等角線形変換

等角線形変換（同次相似変換または同次相似変換とも呼ばれる）は、原点を固定するユークリッドベクトル空間または擬ユークリッドベクトル空間の相似変換です。これは、直交変換（原点を保持する剛体変換）と均一スケーリング（拡大縮小）の合成として表すことができます。すべての相似変換（幾何学的図形の形状を全体的には保持しますが、必ずしもサイズは保持しません）は、等角変換（局所的に形状を保持する）でもあります。原点を固定する相似変換は、スカラーとベクトルの乗算およびベクトルの加算も保持するため、線形変換となります。

原点を固定するすべての鏡映変換または拡大縮小変換は、等角線形変換であり、回転や不適切な回転、そして最も一般的には相似変換を含む、これらの基本変換の合成もすべて等角線形変換です。ただし、せん断変換と非一様スケーリングは等角線形変換ではありません。等角線形変換には2種類あり、適切な変換は空間の向きを保存するのに対し、不適切な変換は向きを反転させます。

線形変換として、共形線形変換は、ベクトル空間に基底が与えられ、互いに合成され、行列乗算によってベクトルを変換する行列によって表現できます。これらの変換のリー群は、共形直交群、共形線形変換群、または同次相似群と呼ばれています。

あるいは、任意の共形線形変換は、ベクトルの幾何積であるバーソルとして表すことができます。[ 1 ]すべて^{のバーソルと}その負は同じ変換を表すため、バーソル群（リプシッツ群とも呼ばれる）は共形直交群の二重被覆です。

等角線形変換は、メビウス変換（円を円に写像する等角変換）の特殊なタイプです。等角直交群は等角群の部分群です。

あらゆる次元において、等角線形変換は以下の性質を持つ。

• 変換によって距離比は保持される。^{[ 2 ]}
• 正規直交基底が与えられた場合、変換を表す行列は、各列が同じ大きさでなければならず、各列のペアは直交していなければならない。
• この変換は等角変換（角度保存変換）で​​あり、特に直交ベクトルは変換後も直交性を保ちます。
• この変換は、任意のkに対して、同心円状のk次元球面を同心円状のk次元球面に写像します（円は円に、球は球に、など）。特に、原点を中心とするk次元球面は、原点を中心とするk次元球面に写像されます。
• カルタン・ディユドネの定理によれば、 n次元空間におけるすべての直交変換は、最大n回の鏡映の合成として表すことができます。したがって、すべての等角線形変換は、最大n回の鏡映と拡大の合成として表すことができます。超平面を横切るすべての鏡映は擬ユークリッド空間の向きを反転させるため、偶数回の鏡映と正の実数による拡大の合成は適切な等角線形変換であり、奇数回の鏡映と拡大の合成は不適切な等角線形変換となります。

ユークリッドベクトル平面において、不適切な等角線形変換は、原点を通る直線に関する鏡映と正の拡大率の組み合わせである。正規直交基底が与えられた場合、それは次の形式の行列で表すことができる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&-a\end{bmatrix}}.}$

適切な等角線形変換は、原点を中心とした回転と正の拡大を組み合わせたものです。これは、次の形式の行列で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

あるいは、適切な等角線形変換は、次の形式の複素数で表すことができる。${\displaystyle a+bi.}$

複数の線形変換を合成する場合、非均一スケールの親変換と回転を持つ子変換を組み合わせることで、せん断/歪みが生じる可能性があります。したがって、せん断/歪みが許容されない状況では、合成の結果としてせん断/歪みが生じないように、変換行列も均一スケールである必要があります。これは、複数の変換を合成する際にせん断/歪みを防ぐために、等角線形変換が必要であることを意味します。

物理シミュレーションでは、球（または円、超球など）は、多くの場合、点と半径によって定義されます。したがって、点が球と重なるかどうかは、中心までの距離チェックを使用して確認できます。回転や反転/鏡映の場合、球は対称で不変であるため、同じチェックが有効です。均一なスケールの場合、半径のみを変更すれば済みます。しかし、非均一なスケールやせん断/歪みの場合、球は楕円体に「歪む」ため、距離チェックアルゴリズムは正しく機能しなくなります。