n球面

数学において、n球面または超球面は、 ⁠ ⁠次元の円と⁠ ⁠次元の球面を任意の非負の整数 ⁠ ⁠ に一般${\displaystyle n}$化したものです。円は 1 次元、球は 2 次元であると見なされますが、これは表面自体がそれぞれ 1 次元と 2 次元であるためであり、1 次元と 2 次元の空間に形状として存在するからではありません。そのため、 ⁠ ⁠球面は⁠ ⁠次元の球面幾何学の設定です。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

外部的に、 ⁠ ⁠次元ユークリッド空間に埋め込まれた超曲面として考えると、⁠ ⁠球面は、与えられた中心点から等距離(半径)にある点の軌跡です。その内部は、半径よりも中心に近いすべての点で構成され、⁠ ⁠次元の球です。特に、 ${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+1)}$

• ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ -球面は、線分( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -球)の両端にある点のペアです。
• ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$球は円であり、2次元平面内の円盤（⁠ ⁠球）の円周です。${\displaystyle 2}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$球面は、単に球面と呼ばれることが多く、3 次元空間における⁠ ⁠球体の境界です。${\displaystyle 3}$
• 3球面は、4 次元空間における⁠ ⁠${\displaystyle 4}$球体の境界です。
• ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$球面は⁠ ⁠${\displaystyle n}$球面の境界です。

デカルト座標系が与えられた場合、半径の単位⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -球面は次のように定義できます 。${\displaystyle 1}$

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.}$

本質的に考えると、⁠ ⁠ の${\displaystyle n\geq 1}$とき、⁠ ⁠ -球面は正の${\displaystyle n}$定曲率のリーマン多様体であり、向き付け可能です。⁠ ⁠ -球面の測地線は大円と呼ばれます。 ${\displaystyle n}$

立体射影は、無限遠に単一の点が隣接した⁠ ⁠ -球面を${\displaystyle n}$⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -空間​​に写像します。これにより定義された測定基準の下では、⁠ ⁠ -球面のモデルとなります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$${\displaystyle n}$

より一般的な位相幾何学の設定では、単位⁠ ⁠ -球面に同相な位相空間はどれも⁠ ⁠ -球面と呼ばれます。逆立体射影の下では、⁠ ⁠ -球面は⁠ ⁠ -空間​​の1 点コンパクト化です。 ⁠ ⁠ -球面は、他のいくつかの位相的な記述を受け入れます。たとえば、2 つの⁠ ⁠ -次元空間を接着したり、 ⁠ ⁠ -立方体の境界を点と同一視したり、(帰納的に) ⁠ ⁠ -球面のサスペンションを形成したりすることで構築できます。⁠ ⁠が単連結である場合、⁠ ⁠ -球面 (円) は単連結ではなく、⁠ ⁠ -球面は連結されておらず、2 つの離散的な点で構成されています。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

任意の自然数 ⁠ ⁠${\displaystyle n}$に対して、半径⁠ ⁠の⁠ ⁠ -球面は、${\displaystyle n}$⁠ ⁠ ⁠次元ユークリッド空間内の、ある固定点⁠ ⁠から⁠ ⁠距離にある点の集合として定義されます。ここで⁠ ⁠ ⁠ は任意の正の実数であり、⁠ ⁠ は⁠ ⁠次元空間内の任意の点です。特に、 ${\displaystyle r}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle (n+1)}$

• 0 球面は⁠ ⁠ の${\displaystyle \{cr,c+r\}}$点のペアであり、線分 ( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$球面) の境界です。
• 1球は、半径⁠ ⁠で中心が⁠ ⁠の円であり、円板 ( ⁠ ⁠球)の境界です。${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle 2}$
• 2次元球面は、 ⁠ ⁠次元ユークリッド空間内の通常の⁠ ⁠${\displaystyle 2}$次元球面であり、通常の球面 ( ⁠ ⁠球面) の境界です。${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3}$
• 3球面は、⁠ ⁠次元ユークリッド空間内の⁠ ⁠${\displaystyle 3}$次元球面です。${\displaystyle 4}$

⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$空間⁠ ⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$内の点の集合は、 ⁠ ⁠${\displaystyle n}$球面⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}(r)}$を定義するため、次の式で表されます。

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

ここで、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})}$は中心点、⁠ ⁠${\displaystyle r}$は半径です。

上記の⁠ ⁠ -球面は${\displaystyle n}$⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$次元ユークリッド空間に存在し、 ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -多様体の例です。半径 ⁠ ⁠ の⁠ ⁠ -球面の体積形式 ⁠ ⁠ は${\displaystyle \omega}$次のように与えられます 。${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}$

