制限（数学）

関数${\displaystyle F}$と言われている別の関数の拡張${\displaystyle f}$もしいつでも${\displaystyle x}$の領域にある${\displaystyle f}$それから${\displaystyle x}$もまた、${\displaystyle F}$そして${\displaystyle f(x)=F(x).}$ つまり、もし${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$そして${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}$

A線形拡張（それぞれ、関数の連続拡張など）${\displaystyle f}$は拡張です${\displaystyle f}$これも線形マップ（あるいは連続マップなど）です。

関数が逆関数を持つためには、1対1でなければなりません。${\displaystyle f}$は一対一ではないので、部分的な逆行列を定義することは可能かもしれない。${\displaystyle f}$ドメインを制限することによって。たとえば、関数 $${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$ 全体的に定義される${\displaystyle \mathbb {R} }$1対1ではないので${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$いかなる場合でも${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ しかし、定義域を限定すれば、関数は1対1になる。${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}$その場合 $${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$$

（代わりにドメインを制限した場合）${\displaystyle (-\infty ,0],}$すると逆数は平方根の負の値になります${\displaystyle y.}$あるいは、逆関数が多値関数であっても構わないのであれば、定義域を制限する必要はない。

関係代数では、選択（ SQLのSELECTとの混同を避けるために制限と呼ばれることもある）は、次のように記述される 単項演算である。${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$または${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$どこ：

• ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$属性名です。
• ${\displaystyle \theta }$は集合内の二項演算です${\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}$
• ${\displaystyle v}$は定数値です。
• ${\displaystyle R}$は関係です。

選択${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$タプルをすべて選択します${\displaystyle R}$そのために${\displaystyle \theta }$間に保持する${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$属性。

選択${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$タプルをすべて選択します${\displaystyle R}$そのために${\displaystyle \theta }$間に保持する${\displaystyle a}$属性と値${\displaystyle v.}$

したがって、選択演算子はデータベース全体のサブセットに制限をかける。

ペースト補題は、位相幾何学における結果であり、関数の連続性と、その関数が部分集合に制限されたときの連続性を関連付けるものである。

させて${\displaystyle X,Y}$位相空間の2つの閉部分集合（または2つの開部分集合）である${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle A=X\cup Y,}$そして${\displaystyle B}$また、位相空間でもある。${\displaystyle f:A\to B}$両方に制限すると連続になる${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y,}$それから${\displaystyle f}$連続的である。

この結果により、位相空間の閉集合（または開集合）上で定義された2つの連続関数を用いて、新しい関数を作成することが可能となる。

層は、関数以外の対象にも制約を一般化する方法を提供する。

層理論では、対象を割り当てる${\displaystyle F(U)}$各開集合のカテゴリにおいて${\displaystyle U}$位相空間のものであり、対象が特定の条件を満たす必要がある。最も重要な条件は、入れ子になった開集合に関連付けられたすべての対象の間に制限射が存在することである。つまり、${\displaystyle V\subseteq U,}$すると射が存在する${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$以下の特性を満たすこと。これらの特性は、関数の制約を模倣するように設計されている。

• すべての開集合に対して${\displaystyle U}$の${\displaystyle X,}$制限射${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$は恒等射である${\displaystyle F(U).}$
• オープンセットが3つある場合${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}$次に複合${\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}$
• （地域）もし${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$開集合の開 被覆である${\displaystyle U,}$そしてもし${\displaystyle s,t\in F(U)}$次のような$\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}$各セットについて${\displaystyle U_{i}}$カバーの${\displaystyle s=t}$; そして
• （接着）もし${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$開集合の開被覆である${\displaystyle U,}$そして各${\displaystyle i}$セクション${\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}$各ペアに対して${\displaystyle U_{i},U_{j}}$カバーの制限は$s_i$そして$sj$重複する部分については同意する：${\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}$次にセクションがあります$s ∈ F(U)$そのため$\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}$各${\displaystyle i.}$

このようなすべての対象物の集合を層と呼ぶ。最初の2つの性質のみが満たされる場合、それは前層である。