ジョーンズ多項式

数学の結び目理論の分野において、ジョーンズ多項式は1984年にヴォーン・ジョーンズによって発見された結び目多項式である。 ^{[1] [2]}具体的には、有向結び目またはリンクの不変量 であり、有向結び目またはリンクのそれぞれに、整数係数を持つ変数のローラン多項式を割り当てる。^[3]${\displaystyle t^{1/2}}$

結び目図として与えられた有向リンク が あるとします。ルイス・カウフマンのブラケット多項式を使ってジョーンズ多項式を定義します。これは と表記します。ここで、ブラケット多項式は整数係数を持つ変数 のローラン多項式です。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle V(L)}$${\displaystyle \langle ~\rangle }$${\displaystyle A}$

まず、補助多項式（正規化ブラケット多項式とも呼ばれる）を定義します。

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle ,}$

ここで、 は与えられた図におけるのねじれを表します。図のねじれは、正の交差の数 (下の図では ) から負の交差の数 ( ) を引いたものです。ねじれは結び目不変量ではありません。 ${\displaystyle w(L)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{+}}$${\displaystyle L_{-}}$

${\displaystyle X(L)}$は結び目不変量です。なぜなら、 3 つのライデマイスター移動によるダイアグラムの変化に対して不変だからです。タイプ II および III のライデマイスター移動に対する不変性は、それらの移動に対する括弧の不変性から生じます。括弧多項式は、タイプ I のライデマイスター移動によって の係数で変化することが知られています。上記の多項式の定義は、この変化を無効にするように設計されています。なぜなら、writhe はタイプ I 移動によって、またはタイプ I 移動によって適切に変化するためです。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle -A^{\pm 3}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$

ここで、を に代入してジョーンズ多項式 を取得します。これにより、変数 に整数係数を持つローラン多項式が得られます。 ${\displaystyle A=t^{-1/4}}$${\displaystyle X(L)}$${\displaystyle V(L)}$${\displaystyle t^{1/2}}$

タングルのジョーンズ多項式の構成は、リンクのカウフマン括弧の単純な一般化である。この構成はウラジミール・トゥラエフによって開発され、1990年に発表された。^[4]

を非負の整数とし、交点や閉じた成分（平滑化）を持たない端を持つタングル図のすべての同位体タイプの集合を表すものとします。Turaev の構成は、Kauffman 括弧の以前の構成を利用し、各 -端向きタングルに自由- モジュールの要素を関連付けます。ここで、 は変数 に整数係数を持つローラン多項式の環です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle S_{k}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle \mathrm {R} }$${\displaystyle \mathrm {R} [S_{k}]}$${\displaystyle \mathrm {R} }$${\displaystyle t^{1/2}}$

ジョーンズの多項式の元々の定式化は、作用素環の研究から生まれました。ジョーンズのアプローチでは、それは、統計力学におけるポッツモデルなどの特定のモデルを研究しているときに最初に生じた、特定の組紐表現を代数に「トレース」したもののようなものから生まれました。

リンクLが与えられているとします。アレクサンダーの定理によれば、これはn本のストランドを持つ組紐のトレース閉包です。ここで、 n本のストランド上の組紐群B _nの表現を、係数がおよびにあるテンパリー・リーブ代数に定義します。標準組紐生成器は に送られます。ここで、 はテンパリー・リーブ代数の標準生成器です。これが表現を定義していることは簡単に確認できます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {TL} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}}$

から以前に得られた編組語を取り、がマルコフトレースである を計算します。これにより が得られます。ここで は括弧多項式です。これは、ルイス カウフマンが行ったように、テンパリー-リーブ代数を特定のダイアグラム代数として 考えることでわかります。${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}$${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle \langle L\rangle }$${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$

このアプローチの利点は、 R行列表現などの他の代数に同様の表現を選択して、「一般化されたジョーンズ不変量」を導くことが できることです。

ジョーンズ多項式は、結び目のない任意の図で値 1 を取ることによって特徴付けられ、次のかせ関係を満たします。

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

ここで、、、は、以下の図に示すように、交差の変更または平滑化によって異なる 1 つの小さな領域を除いて同一の 3 つの有向リンク ダイアグラムです。 ${\displaystyle L_{+}}$${\displaystyle L_{-}}$${\displaystyle L_{0}}$

括弧によるジョーンズ多項式の定義により、結び目 に対して、その鏡像のジョーンズ多項式はにおけるをに代入することによって与えられることが簡単に示されます。したがって、その鏡像と等価な結び目である両生類結び目 は、そのジョーンズ多項式に回文要素を持ちます。これらの関係を使用した計算の例については、 skein 関係に関する記事を参照してください。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle t^{-1}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V(K)}$

この不変量のもう一つの注目すべき性質は、交代リンクのジョーンズ多項式は交代多項式であるということである。この性質は1987年にMorwen Thistlethwaite ^[5]によって証明された。この最後の性質のもう一つの証明はHernando Burgos-Sotoによるもので、彼はこの性質のタングルへの拡張も与えた^[6]。

