四次曲面

数学、特に代数幾何学において、四次曲面は 4次の方程式によって定義される曲面です。

より具体的には、アフィン四次曲面と射影四次曲面という2つの密接に関連したタイプがあります。アフィン四次曲面は、次の形式の方程式の解集合です。

${\displaystyle f(x,y,z)=0\ }$

ここで、f は⁠ ⁠${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+xyz+z^{2}-1}$のような 4 次多項式です。これはアフィン空間 A ³の面です。

一方、射影四次曲面は、同じ形式の射影空間 P ³の曲面ですが、 f は次数 4 の 4 変数の同次多項式であるため、たとえば⁠ ⁠${\displaystyle f(x,y,z,w)=x^{4}+y^{4}+xyzw+z^{2}w^{2}-w^{4}}$となります。

基底体が⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$または⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$の場合、曲面はそれぞれ実数または複素数であると言われます。実際には⁠ ⁠上の4 次曲線である代数リーマン面と⁠ ⁠上の 4 次曲面を区別するように注意する必要があります。たとえば、クラインの 4 次曲面は⁠ ⁠上の 4 次曲線として与えられた実曲面です。一方、基底体が有限である場合は、算術 4 次曲面であると言われます。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

• デュパン環化物
• フェルマーの 4 次式は、x ⁴ + y ⁴ + z ⁴ + w ⁴ =0 で表されます (K3 曲面の例)。
• より一般的には、特定のK3 曲面は4 次曲面の例です。
• クンマー表面
• プルッカー表面
• ウェドル面

• 2次曲面（2つの2次曲面の和は4次曲面の特殊なケースです）
• 3次曲面（3次曲面と平面の結合は、別の特殊な4次曲面のタイプです）

• ハドソン、RWHT (1990)、クンマーの四次曲面、ケンブリッジ数学図書館、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-39790-2、MR  1097176
• ジェソップ、CM（1916）、特異点を持つ四次曲面、コーネル大学図書館、ISBN 978-1-4297-0393-2