ここで はホッジスター演算子です。 ⁠ ⁠の場合のこの式の議論と証明については、Flanders (1989, §6.1) を参照してください。結果として、 ${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

⁠ ⁠${\displaystyle n}$球面に囲まれた空間は⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$球体と呼ばれます。⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$球体は、⁠ ⁠球面を含む場合は閉じており、⁠ ⁠球体を含まない場合は開いています。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

具体的には：

• ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -球、つまり線分は、 0 球の内部です。
• ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -ボール、ディスクは、円( ⁠ ⁠ -球)の内部にあります。${\displaystyle 1}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ -ボール、つまり普通のボールは、球( ⁠ ⁠ -球)の内部にあります。${\displaystyle 2}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle 4}$ -球は3 -球の内部などです。

位相的には、-球面${\displaystyle n}$は-次元ユークリッド空間の1 点コンパクト化として構築できます。簡単に言うと、-球面は-次元ユークリッド空間にすべての方向の無限大を表す 1 点を加えたとして記述できます。特に、-球面から 1 点を削除すると、 -球面は に同相になります。これが立体射影の基礎となります。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

⁠ ⁠ を${\displaystyle S_{n-1}}$⁠ ⁠次元ユークリッド空間に埋め込まれた半径⁠ ⁠の単位⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -球の表面積とし、⁠ ⁠はその内部にある単位⁠ ⁠ -球の体積とします。任意の⁠ ⁠ -球の表面積は半径の⁠ ⁠ ⁠ 乗に比例し、任意の⁠ ⁠ -球の体積は半径の⁠ ⁠ ⁠ 乗に比例します。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

⁠ ⁠${\displaystyle 0}$球体は単一の点として定義されることもあります。⁠ ⁠次元${\displaystyle 0}$ハウスドルフ測度は集合内の点の数です。つまり

${\displaystyle V_{0}=1.}$

単位⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -球とは、長さ ⁠ ⁠ の区間⁠ ⁠ 内に単一の座標を持つ点を持つ線分であり、⁠${\displaystyle [-1,1]}$ ⁠ -球はその ⁠ ⁠ 座標⁠ ⁠を持つ 2 つの端点で構成されます。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{-1,1\}}$

${\displaystyle S_{0}=2,\quad V_{1}=2.}$

単位⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -球面はユークリッド平面内の単位円であり、その内部は単位円板（⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -球）です。

${\displaystyle S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .}$

3次元空間の2次元球面の内部は単位球体です 。${\displaystyle 3}$

${\displaystyle S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

一般に、⁠ ⁠${\displaystyle S_{n-1}}$と⁠ ⁠ は、${\displaystyle V_{n}}$次の式で閉じた形で表されます。

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}}$

ここで⁠ ⁠は${\displaystyle \Gamma }$ガンマ関数です。

⁠ ⁠ が${\displaystyle n}$無限大に近づくにつれて、単位⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -球の体積（半径⁠ ⁠の⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -球の体積と辺の長さ⁠ ⁠の⁠ ⁠ -立方体の体積の比）はゼロに近づきます。^[2]${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$

半径 の⁠ ⁠ -球の境界における⁠ ⁠ -球の表面積、または正確には ⁠ ⁠ ⁠ 次元の体積は、微分方程式によって球の体積と関係している 。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}$

同様に、単位⁠ ⁠ -球を同心円${\displaystyle n}$⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -球殻の和集合として表すと、

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}$

単位⁠ ⁠ -球面を、円 ( ${\displaystyle (n+2)}$⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -球面) と⁠ ⁠ -${\displaystyle n}$球面の積の和集合として表すこともできます。すると⁠ ⁠ と${\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}}$なります。⁠ ⁠${\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}}$なので、方程式

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

すべての⁠ ⁠${\displaystyle n}$に当てはまります。上記の基本ケース⁠ ⁠${\displaystyle S_{0}=2}$、⁠ ⁠${\displaystyle V_{1}=2}$とともに、これらの再帰性を使用して、任意の球の表面積や任意のボールの体積を計算できます。

