機能構成

数学において、合成演算子${\displaystyle \circ }$2つの関数を受け取ります。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$、新しい関数を返します${\displaystyle f\circ g}$合成関数の場合${\displaystyle f\circ g}$（発音は「${\displaystyle f}$の${\displaystyle g}$") は入力時に評価されます${\displaystyle x}$結果は${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$つまり、関数${\displaystyle f}$適用後に適用される${\displaystyle g}$に${\displaystyle x}$[ ^{1 ]​}

関数の合成は、関係の合成の特殊なケースであり、時には次のように表記されることもあります。${\displaystyle \circ }$その結果、結合法則など、関係の合成のすべての性質は関数の合成にも当てはまります。^{[ 2 ]}

• 有限集合上の関数の合成: f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}、g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}の場合、g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}となります (図参照)。
• 無限集合上の関数の合成：f : R → R ( Rはすべての実数の集合) がf ( x ) = 2 x + 4で与えられ、g : R → Rがg ( x ) = x ³で与えられる場合、次のようになります。
  ( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x )) = f ( x ³ ) = 2 x ³ + 4、
  ( g ∘ f )( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) ³。
• 時刻tにおける飛行機の高度をa ( t )とし、高度xにおける気圧をp ( x )とすると、( p ∘ a )( t )は時刻tにおける飛行機の周囲の気圧である。  
• 有限集合上で定義され、要素の順序を変更する関数（順列など）は、同じ集合上で合成することができ、これを順列の合成と呼ぶ。

関数の合成は常に結合法則を満たす。これは関係の合成から受け継がれた性質である。 ^{[ 2 ]}つまり、f、g、hが合成可能であれば、f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ hとなる。^{[ 3 ]}括弧は結果を変えないため、通常は省略される。

厳密に言えば、合成g ∘ fはfの終域がgの定義域と等しい場合にのみ意味を持ちます。より広い意味では、前者が後者の不適切な部分集合であれば十分です。 ^{[注 1 ]}さらに、 f の定義域を暗黙のうちに制限し、f がgの定義域内の値のみを生成するようにすることが便利な場合がよくあります。たとえば、f ( x ) = 9 − x ²で定義される 関数 f : R → (−∞,+9]と、g : [ 0,+∞) → Rで定義される関数の合成g ∘ fは、${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$区間[−3,+3]上で定義できる。

関数gとf は、 g ∘ f = f ∘ gが成り立つ場合に可換であると言われます。可換性は特別な性質であり、特定の関数のみが、多くの場合特別な状況下で達成されます。例えば、| x | + 3 = | x + 3 |は、 x ≥ 0の場合に限り成り立ちます。図は別の例を示しています。

単射関数の合成は常に単射です。同様に、全射関数の合成は常に全射です。したがって、2 つの全単射の合成も全単射になります。合成の逆関数(可逆であると仮定) は、 ( f ∘ g ) ⁻¹ = g ⁻¹ ∘ f ⁻¹という性質を持ちます。^{[ 4 ]}

微分可能な関数を含む合成関数の導関数は連鎖律を用いて求めることができる。このような関数の高階導関数はファア・ディ・ブルーノの公式によって与えられる。^{[ 3 ]}

関数の合成は、関数空間上の乗算の一種として説明されることもありますが、関数の点ごとの乗算とは全く異なる性質を持っています（例えば、合成は可換ではありません）。^{[ 5 ]}

定義域と終域が同じ関数f : X → X、g : X → Xが 2 つ（またはそれ以上）あるとします。これらはしばしば変換と呼ばれます。すると、 f ∘ f ∘ g ∘ fのように、変換を合成した連鎖を形成できます。このような連鎖は、変換モノイドまたは（はるかにまれですが）合成モノイドと呼ばれるモノイドの代数的構造を持ちます。一般に、変換モノイドは非常に複雑な構造を持つことがあります。特に注目すべき例の 1 つは、ド・ラーム曲線です。すべての関数f : X → Xの集合は、 X上の完全変換半群^{[ 6 ]}または対称半群^{[ 7 ]}と呼ばれます。（実際には、半群演算を関数の左合成または右合成として定義する方法に応じて、2 つの半群を定義することができます。^{[ 8 ]}） 

与えられた変換が全単射（したがって可逆）である場合、これらの関数のすべての可能な組み合わせの集合は変換群（置換群とも呼ばれる）を形成し、その群はこれらの関数によって生成されると言われます。

全単射関数f : X → X (置換と呼ばれる)の集合は、関数合成に関して群を形成します。これは対称群であり、合成群とも呼ばれます。群論における基本的な結果であるケイリーの定理は、本質的に、任意の群は実際には対称群の部分群である (同型を除いて) と述べています。^{[ 9 ]}

