リッチ平坦多様体

微分幾何学の数学の分野において、リッチ平坦性はリーマン多様体の曲率に関する条件である。リッチ平坦多様体はアインシュタイン多様体の特別な種類である。理論物理学において、リッチ平坦ローレンツ多様体は、宇宙定数がゼロである真空中のアインシュタインの場の方程式の解であるため、基本的な関心事である。

ローレンツ幾何学では、カール・シュヴァルツシルト、ロイ・カー、イヴォンヌ・ショケ＝ブリュアの研究から、数多くのリッチ平坦計量が知られている。リーマン幾何学では、シン・トン・ヤウによるカラビ予想の解決により、ケーラー多様体上の数多くのリッチ平坦計量が生み出された。

擬リーマン多様体は、そのリッチ曲率がゼロのときリッチ平坦であると言われる。^{[1]次元 2 を除いて、計量がリッチ平坦であるための必要条件は、その}アインシュタイン テンソルがゼロのときだけであることは、直接的に証明できる。 ^[2]リッチ平坦多様体は、アインシュタイン多様体の 3 つの特殊なタイプのうちの 1 つであり、スカラー曲率がゼロの特殊なケースとして生じる。

ワイル曲率テンソルの定義から、任意のリッチ平坦計量のワイル曲率はリーマン曲率テンソルに等しいことがすぐにわかります。トレースを取ると、逆も成り立つことが簡単にわかります。 これは、リッチ平坦性はリッチ分解の 2 つの非ワイル部分が消えることを特徴とするとも言えます。

ワイル曲率は 2 次元または 3 次元ではゼロになるため、これらの次元のすべてのリッチ平坦計量は平坦です。逆に、定義から、平坦計量はどれもリッチ平坦であることが自動的にわかります。平坦計量の研究は、通常、それ自体が独立したトピックと見なされます。そのため、リッチ平坦計量の研究は、次元 4 以上でのみ別個のトピックとなります。

上で述べたように、任意の平坦な計量はリッチ平坦です。しかし、完全な曲率がゼロでないリッチ平坦多様体を識別することは簡単ではありません。

1916 年、カール・シュヴァルツシルトは、曲率がゼロでないリッチ平坦ローレンツ多様体であるシュヴァルツシルト計量を発見しました。 ^[3]ロイ・カーは後に、シュヴァルツシルト計量を特別なケースとして含む 2 パラメータ族であるカー計量を発見しました。 ^{[4]これらの計量は完全に明示的であり、}ブラックホールの数学と物理学において基本的な関心事です。より一般的には、一般相対性理論では、リッチ平坦ローレンツ多様体は、宇宙定数がゼロであるアインシュタインの場の方程式の真空解を表します。^[5]

多くの擬リーマン多様体は、等質空間として構成される。しかし、これらの構成は、リッチ平坦な等質リーマン多様体は必ず平坦であるという意味において、リッチ平坦リーマン計量には直接役立たない。^{[6]しかし、}リー代数の明示的な構成と計算からわかるように、リッチ平坦だが平坦ではない等質（さらには対称）ローレンツ多様体が存在する。^[7]

1970年代にシン・トン・ヤウがカラビ予想を解決するまで、閉多様体上のすべてのリッチ平坦リーマン計量が平坦であるかどうかは知られていなかった。^{[8]彼の研究では、}偏微分方程式の手法を用いて、閉複素多様体上のケーラー計量の特殊なケースにおけるリッチ平坦計量の包括的な存在理論を確立した。彼の解析的手法により、計量は最も単純な場合でも非明示的である。このようなリーマン多様体はカラビ・ヤウ多様体と呼ばれることが多いが、この名前の使い方は著者によって若干異なる。^[9]

調和座標を基準にすると、リーマン計量のリッチ平坦性の条件は、楕円偏微分方程式のシステムとして解釈できる。標準的な楕円正則性の結果から、滑らかな多様体上の任意のリッチ平坦リーマン計量は、調和座標が適合する解析構造を定義し、計量の局所表現が実解析的であるという意味において解析的であるということは、直接的な帰結である。これは、アインシュタインのリーマン計量のより広い設定でも成り立つ。^[10]

同様に、調和座標を基準として、ローレンツ計量のリッチ平坦性は、双曲型偏微分方程式のシステムとして解釈できる。この観点から、イヴォンヌ・ショケ＝ブリュアは、リッチ平坦性条件の適切性を開発した。彼女は、1960年代にロバート・ジェロクと共同で決定的な結果に到達し、特定のリーマンデータによって特定のクラスの最大限に拡張されたリッチ平坦ローレンツ計量が規定され、構築される方法を確立した。これらは、最大大域的双曲型展開として知られている。一般相対論では、これは通常、アインシュタインの重力場の方程式の初期値定式化として解釈される。 ^[11]