⁠ ⁠${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間に、 ⁠ ⁠次元ユークリッド空間で定義された球面座標系に類似した座標系を定義することができます。この座標系では、座標は放射座標⁠ ⁠と角座標⁠ ⁠で構成され、角度⁠ ⁠の範囲は⁠ ⁠ラジアン (または⁠ ⁠度) で、⁠ ⁠の範囲は⁠ ⁠ラジアン(または⁠ ⁠度) です。⁠ ⁠ が直交座標である場合、 ⁠ ⁠から⁠ ⁠ を次のように計算できます。^{[3] [a]}${\displaystyle 3}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1}}$${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-2}}$${\displaystyle [0,\pi ]}$${\displaystyle [0,180]}$${\displaystyle \varphi _{n-1}}$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle [0,360)}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle r,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}$

以下に説明する特殊なケースを除いて、逆変換は一意です。

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}}$

ここで、atan2 は2 つの引数を持つ逆正接関数です。

逆変換が一意ではない特殊なケースがいくつかあります。任意の⁠ ⁠に対する⁠ ⁠は、 ${\displaystyle \varphi _{k}}$⁠ ⁠がすべて0 の場合には常にあいまいになります。この場合、 ⁠ ⁠ が0 になるように選択できます。 (たとえば、⁠ ⁠球面の場合、極角が⁠ ⁠または⁠ ⁠ の場合、点は極、天頂、または天底のいずれかであり、方位角の選択は任意です。) ${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k},x_{k+1},\ldots x_{n}}$${\displaystyle \varphi _{k}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$

⁠ ⁠次元ユークリッド空間の体積要素を球座標で表すには、簡潔にするために⁠ ⁠と⁠ ⁠とすると、変換の ヤコビ行列は次のようになります。${\displaystyle n}$${\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}$${\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}$

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

この行列の行列式は帰納法で計算できます。⁠ ⁠${\displaystyle n=2}$のとき、簡単な計算で行列式が⁠ ⁠${\displaystyle r}$であることがわかります。 ⁠ ⁠ が${\displaystyle n}$大きい場合、⁠ ⁠ は${\displaystyle J_{n}}$⁠ ⁠ ⁠から次のように構築できることに注意してください。 ${\displaystyle J_{n-1}}$⁠ ⁠${\displaystyle n}$列を除いて、⁠ ⁠の行⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$と⁠ ⁠ は${\displaystyle n}$⁠ ⁠ ⁠の行⁠ ⁠と同じですが、行⁠ ⁠に⁠ ⁠の追加の係数 ⁠ ⁠ ⁠ と行 ⁠ ⁠ に ⁠ ⁠ の追加の係数が乗じられます。 ⁠ ⁠ ⁠列では、⁠ ⁠の行⁠ ⁠と⁠ ⁠は⁠ ⁠ ⁠の行 ⁠ ⁠ の列⁠ ⁠と同じですが、行⁠ ⁠に⁠ ⁠の追加の係数⁠ ⁠と行⁠ ⁠に⁠ ⁠の追加の係数が乗じられます。 ⁠ ⁠ ⁠の行列式は、最後の列でラプラス展開によって計算できます。 ⁠ ⁠の再帰的記述により、 ⁠ ⁠のエントリとその行と列を削除して形成される部分行列は、最後の行に ⁠ ⁠ が乗じられることを除いて ⁠ ⁠ にほぼ等しくなります。同様に、 ⁠ ⁠のエントリとその行と列を削除して形成される部分行列は、最後の行に⁠ ⁠が乗じられることを除いて⁠ ⁠にほぼ等しくなります。したがって、 ⁠ ⁠の行列式は次のようになります。 ${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle J_{n-1}}$${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle J_{n-1}}$${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle (n-1,n)}$${\displaystyle J_{n-1}}$${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$${\displaystyle (n,n)}$${\displaystyle J_{n-1}}$${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$${\displaystyle J_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

帰納法は球座標における体積要素の閉じた形式の表現を与える。

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

これから積分することで、 ⁠ ⁠${\displaystyle n}$球の体積の公式を導くことができます。

同様に、半径の⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$-球面の表面積要素は、⁠ ⁠ -球面の面積要素を一般化したものとなり、次のように表される。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle 2}$

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

角座標上の直交基底の自然な選択は、超球面多項式の積である。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

⁠ ⁠については⁠ ⁠${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2}$、また、球面調和関数に従って角度⁠ ⁠については⁠ ⁠${\displaystyle e^{is\varphi _{j}}}$です。 ${\displaystyle j=n-1}$

標準球面座標系は、⁠ ⁠ を ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の積${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}}$として表すことから生じます。これら2つの要素は、極座標を使用して関連付けることができます。⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$の各点について、標準直交座標 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}$

