ユニモジュラー格子

幾何学および数学群論において、ユニモジュラー格子とは、行列式が1または-1である整格子のことである。n次元ユークリッド空間における格子の場合、これは格子の任意の基本領域の体積が1であることを要求することと同等である。    

E8_格子とリーチ格子は、その有名な例である。

• 格子とは、対称双線形形式(·, ·)を持つ有限ランクの自由アーベル群である。
• 格子は、(·,·)が整数値を取る場合に整である。
• 格子の次元は、そのランク（Z加群として）と同じです。
• 格子要素aのノルムは( a , a ) です。
• 格子は、すべての非ゼロ要素のノルムが正である場合に正定値である。
• 格子の行列式はグラム行列の行列式であり、グラム行列は要素 ( a _i , a _j ) を持つ行列で、要素a _{i は}格子の基底を形成します。
• 整格子は、その行列式が 1 または −1 である場合にユニモジュラーである。
• ユニモジュラー格子は、すべてのノルムが偶数であれば偶数またはタイプII 、そうでなければ奇数またはタイプIである。
• 正定値格子の最小値は、最小の非ゼロノルムである。
• 格子は、対称双線形形式を持つ実ベクトル空間に埋め込まれることが多い。格子は、そのベクトル空間が正定値、ローレンツ型などであれば、正定値である。
• 格子の符号は、ベクトル空間上の形式の符号である。

ユニモジュラー格子の最も重要な3つの例は次のとおりです。

• 1次元の格子Z （すべての整数の集合）。
• E8格子とは、偶数次元の8次元格子のことである_。
• リーチ格子とは、根を持たない24次元の偶数ユニモジュラー格子である。

整格子がユニモジュラーであるのは、その双対格子が整格子である場合に限る。ユニモジュラー格子は双対格子と等しいため、自己双対格子とも呼ばれる。

非負整数のペア ( m , n ) が与えられたとき、偶数ユニモジュラー格子 ( m , n ) はm − n が8 で割り切れる場合に限り存在しますが、奇数ユニモジュラー格子 ( m , n ) は常に存在します。特に、偶数ユニモジュラー定値格子は 8 で割り切れる次元でのみ存在します。すべての許容されるシグネチャにおける例は、それぞれII _m,n構成とI _m,n構成によって与えられます。

ユニモジュラー正定値格子のシータ関数は、重みがランクの半分であるモジュラー形式です。格子が偶数の場合、形式はレベル 1 を持ち、格子が奇数の場合、形式は Γ _{0 (4) 構造を持ちます (つまり、レベル 4 のモジュラー形式です)。モジュラー形式の空間の次元制限により、偶数ユニモジュラー格子の非ゼロベクトルの最小ノルムは ⎣} n /24⎦ + 1以下です。この制限を達成する偶数ユニモジュラー格子は極値と呼ばれます。極値偶数ユニモジュラー格子は、関連する次元 80 まで知られています^{[ 1 ]} 、次元 163,264 を超える場合は存在しないことが証明されています^{[ 2 ] 。}

不定格子の場合、分類は簡単に説明できます。m + n次元ベクトル空間R ^{m + n}をR ^{m , n}と書き、 ( a ₁ , ..., a _{m + n} ) と ( b ₁ , ..., b _{m + n} )の内積を次のように表します。      

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{m}b_{m}-a_{m+1}b_{m+1}-\cdots -a_{m+n}b_{m+n}.\,}$

R ^{m , n}には、同型を除いて奇不定ユニモジュラー格子が 1 つ存在し、それは で表される。

私_は、n、

これは、すべてのa _{i が}整数であるR ^m、n内のすべてのベクトル ( a ₁、...、a _{m + n} )によって与えられます。

無限偶数ユニモジュラー格子は存在しない。

m−n is divisible by 8,

in which case there is a unique example up to isomorphism, denoted by

II_m,n.

This is given by all vectors (a₁,...,a_m+n) in R^m,n such that either all the a_i are integers or they are all integers plus 1/2, and their sum is even. The lattice II_8,0 is the same as the E₈ lattice.

Positive definite unimodular lattices have been classified up to dimension 25. There is a unique example I_n,0 in each dimension n less than 8, and two examples (I_8,0 and II_8,0) in dimension 8. The number of lattices increases moderately up to dimension 25 (where there are 665 of them), but beyond dimension 25 the Smith-Minkowski-Siegel mass formula implies that the number increases very rapidly with the dimension; for example, there are more than 80,000,000,000,000,000 in dimension 32.

In some sense unimodular lattices up to dimension 9 are controlled by E₈, and up to dimension 25 they are controlled by the Leech lattice, and this accounts for their unusually good behavior in these dimensions. For example, the Dynkin diagram of the norm-2 vectors of unimodular lattices in dimension up to 25 can be naturally identified with a configuration of vectors in the Leech lattice. The wild increase in numbers beyond 25 dimensions might be attributed to the fact that these lattices are no longer controlled by the Leech lattice.

Even positive definite unimodular lattice exist only in dimensions divisible by 8. There is one in dimension 8 (the E₈ lattice), two in dimension 16 (E₈² and II_16,0), and 24 in dimension 24, called the Niemeier lattices (examples: the Leech lattice, II_24,0, II_16,0 + II_8,0, II_8,0³). Beyond 24 dimensions the number increases very rapidly; in 32 dimensions there are more than a billion of them.

根を持たないユニモジュラー格子（ノルムが 1 または 2 のベクトル）は、次元 29 まで分類されています。次元 23 未満のユニモジュラー格子は存在しません (ゼロ格子を除く)。次元 23 には 1 つ (ショート リーチ格子と呼ばれる)、次元 24 には 2 つ (リーチ格子と奇数リーチ格子) があり、Bacher & Venkov (2001)は、次元 25、26、27、28 にはそれぞれ 0、1、3、38 個あることを示しました。これを超えると、その数は非常に急速に増加し、次元 29 には 10092 個あります( Allombert & Chenevier 2025 )。十分に高い次元では、ほとんどのユニモジュラー格子は根を持ちません。

次元が32未満で、根を持たない正定値ユニモジュラー格子の唯一の非ゼロ例は、次元24のリーチ格子である。次元32では1000万以上の例があり、次元32を超えるとその数は非常に急速に増加する。

（キング 2003 ）の以下の表は、さまざまな次元における偶数または奇数のユニモジュラー格子の数（または下限）を示しており、次元24の直後から非常に急速な増加が始まることを示しています。

32次元を超えると、その数値はさらに急速に増加する。

閉じた単連結向き付け可能な位相的4次元多様体の第2コホモロジー群はユニモジュラー格子である。 マイケル・フリードマンは、この格子が多様体をほぼ決定することを示した。偶数ユニモジュラー格子ごとに一意の多様体が存在し、奇数ユニモジュラー格子ごとにちょうど2つの多様体が存在する。特に、格子を0とすると、これは4次元位相的多様体に対するポアンカレ予想を意味する。ドナルドソンの定理によれば、多様体が滑らかで格子が正定値であれば、それはZのコピーの和でなければならないので、これらの多様体のほとんどは滑らかな構造を持たない。そのような例の1つは${\displaystyle E_{8}}$多様体。

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• ガブリエレ・ネーベとニール・スローンによるユニモジュラー格子のカタログ。
• OEISシーケンスA005134 （n次元ユニモジュラー格子の数）