ホッジ指数定理

数学において、代数曲面Vのホッジ指数定理は、V上の代数曲線C上の交差ペアリングの符号を決定します。これは、大まかに言えば、そのような曲線 (線型同値を除く) によって張られる空間には、その上で正定値(一意に定まらない)である 1 次元部分空間があり、そのような 1 次元部分空間の直和と、その上で負定値である相補部分空間として分解されることを示しています。

より形式的な表現では、V が非特異 射影面であり、H が与えられた射影埋め込みにおけるVの超平面切断のV上の因子類であるとする。すると、交差

${\displaystyle H\cdot H=d\ }$

ここで、d はVの次数（その埋め込みにおいて）です。D を、代数的同値を除いて、V上の有理因子類のベクトル空間とします。D の次元は有限であり、通常 ρ( V )で表されます。ホッジ指数定理によれば、D 内の H によって張られる部分空間には、交差ペアリングが負定値となる相補部分空間があります。したがって、シグネチャ（指数とも呼ばれる）は (1,ρ( V )-1) です。

代数的同値性までの因子類のアーベル群は現在ネロン・セヴェリ群と呼ばれている。これは有限生成アーベル群であることが知られており、結果は有理数体とのテンソル積についてである。したがって、ρ( V ) はネロン・セヴェリ群の階数でもある（ネロン・セヴェリ群は、場合によっては 非自明な捩れ部分群を持つことがある）。

この結果は、イタリア代数幾何学学派（特に、この場合 ρ < ∞ を示したフランチェスコ・セヴェリ）によってしばらく予想されていた後、1930 年代にWVD ホッジによって複素数多様体に対して証明されました。ホッジの方法は、レフシェッツによってもたらされた位相的な方法でした。この結果は、一般の（代数的に閉じた）体に対しても当てはまります。

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、OCLC  13348052、第V.1章を参照