対称半群（すべての変換）では、対称半群が正則半群であるため、より弱い非一意的な逆の概念（擬似逆と呼ばれる）も存在する。^{[ 10 ]}

Y ⊆ Xの場合、${\displaystyle f:X\to Y}$自身と合成することができる。これは時々次のように表記される。${\displaystyle f^{2}}$つまり：

${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)}$

より一般的には、任意の自然数n ≥ 2に対して、n乗関数は、ハンス・ハインリヒ・ビュルマン^{[ 11 ] [ 12 ]}とジョン・フレデリック・ウィリアム・ハーシェル^{[ 13 ] [ 11 ] [ 14 ] [ 12 ]}によって導入された表記法f ⁿ = f ∘ f ^{n −1} = f ^{n −1} ∘ fによって帰納的に定義できます。このような関数をそれ自身と繰り返し合成することを関数反復と呼びます。

• 慣例として、f ^0はfのドメインid _X上の恒等写像として定義されます。
• Y = Xでf : X → X が逆関数f ⁻¹を持つ場合、負の関数べき乗f ^{− n は、} n > 0に対して逆関数の負のべき乗として定義されます: f ^{− n} = ( f ⁻¹ ) ⁿ。^{[ 13 ] [ 11 ] [ 12 ]}

f が環の値をとる場合(特に実数値または複素数値のfの場合)、f ^{n は}fのn重積を表す場合もあるため、混乱が生じる可能性があります。たとえば、f ² ( x ) = f ( x ) · f ( x )です。^{[ 12 ]}三角関数の場合、通常は後者が意味されます。少なくとも正の指数の場合です。^{[ 12 ]}例えば、三角法では、この上付き文字表記は、三角関数で使用される標準的な指数を表します。 

sin ² ( x ) = sin( x ) · sin( x )。

しかし、負の指数（特に− 1）の場合、通常は逆関数を指します。たとえば、tan ⁻¹ = arctan ≠ 1/tan です。

場合によっては、与えられた関数fに対して、方程式g ∘ g = fが一意の解gを持つ場合、その関数はfの関数平方根として定義され、g = f ^1/2と書くことができます。

より一般的には、g ⁿ = fがある自然数n > 0に対して一意の解を持つ場合、f ^{m / n は}g ^mと定義できます。

追加の制約の下では、この考え方を一般化して、反復回数を 連続パラメータにすることができます。この場合、そのようなシステムはフローと呼ばれ、シュレーダー方程式の解によって定義されます。反復関数とフローは、フラクタルや力学系の研究において自然に現れます。

曖昧さを避けるため、一部の数学者は合成の意味を表すために∘を使用することを選択し、関数f ( x )のn番目の反復をf ^{∘ n} ( x )と書きます。たとえば、f ^∘3 ( x )はf ( f ( f ( x )))を意味します。同じ目的で、ベンジャミン・パースはf ^{[ n ]} ( x )を使用しましたが^{[ 15 ] [ 12 ]} 、アルフレッド・プリングスハイムとジュール・モルクは代わりにⁿ f ( x )を提案しました。^{[ 16 ] [ 12 ] [ nb 2 ]}

多くの数学者、特に群論の分野では、合成記号を省略し、g ∘ fをgfと表記する。^{[ 17 ]}

20 世紀半ば、一部の数学者は後置記法を採用し、f ( x )をxf、g ( f ( x ))を( xf ) gと表記した。^{[ 18 ]}これは、 x が行ベクトルでfとg が行列を表し、合成が行列の乗算による線形代数など、多くの場合、前置記法よりも自然である。関数の合成は必ずしも可換ではないため、順序が重要である。連続する変換が右に適用され合成されることは、左から右への読み順と一致する。

後置記法を使用する数学者は、記号が後置記法で出現する順序に従って、最初にf を適用し、次にgを適用するという意味で「 fg 」と書くことがありますが、この表記は曖昧になります。コンピュータ科学者は、このために「 f ; g 」と書くことがあり、 ^{[ 19 ]}合成の順序の曖昧さを解消します。左合成演算子をテキストのセミコロンと区別するために、Z 記法では、左関係合成に ⨾ 文字が使用されます。^{[ 20 ]}すべての関数は二項関係であるため 、関数合成にも [太字] セミコロンを使用するのが正しいです (この表記の詳細については、関係の合成に関する記事を参照してください)。 

関数gが与えられたとき、合成演算子C _{g は、}関数を関数に写像する演算子として定義される。 $${\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}$$合成演算子は演算子論の分野で研究されている。