ジョーンズ多項式は完全な不変量ではありません。同じジョーンズ多項式を持つ非等価な結び目は無数に存在します。同じジョーンズ多項式を持つ2つの異なる結び目の例は、村杉の著書にあります。^[7]

正の整数 に対して、- 色ジョーンズ多項式はジョーンズ多項式の一般化です。これは、量子群の - 既約表現に関連付けられたReshetikhin-Turaev 不変量です。このスキームでは、ジョーンズ多項式は の標準表現 (既約で 2 次元) に関連付けられた Reshetikhin-Turaev 不変量である 1 色ジョーンズ多項式です。リンクのストランドは表現によって「色付け」されていると考えられるため、この名前が付けられています。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V_{N}(L,t)}$${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$

より一般的には、の要素と表現のリンクが与えられた場合 、色ジョーンズ多項式はに関連付けられたレシェティキン・トゥラエフ不変量である（ここでは要素が順序付けられていると仮定する）。 2つの表現と が与えられた場合、色ジョーンズ多項式は次の2つの性質を満たす：^[8]${\displaystyle L}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$${\displaystyle (V_{1},\ldots ,V_{k})}$${\displaystyle V_{V_{1},\ldots ,V_{k}}(L,t)}$${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle V_{V\oplus W}(L,t)=V_{V}(L,t)+V_{W}(L,t)}$、
• ${\displaystyle V_{V\otimes W}(L,t)=V_{V,W}(L^{2},t)}$ここで、 は の 2 ケーブル接続を表します。${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L}$

これらの特性は、色付きジョーンズ多項式が Reshetikhin-Turaev 不変量であるという事実から推測されます。

を結び目とします。カウフマン括弧のおかげで、 の図をテンパリー-リープ代数の要素として見ると、 のジョーンズ多項式が復元されることを思い出してください。同様に、の - 色ジョーンズ多項式は、ジョーンズ-ウェンツル冪等性を使用して次のように組み合わせ記述できます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$

• のケーブル配線を考慮してください。${\displaystyle N}$${\displaystyle K^{N}}$${\displaystyle K}$
• これをテンパリー・リーブ代数の要素として見る。
• いくつかの並列ストランドに Jones-Wenzl 冪等性を挿入します。${\displaystyle N}$

の結果の要素は-色ジョーンズ多項式である。詳細については ^[9]の付録Hを参照。${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$${\displaystyle N}$

エドワード・ウィッテン^[10]によって初めて示されたように、与えられた結び目のジョーンズ多項式は、ゲージ群を持つ三次元球面上のチャーン・サイモンズ理論を考慮し 、に関連付けられたウィルソンループの真空期待値と、の基本表現を計算することによって得ることができます。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle W_{F}(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

ジョーンズ多項式の変数を代入し、それを h の級数として展開すると、各係数が結び目のヴァシリエフ不変量になります。ヴァシリエフ不変量（または有限型不変量）を統一するために、マキシム・コンツェビッチはコンツェビッチ積分を構築しました。コンツェビッチ積分の値は、ヤコビ弦図と呼ばれる 1、3 値の弦図の無限和であり、ドロール・バルナタンが研究した重みシステムとともにジョーンズ多項式を再現します。 ${\displaystyle e^{h}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

リナト・カシャエフは、いくつかの双曲結び目に関する数値的検討により、n次元表現に対応する色付きジョーンズ多項式のパラメータにn乗根を代入し、n が無限大に大きくなるにつれてそれを制限することで、その極限値が結び目の補集合の双曲体積を与えることを発見した。(体積予想を参照。)

2000 年にミハイル・コバノフは結び目とリンクの特定の鎖複合体を構築し、そこから誘導されるホモロジーが結び目不変量であることを示しました (コバノフホモロジーを参照)。ジョーンズ多項式は、このホモロジーの オイラー特性として記述されます。

非自明な結び目とその非自明な結び目のジョーンズ多項式が等しいかどうかは未解決の問題である。非自明な結び目のジョーンズ多項式が対応する非自明な結び目のジョーンズ多項式と等しいことは、モーウェン・シスルウェイトの研究によって知られている。[ 11 ]クロンハイマーと^ムロウカによって、非自明な結び目のコバノフホモロジーと等しい非自明な結び目は存在しないことが示された。^[12]

• アダムス、コリン(2000-12-06)。The Knot Book 。アメリカ数学会。ISBN 0-8050-7380-9。
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• Lickorish, WB Raymond (1997)。結び目理論入門。ニューヨーク、ベルリン、ハイデルベルク、バルセロナ、ブダペスト、香港、ロンドン、ミラノ、パリ、サンタクララ、シンガポール、東京: Springer。p. 175。ISBN 978-0-387-98254-0。
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• 「ジョーンズ-コンウェイ多項式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Morwen Thistlethwaiteによる自明なジョーンズ多項式とのリンク
• 「ジョーンズ多項式」、結び目アトラス。