混合極座標系と直交座標系に変換できます。

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

これは、 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$内の点は、原点から始まり を通過する光線を取り、それを に向かって回転させ、光線に沿って距離を移動することによって表現できることを示しています。この分解を繰り返すと、最終的には標準の球面座標系になります。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}$${\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }$

多球座標系はこの構成の一般化から生じる。^[4]空間⁠ ⁠ は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$より小さい次元の2つのユークリッド空間の積として分割されるが、どちらの空間も直線である必要はない。具体的には、⁠ ⁠${\displaystyle p}$と⁠ ⁠ が${\displaystyle q}$⁠ ⁠${\displaystyle n=p+q}$となる正の整数であるとする。すると⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$となる。この分解を用いると、点⁠ ⁠ は${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$次のように表される 。

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

これを次のように記述することで、極座標と直交座標の混合座標系に変換できます。

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

ここで、およびは、 ⁠ ⁠および⁠ ⁠に関連付けられた単位ベクトルです。これは、 ⁠ ⁠ を ⁠ ⁠ 、 ⁠ ⁠ 、 ⁠ ⁠ 、および角度 ⁠ ⁠ で表します。⁠ ⁠のドメインは、 ⁠ ⁠ 、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠のどちらか1つが⁠ ⁠である場合⁠ ⁠ 、および⁠ ⁠が⁠ ⁠でない場合は⁠ ⁠であることが示されます。逆変換は ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle p=q=1}$${\displaystyle [0,\pi ]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,\pi /2]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}$

これらの分割は、関係する因子の 1 つが 2 次元以上である限り、繰り返すことができます。多球座標系は、直交座標がなくなるまでこれらの分割を繰り返す結果です。 と のドメインは球であるため、最初の分割後の分割では放射状座標は必要ありません。そのため、多球座標系の座標は、負でない半径と⁠ ⁠の角度です。可能な多球座標系は、⁠ ⁠ の葉を持つバイナリ ツリーに対応します。ツリー内の各非葉ノードは分割に対応し、角度座標を決定します。たとえば、ツリーのルートは⁠ ⁠ を表し、その直下の子は⁠ ⁠と⁠ ⁠への最初の分割を表します。葉ノードは⁠ ⁠の直交座標に対応します。多球座標から直交座標への変換式は、ルートから葉ノードへのパスを見つけることによって決定できます。これらの式は、パスがたどる各ブランチに対して 1 つの因子を持つ積です。対応する角座標が⁠ ⁠であるノードの場合、左の分岐を取ると⁠ ⁠の係数が導入され、右の分岐を取ると⁠ ⁠の係数が導入されます。多球座標から直交座標への逆変換は、ノードをグループ化することによって決定されます。共通の親を持つすべてのノードペアは、上記の分割式を使用して、混合極座標系と直交座標系から直交座標系に変換できます。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \sin \theta _{i}}$${\displaystyle \cos \theta _{i}}$

多球座標は特殊直交群による解釈も可能である。分割によって${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$部分群が決定される 。

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}$

これは、2 つの因数をそれぞれ固定した部分群です。商の剰余類代表のセットを選択することは、多球座標分解のこのステップの代表角度を選択することと同じです。 ${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$

多球座標では、 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上の体積測度と⁠ ⁠${\displaystyle S^{n-1}}$上の面積測度は積です。角度ごとに 1 つの因子があり、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上の体積測度には放射座標の因子もあります。面積測度は次の形式になります。

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

ここで因子は木${\displaystyle F_{i}}$によって決定される。同様に、体積の尺度 は

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

分解⁠ ⁠に対応し、角度座標${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}}$⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$を持つツリーのノードがあるとします。対応する係数⁠ ⁠は${\displaystyle F}$⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}}$と⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}}$の値に依存します。面積の測定が球の面積が⁠ ⁠ と${\displaystyle 1}$なるように正規化されると、これらの係数は次のようになります。⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}=n_{2}=1}$の場合、

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}>1}$および⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}=1}$であり、⁠ ⁠ が${\displaystyle \mathrm {B} }$ベータ関数を表す場合、

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

もし⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}=1}$かつ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}>1}$ならば、

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

最後に、⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}}$と⁠ ⁠ の${\displaystyle n_{2}}$両方が1より大きい場合、

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

3次元に埋め込まれた2次元球をステレオ投影によって2次元平面にマッピングできるのと同様に、⁠ ⁠球はステレオ投影の${\displaystyle n}$⁠ ⁠次元バージョンによって⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$次元超平面にマッピングできます。たとえば、半径⁠ ⁠の2次元球上の点⁠ ⁠は、 ⁠ ⁠平面上の点 ⁠ ⁠ にマッピングされます。言い換えると、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle [x,y,z]}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\bigl [}{\tfrac {x}{1-z}},{\tfrac {y}{1-z}}{\bigr ]}}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

