デュヴァル特異点

代数幾何学において、デュ・ヴァル特異点（単純曲面特異点、クライン特異点、または有理二重点とも呼ばれる）は、平面の二重分岐カバーをモデルとした複素曲面の孤立した特異点であり、最小解像度は、特異点を滑らかな有理曲線のツリーに置き換えることによって得られ、その交差パターンはADE特異点型のディンキン図と双対である。これらは、2次元における正準特異点（または同等に、有理ゴレンシュタイン特異点）である。これらはパトリック・デュ・ヴァル^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}とフェリックス・クラインによって研究された。

デュヴァル特異点は、${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$SL ₂の有限部分群によって${\displaystyle (\mathbb {C} )}$; 同等に、 SU(2)の有限部分群であり、二元多面体群として知られています。^{[ 4 ]}これらの有限群作用の不変多項式の環はクラインによって計算され、本質的には特異点の座標環です。これは不変理論における古典的な結果です。^{[ 5 ] [ 6 ]}

デュヴァル特異点の候補は（解析的同型を除いて）以下の通りである。

• ${\displaystyle A_{n}:\quad w^{2}+x^{2}+y^{n+1}=0}$
• ${\displaystyle D_{n}:\quad w^{2}+y(x^{2}+y^{n-2})=0\qquad (n\geq 4)}$
• ${\displaystyle E_{6}:\quad w^{2}+x^{3}+y^{4}=0}$
• ${\displaystyle E_{7}:\quad w^{2}+x(x^{2}+y^{3})=0}$
• ${\displaystyle E_{8}:\quad w^{2}+x^{3}+y^{5}=0.}$

• ブリースコルン-グロテンディーク決議
• 象に関する一般的な推測

• リード、マイルズ、デュ・ヴァル特異点 A _n、 D _n、 E ₆、 E ₇、 E ₈ (PDF)
• バーバン、イゴール、デュ・ヴァル『特異点』（PDF）