マシューグループM24

群論として知られる現代代数学の分野において、マシュー群 M ₂₄は、順序が散在する単純群である。

   2 ¹⁰  · 3 ³  · 5  · 7  · 11  · 23 = 244823040

≈ 2 × 10⁸ .

M ₂₄は 26 個の散在群の 1 つであり、マシュー (1861、1873) によって導入されました。これは24 個のオブジェクト上の5 推移的置換群です。シューア乗数と外部自己同型群はどちらも自明です。

マシュー群はさまざまな方法で構築できます。最初、マシューらはこれを順列群として構築しました。M _{24が実際に存在し、その生成元が交代群 A 24 を}生成するだけではないことを理解するのは困難でした。この問題は、エルンスト・ウィットが M _{24 をS(5,8,24)}シュタイナー系 W ₂₄ (ウィット設計)の自己同型 (対称) 群として構築したときに明らかになりました。M ₂₄は、この設計のすべてのブロックを他のブロックにマップする順列のグループです。サブグループ M ₂₃と M _{22 は}、それぞれ単一の点と点のペアの安定化として簡単に定義できます。

M _{24 は、} S ₂₄の3つの順列によって生成される部分群である: ^[1]

• ${\displaystyle (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23)}$
• ${\displaystyle (3,17,10,7,9)(4,13,14,19,5)(8,18,11,12,23)(15,20,22,21,16)}$そして
• ${\displaystyle (1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)(11,17)(13,22)(15,19)}$。

M _24は2つの順列によっても生成される：^[2]

• ${\displaystyle (1,16,8,23,13,14,5)(2,7,11,19,20,24,12)(3,4,17,9,22,21,15)}$そして
• ${\displaystyle (1,24)(2,21)(3,10)(4,22)(5,9)(6,23)(7,8)(11,18)(12,20)(13,14)(15,19)(16,17).}$

M _{24 は}、 4 つの元を持つ有限体上の 3 次元空間の射影特殊線型群PSL(3,4) から構築できます(Dixon & Mortimer 1996、pp. 192–205)。この群はM ₂₁と呼ばれることもあり、体 F _4上の射影平面、つまりW ₂₁と呼ばれる S(2,5,21) システムに作用します。その 21 個のブロックは線と呼ばれます。任意の 2 本の線は 1 点で交差します。

M ₂₁には、位数 360 の単純部分群が 168 個と、位数 168 の単純部分群が 360 個あります。より大きな射影一般線型群PGL(3,4) では、両方の部分群の集合が単一の共役類を形成しますが、 M ₂₁では、両方の集合が 3 つの共役類に分割されます。部分群はそれぞれ、超楕円と呼ばれる 6 の軌道と、ファノ部分平面と呼ばれる 7 の軌道を持ちます。これらの集合により、より大きなシュタイナー系の新しいブロックを作成できます。 M ₂₁は、指数3 の PGL(3,4) で正規です。 PGL(3,4) には、 F ₄の共役元の転置によって誘導される外部自己同型 (体自己同型) があります。したがって、 PGL(3,4) は、対称群S ₃によるM ₂₁の分割拡張である、射影半線型変換の群 PΓL(3,4) に拡張できます。 PΓL(3,4)はM ₂₄の最大部分群として埋め込みを持つ。(Griess 1998, p. 55)

超楕円には同一直線上にある 3 つの点はありません。ファノ部分平面も同様に適切な一意性条件を満たします。

_{W 21}に3つの新しい点を追加し、PΓL(3,4)の自己同型でこれらの新しい点を並べ替えるが、M ₂₁にはない。S(3,6,22)システムW _{22は、21の直線の​​それぞれに1つの新しい点を追加することによって形成され、新しいブロックはM 21}の下で共役な56個の超楕円である。

S(5,8,24) システムには 759 個のブロック、つまりオクタッドがあります。W ₂₁の各直線に 3 つの新しい点を追加し、120 の各セットのファノ サブプレーンにそれぞれ異なる新しい点を追加し、すべての超楕円に適切な新しい点のペアを追加します。これで 210 個を除くすべてのオクタッドが説明できます。残りのオクタッドは W ₂₁のサブセットであり、直線のペアの対称差です。グループ PΓL(3,4) を M ₂₄に拡張する方法は多数あります。

群 M _24は、バイナリ ゴレイ コードWの順列自己同型群、つまりW を自身にマッピングする座標の順列の群でもあります。コードワードは、24 個のオブジェクトの集合のサブセットに自然に対応します。(符号理論では、「バイナリ ゴレイ コード」という用語は、関連するより短い長さ 23 のコードを指すことが多く、ここで使用される長さ 24 のコードは「拡張バイナリ ゴレイ コード」と呼ばれます。) 8 個または 12 個の座標が 1 に等しいコードワードに対応するサブセットは、それぞれオクタッドまたはドデカッドと呼ばれます。オクタッドは S(5,8,24) シュタイナー システムのブロックであり、バイナリ ゴレイ コードは、シュタイナー システムのオクタッドによって張られる 体 F ₂上のベクトル空間です。

