曲線の円錐

数学において、代数多様体の曲線の円錐（クレイマン・モリ円錐とも呼ばれる）${\displaystyle X}$は双有理幾何学にとって重要な組み合わせ不変量である。${\displaystyle X}$。

させて${\displaystyle X}$適切な品種である。定義により、(実際の) 1サイクルは${\displaystyle X}$形式的な線形結合${\displaystyle C=\sum a_{i}C_{i}}$既約曲線、縮約曲線、および固有曲線${\displaystyle C_{i}}$係数付き${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$1サイクルの数値的等価性は、交差によって定義されます。2つの1サイクル${\displaystyle C}$そして${\displaystyle C'}$数値的に同等である場合${\displaystyle C\cdot D=C'\cdot D}$すべてのカルティエ除数に対して${\displaystyle D}$の上${\displaystyle X}$数値的等価性を法とする 1-サイクルの実ベクトル空間を次のように表す。${\displaystyle N_{1}(X)}$。

曲線の円錐を定義する${\displaystyle X}$である

${\displaystyle NE(X)=\left\{\sum a_{i}[C_{i}],\ 0\leq a_{i}\in \mathbb {R} \right\}}$

どこで${\displaystyle C_{i}}$既約、縮約、適切な曲線は${\displaystyle X}$、 そして${\displaystyle [C_{i}]}$彼らのクラスは${\displaystyle N_{1}(X)}$容易にわかることだが、$\displaystyle NE(X)$これは確かに凸幾何学の意味での凸円錐である。

曲線の円錐の概念の有用な応用例の 1 つは、クライマン条件です。これは、(カルティエ) 除数${\displaystyle D}$多種多様な${\displaystyle X}$十分であるのは、${\displaystyle D\cdot x>0}$任意の非ゼロ要素に対して${\displaystyle x}$で${\displaystyle {\overline {NE(X)}}}$、通常の実位相における曲線の円錐の閉包。（一般に、$\displaystyle NE(X)$閉じる必要はないので、ここで閉包を取ることが重要である。）

より複雑な例としては、代数多様体の最小モデル理論における曲線錐の役割が挙げられる。簡単に言うと、その理論の目標は次のとおりである。(わずかに特異な)射影多様体が与えられたとき、${\displaystyle X}$（やや特異な）品種を見つける${\displaystyle X'}$これは双有理数です${\displaystyle X}$、そしてその正準約数${\displaystyle K_{X'}}$はnefです。1980 年代初頭の大きなブレークスルー (森氏らによる) は、(少なくとも道徳的には) 必要な双有理マップを${\displaystyle X}$に${\displaystyle X'}$一連のステップとして、それぞれのステップは、${\displaystyle K_{X}}$-負の極値光線$\displaystyle NE(X)$しかし、このプロセスには困難があり、その解決には反転の導入が必要となる。

上記の縮約過程は、円錐構造に関する基本定理として知られる結果なしには進めることができなかった。この定理の最初のバージョンは、滑らかな多様体に対して森によって提唱されたものであり、後に川俣、コラー、リード、ショクロフらによってより広いクラスの多様体に一般化された。森による定理のバージョンは以下のとおりである。

円錐定理。${\displaystyle X}$滑らかな射影多様体である。

1.有理曲線は可算個 存在する${\displaystyle C_{i}}$の上${\displaystyle X}$満足${\displaystyle 0<-K_{X}\cdot C_{i}\leq \operatorname {dim} X+1}$、 そして

${\displaystyle {\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}+\sum _{i}\mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}].}$

2. 任意の正の実数に対して${\displaystyle \epsilon }$そして任意の十分な約数${\displaystyle H}$、

${\displaystyle {\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}+\epsilon H\geq 0}+\sum \mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}],}$

最後の項の和は有限である。

最初の主張は、${\displaystyle N_{1}(X)}$交差する${\displaystyle K_{X}}$は非負であり、何もわかっていませんが、補空間では、円錐はいくつかの可算個の曲線の集合によって張られ、それらは非常に特殊です。それらは有理であり、その「次数」は の次元によって非常に厳密に制限されます。${\displaystyle X}$2番目の主張は、さらに詳しいことを教えてくれます。それは、超平面から離れると、${\displaystyle \{C:K_{X}\cdot C=0\}}$円錐の極端光線は蓄積できない。${\displaystyle X}$ファノ種です。 $\displaystyle \overline NE(X)_{K_X\geq 0}=0$なぜなら${\displaystyle -K_{X}}$十分である。したがって、円錐定理は、ファノ多様体の曲線の円錐が有理曲線によって生成されることを示している。

さらに、その多様性${\displaystyle X}$標数0の体上で定義される場合、次の主張が成り立ちます。これは縮小定理と呼ばれることもあります。

3.${\displaystyle F\subset {\overline {NE(X)}}}$曲線の円錐の極面となる${\displaystyle K_{X}}$負である。すると一意の射が存在する。${\displaystyle \operatorname {cont} _{F}:X\rightarrow Z}$射影多様体Zに対して、${\displaystyle (\operatorname {cont} _{F})_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{Z}}$そして既約曲線${\displaystyle C}$で${\displaystyle X}$によってポイントにマッピングされます${\displaystyle \operatorname {cont} _{F}}$かつその場合に限り${\displaystyle [C]\in F}$（縮約射も参照）。

• ラザースフェルド、R.、『代数幾何学における正値性 I』、シュプリンガー・フェルラーク、2004年。ISBN 3-540-22533-1
• Kollár, J. および Mori, S.、『代数多様体の双有理幾何学』、ケンブリッジ大学出版局、1998 年。ISBN 0-521-63277-3