関数合成は、数多くのプログラミング言語に何らかの形で現れます。

多変数関数では部分合成が可能である。関数fの引数x _iを関数gに置き換えた結果として得られる関数は、コンピュータ工学の文脈ではfとgの合成と呼ばれ、 f | _{x i = gと表記される。}$${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

gが単純な定数bの場合、合成は (部分) 評価に退化し、その結果は制限または共因子としても知られています。^{[ 21 ]}

$${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

一般に、多変数関数の合成には、原始再帰関数の定義のように、引数として他の複数の関数が含まれる場合があります。n項関数fとn 個のm項関数g ₁ , ..., g _nが与えられたとき、 fとg ₁ , ..., g _nの合成はm項関数 です。$${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).}$$

これは、fとg ₁、 ...、g _nの一般化された合成または重ね合わせと呼ばれることもあります。^{[ 22 ]}前述の 1 つの引数のみの部分合成は、1 つを除くすべての引数関数を適切に選択された射影関数に設定することにより、このより一般的なスキームからインスタンス化できます。ここで、g ₁、 ...、g _{n は}この一般化されたスキームでは単一のベクトル/タプル値関数と見なすことができ、その場合、これはまさに関数合成の標準的な定義です。^{[ 23 ]}

ある基底集合X上の有限演算の集合は、すべての射影を含み、一般化された合成に関して閉じている場合、クローンと呼ばれます。クローンは一般にさまざまなアリティの演算を含みます。^{[ 22 ]}交換の概念は、多変数の場合にも興味深い一般化が見られます。アリティnの関数fは、 f がg を保存する準同型である場合、アリティmの関数gと交換可能であると言われ、その逆もまた同様です。つまり、次のようになります。 ^{[ 22 ]}$${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).}$$

単項演算は常にそれ自身と可換ですが、これは二項（またはそれ以上の項数）演算では必ずしも当てはまりません。それ自身と可換な二項（またはそれ以上の項数）演算は、メディアル演算またはエントロピー演算と呼ばれます。^{[ 22 ]}

合成は任意の二項関係に一般化できる。R ⊆ X × YとS ⊆ Y × Zが 2 つの二項関係である場合、それらの合成は次のようになる。

${\displaystyle R\circ S=\{(x,z)\in X\times Z:(\exists y\in Y)((x,y)\in R\,\land \,(y,z)\in S)\}}$。

関数を二項関係（すなわち関数関係）の特殊な場合とみなすと、関数合成は関係合成の定義を満たします。小さな円R ∘ S は、関係および関数の合成の中置記法に使用されてきました。関数の合成を表す場合、${\displaystyle (g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))}$ ただし、異なる操作手順を分かりやすく示すため、テキストの順序は逆になっています。

部分関数についても同様に合成が定義され、ケイリーの定理にはワグナー・プレストンの定理と呼ばれる類似の定理が存在する。^{[ 24 ]}

射として関数を持つ集合の圏は 、プロトタイプ圏である。圏の公理は、実際には関数合成の性質（および定義）から着想を得ている。^{[ 25 ]}合成によって与えられる構造は、圏論において、関数の圏論的代替物としての射の概念を用いて公理化され、一般化される。式( f ∘ g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ ∘ f ⁻¹ )における合成の逆順は、逆関係を用いた関係の合成に適用され、したがって群論にも適用される。これらの構造はダガー圏を形成する。

数学の標準的な「基礎」は、集合とその要素から始まります。しかし、集合の要素ではなく、集合間の関数を公理化することによって、異なる出発点を設けることも可能です。これは、圏論と普遍構成の言語を用いることで実現できます。

…集合のメンバーシップ関係は、関数の合成演算で置き換えることができる場合が多い。これは、数学の基礎を圏、具体的にはすべての関数の圏に置き換えるという代替的な基礎につながる。数学の多くは動的であり、同じ種類の対象から別の対象への射を扱う。このような射（関数など）は圏を形成するため、圏を通じたアプローチは、数学を整理し理解するという目的によく合致する。実際、それが適切な数学哲学の目標であるべきである。

-サンダース・マック・レーン、『数学：形式と機能』^{[ 26 ]}

合成記号∘はU+2218 ∘ RING OPERATOR ( & compfn;, & SmallCircle; )としてエンコードされます。類似の Unicode 文字については、度記号の記事を参照してください。TeXでは、 と表記されます。\circ

• クモの巣図– 関数構成のための図解技法
• 組み合わせ論理
• 合成環、合成演算の形式的な公理化
• 流れ（数学）
• 関数合成（コンピュータサイエンス）
• 確率変数の関数、確率変数の関数の分布
• 機能分解
• 関数平方根
• 関数方程式
• 高階関数
• 解析関数の無限合成
• 反復関数
• ラムダ計算

• 「合成関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ブルース・アトウッド著「関数の合成」、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト、2007年。