E8ラティス

数学において、E ₈格子はR ⁸の特殊な格子である。これは、階数 8 の唯一の正定値、偶数、ユニモジュラー格子として特徴付けられる。この名前は、これがE ₈ルート システムのルート格子であるという事実に由来する。

E ₈格子のノルム^[1] (2 で割ったもの) は、8 変数の正定値偶数ユニモジュラー二次形式であり、逆に、このような二次形式は、ランク 8 の正定値偶数ユニモジュラー格子を構成するために使用できます。このような形式の存在は、1867 年にHJS Smithによって初めて示され、 ^[2]この二次形式の最初の明示的な構成は、 1873 年にKorkinとZolotarevによって与えられました。^[3] E ₈格子は、1900 年頃に格子自体の幾何学を最初に研究した人の 1 人であるThorold Gossetにちなんで、Gosset 格子とも呼ばれます。 ^[4]

E ₈格子はR ⁸の離散部分群で、フルランク（つまりR ⁸全体を覆う）である。これは Γ ₈ ⊂ R ⁸の点の集合によって明示的に与えられ、

• すべての座標が整数であるか、すべての座標が半整数であるか（整数と半整数の混在は許可されません）、
• 8 つの座標の合計は偶数になります。

シンボルでは、

${\displaystyle \Gamma _{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

2 つの格子点の和が別の格子点であることを確認するのは難しくなく、したがって Γ ₈は確かに部分群です。

E _{8格子の別の記述法として、Γ′ 8} ⊂ R ⁸内の点の集合が便利である場合もある。

• すべての座標が整数であり、座標の合計が偶数である、または
• すべての座標は半整数であり、座標の合計は奇数です。

シンボルでは、

${\displaystyle \Gamma _{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

${\displaystyle \Gamma _{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 0({\mbox{mod }}2)\right\}\cup \left\{(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

格子 Γ ₈と Γ′ _8は同型であり、半整数座標の任意の奇数の符号を変更することで、一方から他方へ移動できます。格子 Γ ₈はE _8の偶座標系と呼ばれることもあり、格子 Γ′ _{8 は}奇座標系と呼ばれます。特に指定がない限り、偶座標系で作業します。

E ₈格子 Γ _{8 は}、次の特性を持つ R ⁸内の唯一の格子として特徴付けられます。

• これは積分であり、格子要素のすべてのスカラー積が整数であることを意味します。
• これはユニモジュラ であり、つまり積分であり、行列式±1の 8×8 行列の列によって生成できます(つまり、格子の基本平行体の体積は1 です)。同様に、Γ _{8 は}自己双対であり、つまりその双対格子に等しいです。
• これは偶数であり、任意の格子ベクトルのノルム^{[1]が偶数であることを意味する。}

ユニモジュラ格子でさえ、8で割り切れる次元でのみ発生します。次元16には、そのような格子が2つあります。Γ ₈ ⊕ Γ ₈と Γ _{16 ( Γ 8}に類似した方法で構成されます) 。次元24には、ニーマイヤー格子と呼ばれるそのような格子が24個あります。これらの中で最も重要なのはリーチ格子です。

Γ _{8の可能な基底の1つは、（}上三角）行列 の列によって与えられる。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&0&0&1&-1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{matrix}}\right]}$

Γ _{8 は}これらのベクトルの積分範囲です。他のすべての可能な基底は、GL(8, Z ) の要素による右乗法によってこの基底から得られます。

_{Γ 8}の最短の非ゼロベクトルの長さは√2に等しい。そのようなベクトルは 240 個ある。

• すべて半整数（±1/2 のみ可能）:
  • すべて肯定的またはすべて否定的: 2
  • プラス4つ、マイナス4つ: (8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70
  • 1つを2つ、もう1つを6つ: 2*(8*7)/(2*1) = 56
• すべて整数（0、±1のみ可能）:
  • ±1が2つ、ゼロが6つ: 4*(8*7)/(2*1)=112

これらはE ₈型のルート システムを形成します。格子 Γ _{8 はE 8}ルート格子に等しく、つまり 240 個のルートの積分範囲によって与えられます。8 個の単純ルートの任意の選択は Γ ₈の基底を与えます。

R ⁿの格子の自己同型群（または対称群）は、格子を保存する直交群O( n )の部分群として定義されます。E ₈格子の対称群は、 E _8型のWeyl / Coxeter 群です。これは、格子の 240 根に直交する超平面での反射によって生成される群です。その順序は次のように与えられます。

${\displaystyle |W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!}$

E ₈ワイル群は、座標のすべての順列とすべての偶数符号の変化からなる 128·8! の位数の部分群を含む。この部分群は D ₈型のワイル群である。完全な E _{8ワイル群は、この部分群と}ブロック対角行列 H ₄ ⊕ H ₄によって生成される。ここでH _{4 は}アダマール行列である。

${\displaystyle H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&-1\\\end{smallmatrix}}\right].}$

