指数層列

数学において、指数層列は複素幾何学で使用される基本的な短完全層の列である。

M を複素多様体とし、M 上の正則関数の層を O M と表記する。O M *を零_でない_正則関数からなる部分層とする。これらはどちらもアーベル群の層である。指数関数は層準同型を与える。

${\displaystyle \exp$ :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},}

なぜなら、正則関数fに対して、exp( f ) は零にならない正則関数であり、exp( f  + g ) = exp( f )exp( g ) となるからである。その核は、 M上で2πの値をとる局所的に定数な関数の層 2π i Zであり、nは整数である。したがって、指数層列は次のようになる。  

${\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0.}$

ここでの指数写像は、断面上では必ずしも全射写像ではありません。これは、例えばM が複素平面上の穴あき円盤である場合に確認できます。指数写像は茎上で全射です。点Pにおける正則関数の芽gがg ( P ) ≠ 0 である場合、 Pの近傍でgの対数を取ることができます。層コホモロジーの長完全列は、完全列が存在することを示しています。  

${\displaystyle \cdots \to H^{0}({\mathcal {O}}_{U})\to H^{0}({\mathcal {O}}_{U}^{*})\to H^{1}(2\pi i\,\mathbb {Z} |_{U})\to \cdots }$

Mの任意の開集合Uに対して。ここでH ^0は単にU上の切断を意味し、層コホモロジーH ¹ (2π i Z | _U ) はUの特異コホモロジーです。

H ¹ (2π i Z | _U ) は、 Uの各ループに整数を対応付けたものと考えることができます。 O _M *の各セクションについて、 H ¹ (2π i Z | _U )への接続準同型写像は、各ループの巻き数を与えます。したがって、この準同型写像は一般化された巻き数であり、 Uが縮約可能でない度合いを測ります。言い換えれば、局所的には常に可能な非零正則関数の大域的対数を取ることには、位相的な障害が存在する可能性があります。

このシーケンスのさらなる結果は、

$\displaystyle \cdots \to H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})\to H^{2}(2\pi i\,\mathbb {Z} )\to \cdots .}$

ここでH ¹ ( O _M *) はM上の正則線束のピカール群と同一視できます。連結準同型は線束をその第 1チャーン類に送ります。

• グリフィス、フィリップ；ハリス、ジョセフ（1994）、『代数幾何学の原理』、ワイリー・クラシックス・ライブラリー、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​ 特に37ページと139 ページを参照。