同様に、半径 の⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -球面⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}}$の立体投影は、⁠ ${\displaystyle 1}$⁠ -軸に垂直な⁠ ${\displaystyle (n-1)}$⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$-次元超平面⁠ ⁠に次のように 写像されます。${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

単位⁠ ⁠ -${\displaystyle (n-1)}$球面（つまり、単位⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -ボールの表面）上に均一に分布したランダムな点を生成するために、Marsaglia（1972）は次のアルゴリズムを示しています。

正規分布の⁠ ⁠${\displaystyle n}$次元ベクトルを生成します（実際には分散の選択は任意ですが、⁠ ⁠ を使用すれば十分です）、 ⁠ ⁠。ここで、この点の「半径」を計算します。 ${\displaystyle N(0,1)}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

ベクトル⁠ ⁠ は単位${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$⁠ ⁠${\displaystyle n}$球の表面上に均一に分布します。

Marsaglia が提案した代替案は、単位n立方体内の点⁠ ⁠ を一様ランダムに選択し、 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$⁠ ⁠上の一様分布から各⁠ ⁠ を独立にサンプリングし、上記のように⁠ ⁠ を計算し、 ⁠ ⁠ (つまり、点が⁠ ⁠球体内にない場合)の場合はその点を棄却して再サンプリングし、球体内の点が得られたら、それを係数⁠ ⁠で球面まで拡大し、次に⁠ ⁠ が単位⁠ ⁠球体の表面上に一様分布するようにするというものです。この方法は、単位立方体の極めて小さな部分が球体に含まれるため、次元が高くなると非常に非効率になります。10 次元では、立方体の 2% 未満が球体で埋められるため、通常は 50 回以上の試行が必要になります。70 次元では、立方体の ⁠ ⁠ 未満が埋められるため、通常は 1 兆 1000 兆回の試行が必要になりますが、これはコンピューターが実行できる回数をはるかに超えています。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 10^{-24}}$

単位⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$球面から一様ランダムに選択された点（例えば、Marsaglia のアルゴリズムを使用して）を使用する場合、単位⁠ ⁠${\displaystyle n}$球面内から一様ランダムに選択された点を取得するには、半径のみが必要です。⁠ ⁠ が${\displaystyle u}$区間⁠ ⁠${\displaystyle [0,1]}$から一様ランダムに生成された数であり、⁠ ⁠ が${\displaystyle \mathbf {x} }$単位⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$球面から一様ランダムに選択された点である場合、⁠ ⁠ は単位${\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} }$⁠ ⁠${\displaystyle n}$球面内に一様に分布します。

あるいは、単位⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$-球面からの削減によって、単位 ⁠ ⁠ -球面内から点を均一にサンプリングすることもできます。特に、 ⁠ ⁠ が単位 ⁠ ⁠ -球面${\displaystyle (n+1)}$から均一に選択された点である場合、⁠ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})}$⁠は${\displaystyle (n+1)}$単位⁠ ⁠ -${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$球内に均一に分布します（つまり${\displaystyle n}$、単に2つの座標を破棄することによって）。^[5]

⁠ ⁠${\displaystyle n}$が十分に大きい場合、 ⁠ ⁠${\displaystyle n}$球の体積のほとんどは表面に非常に近い領域に含まれるため、その体積から選択された点もおそらく表面に近くなります。これは、数値計算やその他のアプリケーションで発生する、 いわゆる次元の呪いにつながる現象の 1 つです。

⁠ ⁠ を${\displaystyle y=x_{1}^{2}}$⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$球面から一様にランダムに抽出された点の最初の座標の二乗とすると、 に対するその確率密度関数は、 ${\displaystyle y\in [0,1]}$

$${\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}$$

が適切にスケールされたバージョンであるとすると、極限では、の確率密度関数は に収束します。これはポーター・トーマス分布と呼ばれることもあります。^[6]${\displaystyle z=y/N}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}$

0球

ある⁠ ⁠に対して離散位相を持つ点のペア⁠ ⁠ 。${\displaystyle \{\pm R\}}$パス接続されていない唯一の球面。平行化可能。${\displaystyle R>0}$

1球

一般に円と呼ばれる。非自明な基本群を持つ。アーベルリー群構造U(1) ;円群。実射影直線に同相。平行化可能

2球

一般的には単に球面と呼ばれる。その複素構造についてはリーマン球面を参照。複素射影直線に同相である。

3球

⁠ ⁠ -球面上の平行化可能な主 U(1) -バンドル 、リー群構造Sp(1) = SU(2)。${\displaystyle 2}$

4球

四元数射影直線に同相なので、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {HP} ^{1}}$ . ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)}$ .