5 ₂₁ハニカムを参照

E _{8格子点は、} 5 ₂₁ハニカムの頂点であり、これは8 単体および8 直交複合 面から構成されます。このハニカムは、ゴセットによって初めて研究され、ゴセットはこれを9 次元半正則図形と呼びました^{[4] (ゴセットは、} n次元のハニカムを退化したn +1 多面体と見なしました)。コクセターの表記法では、^{[5]ゴセットのハニカムは 5} ₂₁で表され、コクセター-ディンキン図を持ちます。

このハニカムは、その対称群 (アフィンワイル群) がk ≤ 6のk面に対して推移的に作用するという意味で、非常に正則です。k ≤ 7のk面はすべて単体です。 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$

ゴセットのハニカムの頂点図形は、E ₈格子の 240 根の凸包によって与えられる半正則E ₈多面体(コクセターの表記法では 4 ₂₁ ) です。

E ₈格子の各点は、2160 個の 8 直交複体と 17280 個の 8 単体に囲まれています。原点近くの 2160 個の深い穴は、ノルム 4 の格子点のちょうど半分です。17520 個のノルム 8 の格子点は、2 つのクラス ( E ₈自己同型群の作用による2 つの軌道) に分類されます。240 個はノルム 2 の格子点の 2 倍であり、17280 個は原点を囲む浅い穴の 3 倍です。

格子の穴とは、周囲のユークリッド空間内の点であり、最も近い格子点までの距離が局所的に最大になります。(均一なハニカムとして定義された格子では、これらの点はファセットボリュームの中心に対応します。) 深い穴とは、格子までの距離がグローバルに最大になる穴です。E ₈格子には 2 種類の穴があります。

• 点 (1,0,0,0,0,0,0,0,0) のような深い穴は、最も近い格子点から 1 の距離にあります。この距離には 16 個の格子点があり、穴 (穴のドローネ セル) を中心とする8 直交複体の頂点を形成します。
• 点のような浅い穴は、最も近い格子点からの距離にあります。この距離には、穴を中心とする8 単体の頂点を形成する 9 つの格子点があります。${\displaystyle ({\tfrac {5}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$

E ₈格子は、8 次元の 球詰め問題とキス数問題に対して最適解を与えるという点で注目に値します。

球詰め問題とは、 R ⁿに固定半径の（立体の） n次元球を、2つの球が重ならないように詰める最も密な方法は何かという問題である。格子詰めは、球が格子の点を中心とする特殊な球詰めである。半径1/ √2の球をE ₈格子の点に配置すると、 R ⁸の格子詰めの密度は次のように なる。

${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.}$

1935年のハンス・フレデリック・ブリッヒフェルトの論文では、これが8次元の格子パッキングで達成できる最大密度であることが証明されました。^[6]さらに、E ₈格子は、この密度を持つ唯一の格子です（等長変換と再スケーリングを除く）。^[7] マリーナ・ヴィアゾフスカは、この密度が実際には不規則なパッキングの中でも最適であることを2016年に証明しました。^{[8] [9]}

キス数問題とは、同じ半径の中心球に接する（または「キス」する）ことができる固定半径の球の最大数はいくつであるかを問う問題である。前述の E _{8格子パッキングでは、任意の球は 240 個の隣接球に接する。これは、最小の非ゼロノルムの格子ベクトル（E 8}格子の根）が 240 個あるためである。1979 年に、これが 8 次元で可能な最大数であることが示された。^{[10] [11]}

球詰め問題とキス数問題は非常に難しく、最適解は 1、2、3、8、24 次元 (キス数問題の場合は 4 次元) でのみ知られています。8 次元と 24 次元で解が知られているという事実は、E 8 格子_とその 24 次元の類似物であるリーチ格子の特殊な特性に一部起因しています。

任意の（正定値）格子Λに、次式で与えられる シータ関数を関連付けることができる。

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.}$

格子のシータ関数は、上半平面上の正則関数です。さらに、階数nの偶ユニモジュラー格子のシータ関数は、実際には重みn /2 のモジュラー形式です。整格子のシータ関数は、 のべき級数として表されることが多く、 q ⁿの係数はノルムnの格子ベクトルの数を与えます。 ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$

正規化までは、重み4、レベル1の唯一のモジュラー形式、アイゼンシュタイン級数 G _{4 (τ)が存在する。E 8}格子のシータ関数はG ₄ (τ)に比例する必要がある。正規化は、ノルム0の唯一のベクトルがあることに注目することで固定できる。これは次のようになる。

${\displaystyle \Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}}$

ここで σ ₃ ( n ) は約数関数です。したがって、ノルム 2 nの E ₈格子ベクトルの数は、 nの約数の 3 乗の合計の 240 倍になります。この級数の最初の数項は、次のように与えられます ( OEISのシーケンスA004009 )。

${\displaystyle \Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).}$

E _{8シータ関数は、}ヤコビ シータ関数を使用して次のように表すことができます。

${\displaystyle \Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)}$

どこ

${\displaystyle \theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.}$

j関数は次のように表される ことに注意してください。

${\displaystyle j(\tau )\,=\,32\,{\frac {\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)^{3}}{\left(\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)\right)^{8}}}}$

