相多様体です。最もよく知られている例は、通常の 3 次元ユークリッド空間 R ^{3内の固体オブジェクトの境界として生じるもので、たとえば}球の表面です。一方、クラインの壺のように、特異点や自己交差を生じさせずに 3 次元ユークリッド空間に埋め込むことができない表面もあります。

閉曲面の分類定理は、任意の連結した 閉曲面が、次の 3 つの族のいずれかのメンバーと同相であると 述べています。

1. 球体;
2. gトーラスの連結和、; ${\displaystyle g\geq 1}$
3. k 個の 実射影平面の連結和( ) 。${\displaystyle k\geq 1}$

最初の 2 つの族の曲面は向き付け可能です。球面を 0 個のトーラスの連結和と見なすことで、2 つの族を組み合わせると便利です。含まれるトーラスの数g は、曲面の種数と呼ばれます。球面とトーラスはそれぞれオイラー特性2 と 0 を持ち、一般にg 個のトーラスの連結和のオイラー特性は2 − 2 gです。

3 番目の族の曲面は向きがつけられません。実射影平面のオイラー特性は 1 で、一般にそれらのk 個の連結和のオイラー特性は2 − kです。

数学において、（実）位相曲面Xのタイヒミュラー空間 T _Xは、恒等同相写像に同位な同相写像の作用までX上の複素構造をパラメータ化する空間である。T _Xの各点は、 「マーク付き」リーマン面の同型類とみなすことができ、ここで「マーク」はXからXへの同相写像の同位類である。タイヒミュラー空間は、（リーマン）モジュライ空間の 普遍被覆オービフォールドである。

タイヒミュラー空間は、標準的な複素 多様体構造と豊富な自然計量を持つ。タイヒミュラー空間の基礎となる位相空間はフリッケによって研究され、その上のタイヒミュラー計量はオスワルド・タイヒミュラー (1940) によって導入された。^[1]

数学において、均一化定理とは、単連結な リーマン面は すべて、開単位円板、複素平面、リーマン球面の3 つの領域のいずれかに等角的に同値であるとする定理です。特に、定曲率のリーマン計量を許容します。これにより、リーマン面は、その普遍被覆に応じて、楕円面 (正に曲がっている、つまり、一定の正に曲がっている計量を許容する)、放物面 (平坦)、双曲面 (負に曲がっている) に分類されます。

均一化定理は、平面の 適切な単連結な開部分集合から任意の単連結なリーマン面へのリーマン写像定理の一般化です。

位相空間 X が3 次元多様体であるとは、X内のすべての点が3 次元ユークリッド空間に同相な近傍を持つ場合です。

位相的、区分線形、滑らかなカテゴリはすべて 3 次元では同等であるため、位相的 3 次元多様体と滑らかな 3 次元多様体のどちらを扱っているかという区別はほとんどありません。

3次元の現象は他の次元の現象とは著しく異なる場合があり、そのため3次元を超える次元には一般化できない非常に特殊な手法が普及しています。この特殊な役割により、結び目理論、幾何学的群論、双曲幾何学、数論、 タイヒミュラー理論、位相的量子場理論、ゲージ理論、フレアーホモロジー、偏微分方程式など、さまざまな他の分野との密接なつながりが発見されました。3次元多様体理論は、低次元位相幾何学または幾何学的位相幾何学の一部であると考えられています。

結び目理論は、数学的な結び目に関する研究です。日常生活で靴ひもやロープに見られる結び目にヒントを得ていますが、数学者の結び目は、端がつながって解けないようになっている点で異なります。数学的な言葉で言えば、結び目は3 次元ユークリッド空間R ^3への円の埋め込みです(位相幾何学を使用しているため、円は古典的な幾何学的概念に限定されず、その同相写像のすべてに限定されます)。2 つの数学的な結び目は、一方がR ³自体の変形(アンビエント同位体として知られています) によって他方に変換できる場合、同等です。これらの変換は、糸を切ったり糸をそれ自体に通したりしない、結び目のついた糸の操作に対応します。

