アイソジェニー

数学、特に代数幾何学において、同型写像とは、全射であり有限核を持つ代数群（群多様体とも呼ばれる）の射である。

群がアーベル多様体である場合、有限ファイバーを持つ射影である基礎となる代数多様体の任意の射f  :  A  →  Bは、 f (1 _A ) = 1 _Bを条件として、自動的に同型になります。このような同型f は、 fが定義されている任意の体kに対して、AとBのk値点の群間の群準同型を提供します。

「同種」および「同質」という用語は、ギリシャ語の ισογενη-ς に由来し、「種類または性質が等しい」という意味です。「同種」という用語は、ヴェイユによって導入されました。それ以前は、「同型性」という用語が、現在同種と呼ばれているものに対してやや紛らわしく使用されていました。

f  :  A  →  B を2つの代数群間の同型写像とする。この写像は、それらの有理関数体間の引き戻し写像 f* : K(B) → K(A) を誘導する。写像 は 自明 で はないため、体埋め込みであり、K(A)の部分体である。拡張の次数は同型次数と呼ばれる。 ${\displaystyle \operatorname {im} f^{*}}$${\displaystyle K(A)/\operatorname {im} f^{*}}$

${\displaystyle \deg f:=[K(A):\operatorname {im} f^{*}]}$

度のプロパティ:

• 、が代数群の同型である場合、次のようになります。${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$${\displaystyle \deg(g\circ f)=\deg g\cdot \deg f}$
• もし、${\displaystyle char\;K\nmid \deg f}$${\displaystyle \deg f=|\ker \;f|}$

楕円曲線などのアーベル多様体の場合、この概念は次のように定式化することもできます。

E ₁とE _{2 を体}k上の同じ次元のアーベル多様体とします。E 1_とE 2_の間の同型は、多様体の稠密射f  :  E ₁  →  E ₂であり、基底点を保存します（つまり、f はE ₁上の恒等点をE ₂上の恒等点に写像します）。

これは上記の概念と同等で、同じ次元の 2 つのアーベル多様体間のすべての稠密射は有限ファイバーを持つ射影になり、恒等式が保存される場合は群の準同型になります。

2 つのアーベル多様体E ₁とE ₂は、同型E ₁  →  E ₂が存在する場合、同型と呼ばれます。これは同値関係として示すことができます。楕円曲線の場合、対称性は双対同型の存在によります。上記のように、すべての同型は、アーベル多様体の k 値点の群の準同型を誘導します。

• 同型までのアーベル多様体
• セルマーグループ

• ラング、セルジュ(1983)。アーベル多様体。シュプリンガー出版。ISBN 3-540-90875-7。
• マンフォード、デイヴィッド（1974）。アーベル多様体。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-560528-4。