5球

複素射影空間⁠ ⁠上の主U (1)束。⁠ ⁠ 。与えられた⁠ ⁠次元多様体が⁠ ⁠に対して⁠ ⁠に同相であるかどうかは決定不能である。^[7] ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$${\displaystyle \operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 5}$

6球

は、純粋単位八元数の集合から生じるほぼ複素構造を持っています。⁠ ⁠ 。複素構造を持つかどうかという問題は、ハインツ・ホップにちなんでホップ問題として知られています。^[8]${\displaystyle \operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)=G_{2}/\operatorname {SU} (3)}$

7球

単位八元数の集合としての位相的準群構造。⁠ ⁠上の主⁠ ⁠ -バンドル。 ⁠ ⁠ 。 ⁠ ⁠。⁠ ⁠ -球面は、最初のエキゾチック球面が発見されたのがこの次元であったため、特に興味深いものです。${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$${\displaystyle S^{4}}$${\displaystyle \operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)=\operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)=\operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}=\operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)}$${\displaystyle 7}$

8球

八元${\displaystyle \mathbf {OP} ^{1}}$数射影直線に同相である。

23 -球

⁠ ⁠次元空間では高密度の球充填が可能であり、これはリーチ格子のユニークな性質に関連しています。${\displaystyle 24}$

八面体⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -球面は⁠ ⁠ -${\displaystyle n}$球面と同様に定義されますが、 1 -ノルムを使用します。

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}$

一般的には交差多面体の形をとります。

八面体⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -球は正方形です（内部を除く）。八面体⁠ ⁠ -球${\displaystyle 2}$は正八面体です。そのため、この名前が付けられています。八面体⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -球は、孤立した点のペアの位相的な結合です。[ 9 ]直感^的には、2つのペアの位相的な結合は、1つのペアの各点と他のペアの各点の間に線分を描くことによって生成されます。これにより、正方形が生成されます。これを3番目のペアに結合するには、正方形上の各点と3番目のペアの各点の間に線分を描きます。これにより、八面体が得られます。 ${\displaystyle n+1}$

• 共形幾何学 – 幾何学的空間の角度保存変換の研究
• エキゾチック球面 – 球面と同相だが微分同相ではない滑らかな多様体
• ホモロジー球面 – ホモロジーが球面と一致する位相多様体
• 球のホモトピー群 – さまざまな次元の球が互いに巻き付く仕組み
• 逆幾何学 – 角度保存変換の研究
• メビウス変換 – (az + b)/(cz + d) 形式の有理関数

• Marsaglia, G. (1972). 「球面からの点の選択」Annals of Mathematical Statistics . 43 (2): 645–646. doi : 10.1214/aoms/1177692644 .
• Huber, Greg (1982). 「n 球面体積のガンマ関数導出」. Amer. Math. Monthly . 89 (5): 301–302. doi :10.2307/2321716. JSTOR  2321716. MR  1539933.
• Weeks, Jeffrey R. (1985)。『空間の形：表面と3次元多様体を視覚化する方法』。Marcel Dekker。ISBN 978-0-8247-7437-0 （第14章：ハイパースフィア）。{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• Kalnins, EG; Miller, W. (1986). 「n次元リーマン多様体上の変数の分離。I. n球面S_nとユークリッドnスパースR_n」。J . Math. Phys . 27 : 1721–1746. doi : 10.1063/1.527088 . hdl : 10289/1219 .
• フランダース、ハーレー（1989年）。微分形式と物理科学への応用。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-66169-8。
• モウラ、エドゥアルダ; ヘンダーソン、デイビッド G. (1996)。 『幾何学を体験する:平面と球について』プレンティス ホール。ISBN 978-0-13-373770-7 (第20章: 3次元球面と双曲3次元空間)。{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• Barnea, Nir ​​(1999). 「任意の順列対称性を持つ超球面関数: 逆構築」. Phys. Rev. A . 59 (2): 1135–1146. Bibcode :1999PhRvA..59.1135B. doi :10.1103/PhysRevA.59.1135.

• Weisstein、Eric W.「ハイパースフィア」。MathWorld。