デルペッツォ表面

数学において、デルペッツォ面またはファノ面は、 2次元の ファノ多様体、言い換えれば、十分な反正準因子類を持つ非特異射影代数面です。これらは、ある意味で、正準類が大きい 一般型の表面の反対です。

これらは、非常に豊富な反正準因子類を持つというより制限的な条件で曲面を研究したパスクアーレ・デル・ペッツォにちなんで名付けられました。または、彼の言葉で言えば、 n次元射影空間に次数n の埋め込みを持つ曲面(del Pezzo 1887) であり、これは次数が少なくとも 3 のデル・ペッツォ曲面です。

デルペッツォ面は、十分な反正準バンドルを持つ完全な非特異面です。この定義にはいくつかのバリエーションがあり、時々使用されます。デル ペッツォ面には特異点があることが許される場合もあります。元々は、次数が少なくとも 3 に制限される反正準埋め込みによって射影空間に埋め込まれていると想定されていました。

デルペッツォ曲面Xの次数d は、 定義により、その標準類Kの自己交差数( K , K ) です。

デルペッツォ面上の任意の曲線は、自己交差数が少なくとも -1 になります。自己交差数が -1 である曲線の数は有限であり、次数のみに依存します (次数が 8 でない限り)。

(−1)曲線は自己交差数が−1である有理曲線である。d > 2の場合、反正準埋め込みによる射影空間におけるそのような曲線の像は直線である。

デル ペッツォ面上の任意の (-1) 曲線のブローダウンは、次数が 1 多いデル ペッツォ面になります。デル ペッツォ面上の任意の点のブローアップは、その点が (-1) 曲線上になく、次数が 2 より大きい場合に、次数が 1 少ないデル ペッツォ面になります。次数が 2 の場合、その点が反正準写像に関連するガイザー反転によって固定されていないという条件を追加する必要があります。

デルペッツォは、デルペッツォ面の次数dは最大 9 であることを証明しました。代数的に閉じた体上では、すべてのデルペッツォ面は、2 つの射影直線 ( d =8) の積、または、9 − d個の点で射影平面を拡大したもので、そのうち 3 個は同一直線上になく、6 個は円錐上になく、8 個はいずれかの点にノードを持つ立方体上にありません。逆に、これらの条件を満たす点で平面を拡大したものはどれも、デルペッツォ面です。

次数dのデルペッツォ曲面のピカール群は奇ユニモジュラー格子I _{1,9− d}である。ただし、曲面が 2 直線の積である場合はピカール群は偶ユニモジュラー格子 II _1,1となる。奇格子の場合、標準元は (3, 1, 1, 1, ....) であり、例外的な曲線は次のベクトルの最初の座標を除くすべての座標の順列によって表される。

• (0, −1, 0, 0, ....) 拡大された点の例外的な曲線、
• （1, 1, 1, 0, 0, ...）の2点を通る直線、
• (2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) の 5 点を通る円錐曲線、
• (3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) の 7 つの点を通る 3 次方程式で、そのうちの 1 つに 2 つの点がある。
• (4, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1) 8 点を通る四次方程式で、そのうち 3 点が 2 点である。
• (5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1) 8 点を通る五次方程式で、2 点を除いてすべてに 2 点ずつある。
• (6、3、2、2、2、2、2、2、2、2) 重複度 3 の単一点を除き、8 点を通る 6 次数。

次数 1: E ₈ルート システムのルートに対応する (-1) 曲線が 240 個あります。これらは 8 次元ファミリーを形成します。反正準因子は十分ではありません。線形システム |-2 K | は、デル ペッツォ面からP ³の 2 次錐への次数 2 の写像を定義し、3 次曲面で切り取られた特異でない種数 4 の曲線に分岐します。

次数 2: E ₇格子の双対の微小ベクトルに対応する 56 本の (-1) 曲線があります。これらは 6 次元族を形成します。反正準因子はそれほど十分ではなく、その線形システムにより、デルペッツォ面から射影平面への写像が定義され、四次平面曲線に分岐します。この写像は一般に 2 対 1 であるため、この面はデルペッツォ二重平面と呼ばれることもあります。デルペッツォ面の 56 本の直線は、四次 の 28 本の従接線に対で写像されます。