結び目補集合は、よく研究される 3 次元多様体です。飼いならされた結び目 Kの結び目補集合は、結び目を囲む 3 次元空間です。 これを正確にするために、K が3 次元多様体M (ほとんどの場合、Mは 3 次元球面)の結び目であるとします。 N をKの管状近傍とすると、Nは固体トーラスになります。 結び目補集合はNの補集合です。

${\displaystyle X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N).}$

関連するトピックとして、組紐理論があります。組紐理論は、日常的な組紐の概念といくつかの一般化を研究する抽象的な幾何学 理論です。組紐はグループに編成できるというアイデアで、グループ操作は「弦のセットで最初の組紐を行い、次にねじれた弦で2番目の組紐を行う」です。このようなグループは、Emil Artin  (1947)によって示されたように、明示的な表現によって記述できます。 ^{[2]このような基本的な扱いについては、}組紐群に関する記事を参照してください。組紐群には、特定の配置空間の基本群として、より深い数学的解釈を与えることもできます。

3 次元双曲多様体は、断面曲率が -1で一定の​​完全なリーマン計量を備えた3 次元多様体です。言い換えると、3 次元双曲空間を、自由かつ適切に不連続に作用する双曲等長変換の部分群で割った商です。クラインの模型も参照してください。

その厚-薄分解には、閉じた測地線および/またはユークリッド面と閉じた半直線の積である端の管状近傍からなる薄部分があります。多様体の体積が有限であるのは、その厚部分がコンパクトである場合のみです。この場合、端は閉じた半直線を横切るトーラスの形になり、カスプと呼ばれます。結び目の補集合は、最も一般的に研究されるカスプ多様体です。

サーストンの幾何化予想は、特定の 3 次元位相空間はそれぞれ固有の幾何構造を持ち、それと関連付けることができるというものである。これは、 2 次元表面の均一化定理に類似しており、単連結なリーマン面には3 つの幾何構造 (ユークリッド、球面、双曲面) のいずれかを割り当てることができるとしている。3 次元では、位相空間全体に単一の幾何構造を割り当てることが常に可能であるとは限らない。その代わりに、幾何化予想は、すべての閉じた3 次元多様体は標準的な方法で、それぞれが 8 種類の幾何構造のいずれかを持つ断片に分解できるとしている。この予想はウィリアム・サーストン(1982)によって提案され、ポアンカレ予想やサーストンの楕円化予想 など、他のいくつかの予想を暗示している。^[3]

4 次元多様体は、4 次元の位相多様体です。滑らかな 4 次元多様体は、滑らかな構造を持つ 4 次元多様体です。4 次元では、より低い次元とは対照的に、位相多様体と滑らかな多様体はまったく異なります。滑らかな構造を許さない位相 4 次元多様体もいくつか存在し、滑らかな構造が存在する場合でも、それが一意である必要はありません (つまり、同相だが微分同相ではない滑らかな 4 次元多様体があります)。

一般相対性理論では時空が擬似リーマン4 次元多様体としてモデル化されるため、 4 次元多様体は物理学において重要です。

エキゾチックR ^4は、 ユークリッド空間R ⁴に同相だが微分同相ではない微分可能多様体である。最初の例は、1980年代初頭にマイケル・フリードマンによって、位相4次元多様体に関するフリードマンの定理と滑らかな4次元多様体に関するサイモン・ドナルドソンの定理の対比を用いて発見された。[4]クリフォード・タウブスによって初めて示されたように、R ⁴の非微分同相な微分可能構造の連続体 が存在する。 [ ^{5 ]}

この構成以前には、球面上の非微分同相な滑らかな構造、すなわちエキゾチック球面が存在することは既に知られていたが、4次元球面の特定のケースでそのような構造が存在するかどうかという問題は未解決のままであった（そして現在も未解決のままである）。4以外の任意の正の整数nに対して、 R ⁿ上にエキゾチックな滑らかな構造は存在しない。言い換えれば、n ≠ 4であれば、 R ⁿに同相な任意の滑らかな多様体はR ⁿに微分同相である。^[6]

