ヘッセン構成

幾何学において、ヘッセ配置は、直線ごとに3つの点があり、各点を通る直線が4本ある、9点と12直線の配置である。複素射影平面では楕円曲線の変曲点の集合として実現できるが、ユークリッド平面では実現できない。コリン・マクローリンによって導入され、ヘッセ（1844）によって研究された^{[1]。また、}ヤングの幾何学^[2]としても知られており、ジョン・ウェスリー・ヤングの有限幾何学に関する後年の業績にちなんで名付けられた。^[3]^[4]

説明

ヘッセ配置は、 3 元体上のアフィン平面の直線および点と同じ接続関係を持ちます。つまり、ヘッセ配置の点は3 を法とする数の順序付きペアと同一視でき、配置の直線はそれに対応して、線形方程式 $ax$ $+$ $by$ $=$ $c$ $(mod 3)を満たす 3 つの点$ $($ $x$ $、$ $y$ $)$ と同一視できます。あるいは、配置の点は三目並べのマス目で同一視でき、直線は盤の直線および破線対角線で同一視できます。

各点は 4 本の線に属します。配置の tic tac toe 解釈では、1 本の線は水平、1 本の線は垂直、2 本の線は対角線または破線対角線です。各線には 3 つの点が含まれます。配置の言語では、ヘッセ配置は 9 ₄ 12 ₃と表記されます。これは、9 つの点、点あたり 4 本の線、12 本の線、線あたり 3 つの点があることを意味します。

ヘッセ配置には 216 個の対称性があります (その自己同型群の位数は 216 です)。その対称性の群はヘッセ群として知られています。

実現可能性

ヘッセ配置は、楕円曲線の 9つの変曲点と、変曲点の3つ組を通る12本の直線として複素射影平面上で実現できる。 ^[3]複素平面上の9つの点の集合が楕円曲線Cの変曲点の集合である場合、それはCとCのヘッセ曲線によって生成される曲線束内のすべての曲線の変曲点の集合、すなわちヘッセ束でもある。 [ 8 ^]

ヘッセ多面体は、ヘッセ配置を複素平面で表現したものです。

ヘッセ配置は、ユークリッド平面上の点や直線では実現できないが、複素実現を持つという性質をメビウス-カントール配置と共有している。ヘッセ配置では、すべての2点は配置の直線で結ばれ（シルベスター-ガライ配置の定義的性質）、したがって、その2つの点を通るすべての直線には3番目の点が含まれる。しかしユークリッド平面では、すべての有限の点集合は同一線上にあるか、その直線が集合の他の点を含まない2つの点を含む。これがシルベスター-ガライの定理である。ヘッセ配置はシルベスター-ガライの定理に従わないため、ユークリッド実現を持たない。この例は、シルベスター-ガライの定理を複素射影平面に一般化できないことも示している。しかし、複素空間では、ヘッセ配置とすべてのシルベスター-ガライ配置は2次元平坦部分空間内に存在する必要がある。^[9]

参考文献

^ Hesse, O. (1844)、「Über die Elimination der Variabeln aus drei algebraischen Gleichungen vom zweiten Grade mit zwei Variabeln」(PDF)、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、28 : 68–96、doi : 10.1515/crll.1844.28.68、ISSN 0075-4102。
^ ウォレス、エドワード C.; ウェスト、スティーブン F. (2015)、Roads to Geometry (第 3 版)、Waveland Press、pp. 23–24、ISBN 9781478632047
^ ab MacNeish, HF (1942)、「4つの有限幾何学」、アメリカ数学月刊誌、49 : 15–23、doi :10.2307/2303772、MR 0005625
^ ヴェブレン、オズワルド、ヤング、ジョン・ウェスレー（1910）、射影幾何学、第1巻、ギン・アンド・カンパニー、p. 249
^ Dolgachev, Igor V. (2004)、「代数幾何学における抽象構成」、The Fano Conference、トリノ大学、トリノ、pp. 423–462 、arXiv : math.AG/0304258、MR 2112585。
^ ab Coxeter, HSM (1950)、「自己双対構成と正則グラフ」、アメリカ数学会誌、56 (5): 413–455、doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5。
^ ab Cullinane, Steven H. (2011)、構成と正方形。
^ アルテバニ、ミケーラ; Dolgachev、Igor (2009)、「平面 3 次曲線のヘッセ鉛筆」、L'Enseignement Mathématique、2e Série、55 (3): 235–273、arXiv : math/0611590、doi :10.4171/lem/55-3- 3、MR 2583779。
^ Elkies, Noam ; Pretorius, Lou M.; Swanepoel, Konrad J. (2006)、「複素数と四元数に対するシルベスター・ガライ定理」、離散および計算幾何学、35 (3): 361–373、arXiv : math/0403023、doi :10.1007/s00454-005-1226-7、MR 2202107。

[1] Hesse, O. (1844)、「Über die Elimination der Variabeln aus drei algebraischen Gleichungen vom zweiten Grade mit zwei Variabeln」(PDF)、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、28 : 68–96、doi : 10.1515/crll.1844.28.68、ISSN 0075-4102。

[2] ウォレス、エドワード C.; ウェスト、スティーブン F. (2015)、Roads to Geometry (第 3 版)、Waveland Press、pp. 23–24、ISBN 9781478632047

[macneish-3] MacNeish, HF (1942)、「4つの有限幾何学」、アメリカ数学月刊誌、49 : 15–23、doi :10.2307/2303772、MR 0005625

[4] ヴェブレン、オズワルド、ヤング、ジョン・ウェスレー（1910）、射影幾何学、第1巻、ギン・アンド・カンパニー、p. 249

[5] Dolgachev, Igor V. (2004)、「代数幾何学における抽象構成」、The Fano Conference、トリノ大学、トリノ、pp. 423–462 、arXiv : math.AG/0304258、MR 2112585。

[cox50-6] Coxeter, HSM (1950)、「自己双対構成と正則グラフ」、アメリカ数学会誌、56 (5): 413–455、doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5。

[cullinane-7] Cullinane, Steven H. (2011)、構成と正方形。

[8] アルテバニ、ミケーラ; Dolgachev、Igor (2009)、「平面 3 次曲線のヘッセ鉛筆」、L'Enseignement Mathématique、2e Série、55 (3): 235–273、arXiv : math/0611590、doi :10.4171/lem/55-3- 3、MR 2583779。

[9] Elkies, Noam ; Pretorius, Lou M.; Swanepoel, Konrad J. (2006)、「複素数と四元数に対するシルベスター・ガライ定理」、離散および計算幾何学、35 (3): 361–373、arXiv : math/0403023、doi :10.1007/s00454-005-1226-7、MR 2202107。

説明

関連構成

実現可能性

参考文献