クンマー表面

代数幾何学において、クンマーの4次曲面は、エルンスト・クンマー (1864)によって初めて研究され、 最大16個の二重点を持つ における次数4の既約 節点曲面である。そのような曲面はいずれも、種数2の滑らかな超楕円曲線のヤコビ多様体のクンマー多様体、すなわちヤコビアンをクンマー反転x  ↦ − xで割った商である。クンマー反転には16個の不動点、すなわちヤコビアンの16個の2次元捩れ点があり、これらは4次曲面の16個の特異点である。トーラス (非代数的である可能性もある) の商の16個の二重点をクンマー反転で解くと、16個の互いに交わらない有理曲線を持つK3曲面が得られる。これらのK3曲面はクンマー曲面と呼ばれることもある。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

クンマー面に密接に関連する他の面としては、ウェッドル面、波面、四面体などがあります。

を通常の二重点p を持つ四次曲面とします。この曲面の近くでは、 K は二次円錐のように見えます。 pを通る任意の射影直線は、 pで重複度 2 でKと交わるため、四次Kとは他の 2 つの点でのみ交わります。 内の点pを通る直線を と同一視すると、 pでのKの膨張から への二重被覆が得られます。この二重被覆は、 q  ≠  p  ↦ と、K内のpの接円錐内の任意の直線をそれ自身に送ることで得られます。二重被覆の分岐軌跡は次数 6 の平面曲線Cであり、p以外のKのノードはすべてCのノードにマップされます 。 ${\displaystyle K\subset \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \scriptstyle {\overline {pq}}}$

種数次数公式により、6 次曲線上の最大ノード数は、曲線が直線の和集合である場合に得られ、その場合、ノード数は 15 になります。したがって、4 次曲線上の最大ノード数は 16 であり、この場合、それらはすべて単純ノードです (別のノードからの単純投影であることを示すため)。これらの 16 個のノードを取得する 4 次曲線は Kummer Quartic と呼ばれ、以下ではこれに焦点を当てます。 ${\displaystyle 6}$${\displaystyle p}$

は単純なノードなので、この点への接円錐は二重被覆の下で円錐に写像されます。この円錐は、実際は 6 本の直線に接しています (証明を)。逆に、円錐と、平面上で円錐に接する 6 本の直線の構成が与えられている場合、これら 6 本の直線の和集合上に分岐した平面の二重被覆を定義できます。この二重被覆は、特殊円錐の二重被覆を吹き飛ばす写像の下で に写像され、他の場所では同型です (証明を)。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

種数 2 の滑らかな曲線から始めて、写像 の下でヤコビアン を と同一視できます。ここで、2 つの事実が観察されます。は超楕円曲線であるため、 によって定義される対称積 から への写像は、超楕円反転のグラフを標準因子類に落としたものです。さらに、標準写像は二重被覆です。したがって、二重被覆 が得られます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle Jac(C)}$${\displaystyle Pic^{2}(C)}$${\displaystyle x\mapsto x+K_{C}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Sym^{2}C}$${\displaystyle Pic^{2}C}$${\displaystyle \{p,q\}\mapsto p+q}$${\displaystyle C\to |K_{C}|^{*}}$${\displaystyle Kum(C)\to Sym^{2}|K_{C}|^{*}}$

この二重被覆は、すでに上で登場したものです。6 本の直線は上の奇対称シータ因子の像であり、円錐曲線は拡大された 0 の像です。円錐曲線は同型 を介して標準系に同型であり、6 本の直線のそれぞれは、曲線 のシータ因子と変換の同一視を介して、双対標準系に自然に同型です。奇対称シータ因子のペアとヤコビアン上の 2 ねじれ点の間には 1 対 1 の対応があり、これは、ここで はワイエルシュトラス点 (種数 2 のこの における奇シータ特性) であるという事実によって与えられます。したがって、標準写像の分岐点は、標準系のこれらのコピーのそれぞれ上で、直線の交点、および直線と円錐曲線の接点として現れます。 ${\displaystyle Jac(C)}$${\displaystyle T_{0}Jac(C)\cong |K_{C}|^{*}}$${\displaystyle |K_{C}|^{*}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (\Theta +w_{1})\cap (\Theta +w_{2})=\{w_{1}-w_{2},0\}}$${\displaystyle w_{1},w_{2}}$${\displaystyle C\mapsto |K_{C}|^{*}}$