多様体に関する基本定理には、最大 3 次元では低次元の方法で証明でき、少なくとも 5 次元ではまったく異なる高次元の方法で証明できるものがいくつかありますが、4 次元では誤りです。次に例をいくつか示します。

• 4 次元以外では、カービー・ジーベンマン不変量がPL 構造の存在を妨げます。言い換えると、コンパクトな位相多様体は、H ⁴ ( M、Z /2 Z ) におけるカービー・ジーベンマン不変量がゼロである場合にのみ、PL 構造を持ちます。次元 3 以下では、すべての位相多様体は本質的に一意の PL 構造を許容します。次元 4 では、カービー・ジーベンマン不変量がゼロであるが PL 構造がない例が多数あります。
• 4 次元以外の次元では、コンパクトな位相多様体は、本質的に異なる PL または滑らかな構造を有限数だけ持ちます。4 次元では、コンパクトな多様体は、非微分同相な滑らかな構造を無限数持つことができます。
• 4 は、 R ^{n が}エキゾチックな滑らかな構造を持つことができる唯一の次元nです。R ⁴には無数のエキゾチックな滑らかな構造があります。エキゾチックR ⁴を参照してください。
• 滑らかなポアンカレ予想の解は、4 次元以外のすべての次元で知られています (通常、少なくとも 7 次元では偽です。エキゾチック球を参照してください) 。PL 多様体のポアンカレ予想は、4 次元以外のすべての次元で証明されていますが、4 次元で真であるかどうかはわかっていません (4 次元の滑らかなポアンカレ予想と同等です)。
• 滑らかなh-コボルディズム定理は、コボルディズムもその境界も次元 4 でない場合、コボルディズムに対して成立します。コボルディズムの境界が次元 4 の場合 (Donaldson によって示されているように)、この定理は成立しません。コボルディズムが次元 4 の場合、h-コボルディズム定理が成立するかどうかは不明です。
• 次元が 4 でない位相多様体にはハンドルボディ分解があります。次元が 4 の多様体は、平滑化可能である場合にのみハンドルボディ分解があります。
• いかなる単体複体とも同相ではないコンパクトな 4 次元位相多様体が存在します。少なくとも 5 次元では、単体複体と同相ではない位相多様体の存在は未解決の問題でした。2013 年に、Ciprian Manolescu は、5 次元以上の各次元に単体複体と同相ではない多様体が存在することを示すプレプリントを ArXiv に投稿しました。

高次元多様体を研究するために使用される最も基本的なツールの多くは、低次元多様体には適用されないことを事実上述べている定理がいくつかあります。たとえば、

スティーンロッドの定理は、向き付け可能な 3 次元多様体には自明な接束があることを述べています。言い換えると、3 次元多様体の唯一の特性クラスは向き付け可能性の障害です。

任意の閉じた 3 次元多様体は 4 次元多様体の境界です。この定理は複数の人物によって独立に導き出されました。これは、 3 次元多様体のHeegaard 分割を介してDehn – Lickorish定理から導かれます。また、René Thomによる閉じた多様体のコボルディズム環の計算からも導かれます。

R ⁴上の異質な滑らかな構造の存在。これはもともと、サイモン・ドナルドソンとアンドリュー・カッソンの研究に基づいて、マイケル・フリードマンによって観察されました。その後、フリードマン、ロバート・ゴンプ、クリフォード・タウベス、ローレンス・テイラーによって詳しく検討され、 R ⁴上に非微分同相な滑らかな構造の連続体が存在することが示されました。一方、n ≠ 4 の場合、 R ^{n は}微分同相まで正確に 1 つの滑らかな構造を持つことが知られています。

• 幾何学的位相学のトピックのリスト

• Rob Kirbyの低次元トポロジーの問題 – gzip 圧縮されたポストスクリプト ファイル (1.4 MB)
• Mark Brittenham の低次元トポロジーへのリンク – ホームページ、会議などのリスト。