リーマンとローレンツの場合のリッチ平坦性の研究はまったく異なります。これは、リーマン幾何学に典型的な測地線的に完全な計量と、ショケ＝ブリュアとジェロッシュの研究から生じる最大大域的双曲的展開との間の基本的な違いによってすでに示されています。さらに、リッチ平坦リーマン計量の解析性と対応する一意の継続は、有限の伝播速度と完全に局所化可能な現象を持つリッチ平坦ローレンツ計量とは根本的に異なる特徴を持っています。これは、ラプラス方程式と波動方程式の違いの非線形幾何学的類似物として見ることができます。

リッチ平坦ケーラー計量に対するヤウの存在定理は、与えられた閉複素多様体上にそのような計量が存在するための正確な位相条件を確立した。すなわち、正則接束の最初のチャーン類はゼロでなければならないということである。この条件の必要性は、チャーン・ヴェイユ理論によって以前から知られていた。

ケーラー幾何学を超えると、状況はそれほどよく理解されていない。任意のアインシュタイン・リーマン計量をサポートする4次元の閉じた有向多様体は、その位相データに対してヒッチン・ソープ不等式を満たさなければならない。非負リッチ曲率のリーマン多様体に関するよく知られた定理の特殊なケースとして、完全なリッチ平坦リーマン計量を持つ任意の多様体は以下を満たさなければならない：^[12]

• 多様体が閉じているときは常に、最初のベッチ数は次元以下である
• 多項式成長の基本群を持つ。

ミカエル・グロモフとブレイン・ローソンは、閉多様体の拡大可能性の概念を導入した。拡大可能な多様体のクラスは、ホモトピー同値、積の取り方、および任意の閉多様体との連結和に関して閉じている。このクラスのすべてのリッチ平坦リーマン多様体は平坦であり、これはチーガーとグロモルの分割定理の系である。^[13]

単連結ケーラー多様体上では、ケーラー計量がリッチ平坦であるための必要十分条件は、ホロノミー群が特殊ユニタリ群に含まれることである。一般ケーラー多様体上では、もし方向が成立するが、リッチ平坦ケーラー計量の制限されたホロノミー群のみが必然的に特殊ユニタリ群に含まれる。 ^[14]

ハイパーケーラー多様体は、ホロノミー群がシンプレクティック群に含まれるリーマン多様体である。リーマン多様体上のこの条件は、（大まかに言えば）すべて平行な複素構造の 2 次元球面の存在によっても特徴付けられる。これは特に、すべてのハイパーケーラー計量がケーラーであることを意味する。さらに、アンブローズ・シンガー定理により、すべてのそのような計量はリッチ平坦である。カラビ・ヤウ定理はこの文脈に特化しており、正則シンプレクティック構造を許容するコンパクトケーラー多様体上のハイパーケーラー計量の一般的な存在定理と一意性定理を与える。非コンパクト空間上のハイパーケーラー計量の例は、エウジェニオ・カラビによって以前に得られていた。同時期に発見された江口・ハンソン空間は、彼の構築の特別なケースである。^[15]

四元数ケーラー多様体は、ホロノミー群がリー群 Sp(n)·Sp(1)に含まれるリーマン多様体である。マルセル・ベルガーは、そのような計量は必ずアインシュタイン計量でなければならないことを示した。さらに、任意のリッチ平坦四元数ケーラー多様体は局所的に超ケーラーでなければならない、つまり制限ホロノミー群がシンプレクティック群に含まれる。^[16]

G ₂多様体またはSpin(7)多様体は、ホロノミー群がリー群Spin(7)またはG ₂に含まれるリーマン多様体です。アンブローズ・シンガーの定理は、そのような多様体はリッチ平坦であることを意味します。^[17]このタイプの閉多様体の存在は、1990 年代にドミニク・ジョイスによって確立されました。 ^[18]

マルセル・ベルガーは、上記の可能性によれば、単連結閉多様体上の既約リッチ平坦リーマン計量の既知の例はすべて特別なホロノミー群を持つとコメントした。これが未知の一般定理を示唆しているのか、単に既知の技術の限界を示唆しているのかは不明である。このため、ベルガーはリッチ平坦多様体を「極めて神秘的」とみなした。^[19]

メモ。

ソース。