最後に、すべてのクンマー四次曲面は超楕円曲線のヤコビアンであることが判明しているので、種数 2 の曲線のヤコビアンから直接クンマー四次曲面を再構築する方法を示します。 のヤコビアンは完全な線型系に写像されます (アーベル多様体の記事を参照)。この写像は、 の 2 ねじれ点の像に 16 個のノードを持つ次数 4 の写像としてクンマー多様体を介して因数分解されます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |O_{Jac(C)}(2\Theta _{C})|\cong \mathbb {P} ^{2^{2}-1}}$${\displaystyle Jac(C)}$

クンマー四次方程式のノードの構成の幾何学的、代数的、および組み合わせ的側面に関連する重要なポイントがいくつかあります。

• 上の任意の対称奇シータ因子は集合点 によって与えられ、ここで w は 上のワイエルシュトラス点である。このシータ因子には 6 個の 2 ねじれ点 が含まれ、はワイエルシュトラス点である。${\displaystyle Jac(C)}$${\displaystyle \{q-w|q\in C\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle w'-w}$${\displaystyle w'}$
• ワイエルシュトラス点によって与えられた 2 つの奇数シータ因子は、および で交差します。${\displaystyle w,w'}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle w-w'}$
• 2 つのねじれ点によるヤコビアンの移動は、代数面としてのヤコビアンと同型であり、2 つのねじれ点の集合をそれ自身に写像します。
• 上の完全線型システムでは、任意の奇数シータ因子は円錐曲線に写像され、円錐曲線はクンマー四次式と平面の交差である。さらに、この完全線型システムは 2 次元捩れ点によるシフトに対して不変である。${\displaystyle |2\Theta _{C}|}$${\displaystyle Jac(C)}$

したがって、には円錐曲線の構成があり、各円錐曲線には 6 つのノードが含まれ、各 2 つの交点は 2 つのノードに沿っています。この構成は、構成またはKummer 構成と呼ばれます。 ${\displaystyle 16}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle 16_{6}}$

アーベル多様体上の 2 次元捩れ点は、ヴァイユ対合と呼ばれるシンプレクティック双線型形式をとることができる。種数 2 の曲線のヤコビアンの場合、すべての非自明な 2 次元捩れ点は、曲線の 6 つのヴァイエルシュトラス点のうちの 2 つの間の差として一意に表現される。この場合、ヴァイユ対合は で与えられる 。配置の幾何学を介して、群の群論的不変量の多くを回復することができる。 ${\displaystyle \langle p_{1}-p_{2},p_{3}-p_{4}\rangle =\#\{p_{1},p_{2}\}\cap \{p_{3},p_{4}\}}$${\displaystyle Sp_{4}(2)}$${\displaystyle 16_{6}}$

_{以下は、群論的不変量と、16 6}構成におけるそれらの幾何学的具体化のリストです。

• 極線
• 非極性複合体
• クライン構成
• 基本二次関数
• 基本四面体
• ローゼンハイン四分子
• アドルフ・ゲーペル 1812-1847年代

• バース、ウルフ P.ヒューレック、クラウス。ピーターズ、クリスAM。 Van de Ven、Antonius (2004)、Compact Complex Surfaces、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 4、Springer-Verlag、ベルリン、doi :10.1007/978-3-642-57739-0、ISBN 978-3-540-00832-3、MR  2030225
• ドルガチェフ、イゴール（2012）、古典代数幾何学。現代的な視点、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-01765-8、MR  2964027
• ハドソン、RWHT (1990)、クンマーの四次曲面、ケンブリッジ数学図書館、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-39790-2、MR  1097176
• Kummer、Ernst Eduard (1864)、「Über die Flächen vierten Grades mit sechzehn singulären Punkten」、Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 246–260（Kummer 1975）に再録
• クンマー、エルンスト・エドゥアルト（1975）、Collected Papers: Volume 2: Function Theory, Geometry, and Miscellaneous、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-06836-7、MR  0465761
• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994]、「Kummer_surface」、数学百科事典、EMS Press

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