単純部分群 M ₂₃、 M ₂₂、 M ₁₂、および M _{11は、それぞれ M 24}のサブグループ、単一の座標、順序付けられた座標のペア、12 元座標、および単一の座標と組み合わせた 12 元座標の安定化群として定義できます。

バイナリ ゴレイ コードとリーチ格子はどちらも次元 24 の空間にあるため、マシュー グループとより大きなコンウェイ グループの間には自然なつながりがあります。コンウェイ グループは、モンスター グループに含まれています。 ロバート グリースは、モンスターにある 20 個の散在グループをハッピー ファミリーと呼び、マシュー グループを第 1 世代と呼んでいます。

M _{24 は}、クラインの 4 次方程式の対称性(種数 3 の曲面のタイル張りの対称性) から始めて構築できます。これは PSL(2,7) であり、追加の順列によって拡張できます。この順列は、クラインの 4 次方程式を 56 個の三角形 (24 個の頂点、つまりグループが作用する 24 個の点) でタイリングすることから始めて、2 つの三角形のいくつかから正方形を形成し、6 つの三角形から八角形を形成し、追加の順列として「元の三角形タイリングの、正方形と八角形を二等分する辺の 2 つの端点を交換する」ことで記述できます。^[2]これは三角形に色を付けることによって視覚化できます。対応するタイリングは位相的にはt _0,1 {4, 3, 3}タイリングですが、幾何学的にはそうではありません。また、小さな立方八面体（これも24個の頂点を持ちます）としてユークリッド3次元空間に（多面体的に）埋め込むことができます。^[2]

本影月光理論は、K3 表面と M ₂₄の間の部分的に推測的な関係です。

コンウェイ群 Co1、フィッシャー群 Fi24、およびヤンコ群 J4 はそれぞれ、マシュー群 M ₂₄を群 2 ¹¹で拡張した最大部分群を持ちます。（これらの拡張はすべて同じではありません。）^[要出典]

_{フロベニウス（1904）はM24}の複素数特性表を計算した。

マシュー群 M ₂₄は、24 点上の 5 倍の推移的置換表現を持ちます。複素数上の対応する線形表現は、自明な表現と 23 次元の既約表現の合計です。^{[引用が必要]}

M _{24 に}は 2 つのランク 3 の順列表現があります。1 つは安定子 M ₂₂ .2を持つ 276 = 1+44+231 の点のペア (またはデュアド) で、もう 1 つは安定子 M ₁₂ .2を持つ 1288 = 1+495+792 のデュアドです。^{[引用が必要]}

置換表現の 24 次元線形表現をその 1 次元固定部分空間で割ると、23 次元表現が得られます。これは、特性が 2 または 3 以外の任意の体上で既約であり、そのような体上で最小の忠実な表現になります。^{[引用が必要]}

24次元表現をmod 2で縮小すると、Fに対する作用が得られる。²⁴
₂これには次元 1、12 (ゴレイ コード)、および 23 の不変部分空間があります。部分商は、2 つの元を持つ体上の次元 11 の 2 つの既約表現を与えます。^{[引用が必要]}

Choi (1972b) は、 M ₂₄の極大部分群の 9 つの共役類を発見した。Curtis (1977) は、この結果の短い証明を与え、24 点の組み合わせデータの観点から 9 つの類を説明した。部分群は、以下に示すように、点、2 点、8 点、2 点、6 点、3 点、3 点、射影直線、または 8 点に固定される。Todd (1966) は、M ₂₄の指標表(元々は Frobenius (1904) によって計算された) と、当時知られていた 8 つの極大部分群を示した。

M ₂₄には、13 種類の同型性の非可換単純部分群が含まれます。A ₅のクラスが 5 つ、PSL(3,2) のクラスが 4 つ、A ₆のクラスが2 つ、PSL(2,11) のクラスが 2 つ、A ₇、PSL(2,23)、M ₁₁、PSL(3,4)、A ₈、M ₁₂、M ₂₂、M ₂₃、M ₂₄がそれぞれ 1 つのクラスです。^[要出典] A ₆は、以下では六重部分群の部分商としても示されています。

マシュー群は、3 軌道の固定空間を法とするゴレイ コードの 2048 = 1+759+1288 点と、5 軌道のココードの 4096 = 1+24+276+2024+1771 点に作用し、コードまたはココードの非自明な点を固定するサブグループは、最大サブグループの 9 つのクラスのうち 6 つを与えます。