次数 3:これらは本質的にP ³の3 次曲面です。3 次曲面は反正準埋め込みの像です。これらには、E ₆格子の双対の 1 つの剰余類の極小ベクトルに対応する 27 個の (-1) 曲線があり、3 次曲面の 27 本の直線にマッピングされます。これらは 4 次元族を形成します。

次数 4:これらは本質的にP ⁴のセグレ面であり、2 つの二次曲面の交差によって与えられます。これらには 16 個の (-1) 曲線があります。これらは 2 次元族を形成します。

次数 5: A ₄格子の双対の 1 つの剰余類の極小ベクトルに対応する 10 個の (-1) 曲線があります。同型性まで、そのような表面は 1 つだけ存在し、直線上に 3 がない 4 点で射影平面を拡大することによって与えられます。

次数6: 6本の(−1)曲線を持つ。同型性を除いて、そのような曲面は1つしか存在せず、射影平面を直線上ではない3点で拡大することによって得られる。ルート系はA ₂ × A _{1である。}

次数 7: 3 つの (-1) 曲線があります。同型性を除いて、2 つの異なる点で射影平面を拡大することによって得られるそのような表面は 1 つだけです。

次数 8:同型性が 2 つあります。1 つは、射影平面を 1 点で引き伸ばして得られるヒルツェブルッフ面であり、1 つの (-1) 曲線を持ちます。もう 1 つは、2 つの射影直線の積であり、射影平面から始めて点を引き伸ばすことでは得られない唯一のデルペッツォ面です。そのピカール群は、偶数 2 次元ユニモジュラ不定値格子 II _1,1であり、(-1) 曲線は含まれません。

9 次: 9 次デルペッツォ面はP ²のみです。その反正準埋め込みは、 3 次方程式の線形システムを使用した P ⁹への3 次ベロネーゼ埋め込みです。

弱いデルペッツォ曲面は、 nefかつ大きい反正準バンドルを持つ完全な非特異曲面です。

弱デルペッツォ面上の任意の (-1) 曲線のブローダウンは、次数が 1 大きい弱デルペッツォ面になります。弱デルペッツォ面上の任意の点のブローアップは、その点が -2 曲線上になく、次数が 1 より大きい場合に限り、次数が 1 小さい弱デルペッツォ面になります。

弱いデルペッツォ面上の曲線は、自己交差数が少なくとも−2です。自己交差数が−2の曲線の数は最大で9− dであり、自己交差数が−1の曲線の数は有限です。

• この不思議な双対性は、デルペッツォ面の幾何学とM 理論に関連しています。
• コブル表面

• デル・ペッツォ、パスクアーレ（1885）、「n+1 次元の完璧な日常」、レンド。デラ R.デッレ・サイエンス・フィス。 Eマット。ディ・ナポリ
• デル・ペッツォ、パスクワーレ (1887)、「Sulle superficie dell'n ^mo ordine immerse nello spazio di n Dimensionsi」、パレルモのレンディコンティ・デル・チルコロ・マテマティコ、 1 ( 1): 241–271、doi :10.1007/BF03020097、S2CID  184479766
• ドルガチェフ、イゴール（2012）、古典代数幾何学。現代的な視点、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-01765-8、MR  2964027
• コラー、ヤーノシュ、スミス、カレン E.、コルティ、アレッシオ (2004)、有理多様体とほぼ有理多様体、ケンブリッジ高等数学研究、第 92 巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83207-6、MR  2062787
• Manin、Yuri Ivanovich (1986)、Cubic Forms、北オランダ数学図書館、vol. 4 (第 2 版)、アムステルダム: 北オランダ、ISBN 978-0-444-87823-6、MR  0833513
• 永田 正義(1960)、「有理曲面について。I. 数論的種数 0 または 1 の既約曲線」、京都理科大学理学部紀要 A 数学、32 : 351–370、MR  0126443
• センプル、JG; ロス、L. (1985)、代数幾何学入門、オックスフォードサイエンス出版、クラレンドンプレスオックスフォード大学出版局、MR  0814690