弦の二重性

弦の双対性は物理学における対称性の一種であり、異なる弦理論^{[1]を結び付けるものである。弦理論とは、}宇宙の基本的な構成要素は点粒子ではなく弦であると仮定する理論である。

いわゆる「双対性革命」以前は、弦理論には 5 つの異なるバージョンがあり、さらに (不安定な) ボゾン理論とグルーオン理論があると信じられていました。

タイプ IIA とタイプ IIB の弦理論では、閉じた弦は 10 次元の時空 (バルクと呼ばれる)のどこにでも移動できるのに対し、開いた弦は、その端がD ブレーン(次元はタイプ IIA では奇数 - 1、3、5、7、または 9、タイプ IIB では偶数 - 0、2、4、6、または 8、時間方向を含む) に付着していることに注意してください。

1990 年代以前、弦理論家は、タイプ I、タイプ IIAとIIB、および 2 つのヘテロティック弦理論 ( SO(32)とE ₈ × E ₈ ) の 5 つの異なる超弦理論があると信じていました。これらの 5 つの候補理論のうち、実際の万物の理論は1 つだけであり、その理論とは、10 次元の時空を 4 次元にコンパクト化した低エネルギー極限が、今日の世界で観測されている物理法則と一致する理論であると考えられていました。現在では、5 つの超弦理論は基本的な理論ではなく、^[2] M 理論と呼ばれるより基本的な理論の異なる限界であることがわかっています。これらの理論は、双対性と呼ばれる変換によって関連付けられています。2 つの理論が双対性変換によって関連付けられている場合、最初の理論の各観測量を何らかの方法で 2 番目の理論にマッピングして、同等の予測を得ることができます。2 つの理論は、その変換の下で互いに双対であると言われます。言い換えると、2 つの理論は同じ現象の 2 つの数学的に異なる記述です。二重性の簡単な例としては、物質を反物質に置き換えた場合の素粒子物理学の等価性があります。反粒子の観点から宇宙を説明すると、あらゆる実験に対して同一の予測が得られます。

弦の双対性は、多くの場合、別々に見える量を結び付けます。距離スケールの大きいものと小さいもの、結合の強さの強いものと弱いものなどです。これらの量は、古典的な場の理論と量子粒子物理学の両方で、物理システムの挙動の非常に明確な限界を常に示してきました。しかし、弦は大きいものと小さいもの、強いものと弱いものの違いをあいまいにすることがあり、これが、これら 5 つの非常に異なる理論が関連付けられる理由です。

我々が 10 次元の時空にいると仮定しよう^[3]。つまり、9 つの空間次元と 1 つの時間があるということだ。その 9 つの空間次元のうちの 1 つを半径 R の円とし、その方向に距離 L = 2πR 移動すると円周して出発点に戻ることができる。この円周を移動する粒子は、円周の周囲で量子化された運動量を持つ。なぜなら、その運動量は波長に関連しているため(波動粒子二重性を参照)、2πR はその波長の倍数でなければならない。実際、円周上の粒子の運動量、およびそのエネルギーへの寄与は n/R (標準単位では、n は整数) の形式であるため、R が大きいと、R が小さい場合に比べて状態がずっと多く存在することになる (最大エネルギーが与えられている場合)。弦は、円周を移動するだけでなく、円に巻き付くこともある。弦が円周に巻き付く回数は巻き数と呼ばれ、これも量子化される (整数でなければならないため)。円周上に弦を巻き付けるにはエネルギーが必要です。弦は張力に逆らって伸ばさなければならないため、 という形式のエネルギー量が寄与します。ここで、 は弦の長さと呼ばれる定数、 w は巻き数（整数）です。ここで（最大エネルギーが与えられている場合）、R が大きい場合（運動量が異なる）多くの異なる状態が存在することになりますが、R が小さい場合も（巻き数が異なる）多くの異なる状態が存在することになります。実際、R が大きい理論と R が小さい理論は同等であり、最初の理論での運動量の役割は 2 番目の理論での巻き数によって果たされ、その逆も同様です。数学的には、R を に取ってn と w を入れ替えると、同じ方程式が生成されます。したがって、弦の運動量と巻き数モードを交換すると、大きな距離スケールが小さな距離スケールと交換されます。 ${\displaystyle wR/L_{st}^{2}}$${\displaystyle L_{st}}$${\displaystyle L_{st}^{2}/R}$