最大サブグループの 9 つのクラスは次のとおりです。

点を固定するサブグループはM ₂₃、位数 10200960 です。

二重点とは、点のペアのことです。二重点を固定するサブグループは M ₂₂ :2、位数 887040、軌道 2 と 22 です。

ゴレイコードまたはシュタイナーシステムの 759 (= 3·11·23) 個のオクタドのうちの 1 つを固定するサブグループは、オクタド群 2 ⁴ :A ₈、位数 322560、軌道サイズ 8 および 16 です。線型群 GL(4,2) は、交代群 A _8と例外的に同型です。オクタドの点ごとの安定子O は、位数 16、指数 2 のアーベル群であり、その反転のそれぞれにより、16 点すべてがオクタドの外側に移動します。オクタドの安定子は、O を A ₈で分割した拡張です。(Thompson 1983、pp. 197–208)

ドゥウムは、ゴレイ コードにおける相補的な 12 点集合のペアです。ドゥウムを固定するサブグループは M ₁₂ :2、位数 190080、推移的かつ原始的です。このサブグループはフロベニウスによって発見されました。サブグループ M _{12は、 M 12}の外部自己同型を反映して、2 つの 12 集合に対して異なる動作をします。

2 ⁶ :(3.S ₆ )、順序138240:六重奏団

シュタイナー体系 W _{24の 4 点の集合である}テトラッドを考えてみましょう。オクタッドは、残りの 20 点から 5 番目の点を選択することで決定されます。可能なオクタッドは 5 つです。したがって、任意のテトラッドは 6 つのテトラッドへの分割を決定し、これをセクステットと呼びます。M ₂₄のその安定子はセクステット グループと呼ばれます。

四つ組の総数は 24*23*22*21/4! = 23*22*21 です。これを 6 で割ると六つ組の数 23*11*7 = 1771 になります。さらに、六つ組群は 6 !*(4!) ^{6の位数を持つ}花輪積の部分群で、その素因数は 2、3、5 のみです。^{[要出典]これで |M} ₂₄ |の素因数がわかりました。さらに分析を進めると六つ組群の位数が決まり、したがって |M ₂₄ | も決まります。

24 個のポイントを 6 行 4 列の配列に配置すると便利です。

_{さらに、行に番号を付けるには、体 F 4}の要素0、1、u、u ^{2 を}使用すると便利です。

六重群には、長さ 6、次元 3 のベクトル空間であるヘキサコード と同型の、_位数64 の正規アーベル部分群Hがあります。 H の非ゼロ元は、4 列または 6 列内で二重転置を行います。その動作は、ベクトル座標を行番号に加えることと考えることができます。

六重項群は、群 3.S ₆ (幹拡張) による H の分割拡張です。^{[出典が必要]}これは、マシュー群内で単純群 (A ₆ ) が部分群ではなく部分商である例です。 3.S _6は、 r =(BCD)(FGH)(JKL)(NOP)(RST)(VWX)によって生成される部分群のM _{24における}正規化群であり、行番号を u ²で乗算したものと考えることができます。 部分群 3.A _6は⟨r⟩の中心化群です。 3.A ₆の生成元は次のとおりです。

(AEI)(BFJ)(CGK)(DHL)(RTS)(VWX) (最初の 3 列を回転)

(AQ)(BS)(CT)(DR)(EU)(FX)(GV)(HW)

(AUEIQ)(BXGKT)(CVHLR)(DWFJS) (前の 2 つの積)

(FGH)(JLK)(MQU)(NRV)(OSW)(PTX) (最後の 3 列をローテーション)。

列の奇数順列、たとえば(CD)(GH)(KL)(OP)(QU)(RV)(SX)(TW)は、3.S ₆を生成します。

群3.A ₆はSL(3,4)の部分群と同型であり、そのPSL(3,4)の像は上で超楕円群として ^{[誰によって? ]}指摘されている。

アプレットMoggieには、六重奏をカラーで表示する機能があります。

トライアドは 3 つの点の集合です。トライアドを固定するサブグループは PSL(3,4):S ₃、順序 120960、軌道のサイズが 3 と 21 です。

トリオは、ゴレイ コードの 3 つの互いに素なオ​​クタッドの集合です。トリオを固定するサブグループは、トリオ グループ 2 ⁶ :(PSL(2,7) x S ₃ )、順序 64512、推移的かつ非原始的です。

24点上の射影直線構造を固定する部分群はPSL(2,23)、位数6072であり、その作用は二重推移的である。この部分群はMathieuによって観察された。

八角形は、24 個の点を 3 ずつの 8 つのブロックに分割したものです。八角形を固定する部分群は、PSL(2,7) と同型で、位数が 168、単純、推移的、非原始的な八角形群です。これは、M ₂₄の最後に見つかった極大部分群です。

^{共役類は 26 種類あります。サイクルの形状はすべてバランスが取れており、共役}類に応じて、ある 整数Nに対して長さkサイクルから長さN / kサイクルに変化しても^{不変のままです。}

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• MathWorld: マシュー群
• 有限群表現のアトラス: M24
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