E ₈格子は（拡張）ハミング符号 H (8,4) と非常に密接に関連しており、実際にそれから構築することができます。ハミング符号H (8,4) は、長さ 8、階数 4 のバイナリ符号です。つまり、有限ベクトル空間 ( F ₂ ) ^{8の 4 次元部分空間です。 (} F ₂ ) ⁸の要素を16 進数の 8 ビット整数として書き表すと、符号H (8,4) は、集合として明示的に表すことができます。

{00、0F、33、3C、55、5A、66、69、96、99、A5、AA、C3、CC、F0、FF}。

コードH (8,4) は、タイプ II 自己デュアル コードであるため、部分的に重要です。最小の非ゼロハミング重みは4 です。つまり、2 つのコードワードは少なくとも 4 ビット異なります。この特性を持つ長さ 8 のバイナリ コードとしては最大です。

長さnの2進コードCから^、 Zn内のベクトルxの集合のうち、 xがCのコードワードと合同（法2）となるものを取ることで、格子Λを構築することができる。^{[12] Λを1/} √2の係数で再スケールすると便利なことが多い。

${\displaystyle \Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\in C\right\}.}$

この構成をタイプ II 自己双対コードに適用すると、偶数ユニモジュラー格子が得られます。特に、これをハミング コードH (8,4) に適用すると、E ₈格子が得られます。ただし、この格子と上で定義した 格子 Γ ₈の間に明示的な同型性を見つけることは、まったく簡単ではありません。

E ₈格子は、実八元数Oの非結合代数とも密接に関連しています。積分四元数の概念に類似した積分八元数の概念を定義することができます。積分八元数は、自然にO の内部に格子を形成します。この格子は、単にスケールが変更された E ₈格子です。(積分八元数格子の最小ノルムは 2 ではなく 1 です)。このように八元数に埋め込まれた E _8格子は、非結合環の構造を帯びます。

単位八元数の基底 (1, i , j , k , ℓ, ℓ i , ℓ j , ℓ k ) を固定すると、この基底を含む最大順序として整数八元数を定義できます(もちろん、順序と環の定義を拡張して、非結合的な場合を含める必要があります)。これは、式x * x ( xのノルム) とx + x * ( xの実部の 2 倍) が整数値となる単位を含むOの最大の部分環を見つけることに相当します。実際には、このような最大順序は 7 つあり、7 つの虚数単位のそれぞれに 1 つずつ対応しています。ただし、7 つの最大順序はすべて同型です。このような最大順序の 1 つは、八元数i、j、および⁠によって生成されます。1/2⁠ ( i + j + k + ℓ).

積分八元数と E ₈格子との関係についての詳細な説明は、Conway と Smith (2003) に記載されています。

137、267、457、125、243、416、356 の 3 元数で定義される八元数の乗算を考えます。すると、整八元数はベクトルを形成します。

1) , i=0, 1, ..., 7 ${\displaystyle \pm e_{i}}$

2)インデックスabcは、7つの3和音124、235、346、457、561、672、713を通る。 ${\displaystyle \pm e_{0}\pm e_{a}\pm e_{b}\pm e_{c}}$

3)インデックス pqrs は、7 つのテトラッド 3567、1467、1257、1236、2347、1345、2456 を通過します。 ${\displaystyle \pm e_{p}\pm e_{q}\pm e_{r}\pm e_{s}}$

この集合の虚数八元数、すなわち1)の14と3)の7*16=112はリー代数の根を形成します。残りの2+112のベクトルと合わせて、リー代数の根を形成する240のベクトルが得られます。^[13]${\displaystyle E_{7}}$${\displaystyle E_{8}}$

1982 年にマイケル・フリードマンは、交差形式が E ₈格子によって与えられるE ₈多様体と呼ばれる位相4 次元多様体の例を作成しました。この多様体は、滑らかな構造を持たず、三角形化もできない位相多様体の例です。

弦理論において、ヘテロティック弦は26次元のボソン弦と10次元の超弦の特異なハイブリッドである。理論が正しく機能するためには、16の不一致な次元をランク16の偶数ユニモジュラー格子上にコンパクト化する必要がある。そのような格子は2つある：Γ ₈ >⊕Γ ₈と Γ _{16 （ Γ 8}と類似した方法で構成される）。これらは、E ₈ ×E ₈ヘテロティック弦とSO(32)ヘテロティック弦 として知られる2つのバージョンのヘテロティック弦につながる。

• リーチラティス
• E ₈（数学）
• 半正則 E 多面体

• Conway, John H. ; Sloane, Neil JA (1998). Sphere Packings, Lattices and Groups (第 3 版). ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9。
• Conway, John H. ; Smith, Derek A. (2003).四元数と八元数について. Natick, マサチューセッツ州: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9。第 9 章では、積分八元数と E ₈格子について説明します。