このタイプの双対性はT 双対性と呼ばれます。T 双対性は、タイプ IIA超弦理論をタイプ IIB超弦理論に関連付けます。つまり、タイプ IIA 理論とタイプ IIB 理論の両方を円上にコンパクト化し (一方は大きな半径、もう一方は小さな半径)、運動量モードと巻きモードを切り替え、距離スケールを切り替えると、一方の理論が他方の理論に変わります。同じことは、2 つのヘテロティック理論にも当てはまります。T 双対性は、特定の境界条件 (オリエンティフォールドと呼ばれる) を持つタイプ I超弦理論とタイプ IIB 超弦理論の両方にも関連付けます。

形式的には、円上の弦の位置は、その上にある 2 つの場によって記述されます。1 つは左方向に動く場、もう 1 つは右方向に動く場です。弦の中心の動き (したがって運動量) は場の合計に関係し、弦の伸び (したがって巻き数) は場の差に関係します。T 双対性は、左方向に動く場をそれ自体のマイナスにすることで形式的に記述できます。これにより、合計と差が入れ替わり、運動量と巻き数が切り替わります。

すべての力には結合定数があります。結合定数はその強さの尺度であり、ある粒子が別の粒子を放出または吸収する可能性を決定します。電磁気学では、結合定数は電荷の2乗に比例します。物理学者が電磁気学の量子的振る舞いを研究する場合、理論全体を正確に解くことはできません。なぜなら、すべての粒子が他の多くの粒子を放出および吸収する可能性があり、それらも同様に際限なく行う可能性があるためです。そのため、放出と吸収のイベントは摂動と見なされ、一連の近似によって処理されます。まず、そのようなイベントが1つしかないと仮定し、次にそのようなイベントが2つあることを許容するように結果を修正する、などです(この方法は摂動法と呼ばれます)。これは、結合定数が小さい場合にのみ合理的な近似であり、電磁気学の場合に当てはまります。しかし、結合定数が大きくなると、その計算方法は破綻し、実際の物理学の近似としては小さな部分は価値がなくなります。

これは弦理論でも起こり得ます。弦理論には結合定数があります。しかし、粒子理論とは異なり、弦の結合定数は単なる数値ではなく、ディラトンと呼ばれる弦の振動モードの 1 つに依存します。ディラトン場をマイナスと交換すると、非常に大きな結合定数が非常に小さな結合定数と交換されます。この対称性はS 双対性と呼ばれます。2 つの弦理論が S 双対性によって関連している場合、強い結合定数を持つ一方の理論は、弱い結合定数を持つもう一方の理論と同じです。強い結合を持つ理論は摂動論によって理解することはできませんが、弱い結合を持つ理論は理解できます。したがって、2 つの理論が S 双対性によって関連している場合は、弱い理論を理解するだけでよく、それは強い理論を理解することと同等です。

S双対性によって関連付けられる超弦理論は、タイプI超弦理論とヘテロティック SO(32)超弦理論、タイプIIB理論とそれ自体である。

さらに、強結合におけるタイプ IIA理論は 11 次元理論のように動作し、ディラトン場が 11 番目の次元の役割を果たします。この 11 次元理論はM 理論として知られています。

しかし、T 双対性とは異なり、S 双対性は前述のいずれの場合にも物理学レベルの厳密さで証明されていません。ほとんどの弦理論家がその妥当性を信じているものの、厳密に言えば、それは推測のままです。

• 鏡面対称
• U-双対性