特性（代数）

数学において、環Rの特性（しばしばchar( R )と表記される）は、環の乗法単位元（1 ）のコピーのうち、その合計が加法単位元（0 ）となる最小の正の数として定義される。そのような数が存在しないとき、環は特性 0 を持つと言われる。

つまり、char( R )は、次の式を満たす最小の正の数nである。^{[1] (p 198, Thm. 23.14)}

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ 加数}}}=0}$

そのような数nが存在する場合は 1、そうでない場合は0 です。

特性ゼロの特別な定義は、次のセクションで特徴付けられる同等の定義によって動機付けられており、特性ゼロを個別に考慮する必要はありません。

特性は環の加法群の指数、すなわち最小の正の整数nとみなすこともできる: ^{[1] (p 198, 定義23.12)}

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0}$

環のすべての元aに対して (ここでもn が存在する場合、そうでない場合は 0)。この定義は、より一般的なrngのクラスに適用されます(環 (数学) § 乗法的単位元と用語「環」を参照)。(単位) 環の場合、分配法則により 2 つの定義は同等です。

• 環Rの特性とは、 n がからRへの唯一の環準同型の核となるような自然数 nのことである。^[a]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 特性は自然数 nであり、Rは因子環と同型な部分環 を含み、これは上記の準同型の像である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• 非負整数{0, 1, 2, 3, ...} を割り切れる数で部分的に順序付けると、1が最小で、0 が最大になります。この場合、環の特性は、n ⋅ 1 = 0となるnの最小値です。この順序付けで0より「小さい」ものがない場合は、特性は 0です。char ( A × B )はchar Aとchar Bの最小公倍数であり、char B がchar A を割り切れない限り環準同型f  : A → B は存在しない、などの事実から、これは適切な半順序付けです。
• 環Rの特性がnであるとは、すべてのa ∈ Rに対してka = 0 という命題が、 kがnの倍数であることを意味する場合とまったく同じです。

RとS が環であり、環準同型 R → Sが存在する場合、 Sの標数はRの標数を割り切る。これは、特定の環準同型の可能性を排除するために使用できる場合がある。標数1を持つ環は零環のみであり、零環には0 という単一の元しかない。非自明な環R に非自明な零因子がない場合、その標数は0または素数である。特に、これはすべての体、すべての整域、すべての分環に当てはまる。標数0の環はいずれも無限である。

nを法とする整数環は特性nを持ちます。R がSの部分環である場合、RとS は同じ特性を持ちます。 たとえば、pが素数で、q ( X ) がp個の元を持つ体 の係数を持つ既約多項式である場合、商環は特性pの体です。 別の例:複素数体にはが含まれるため、 の特性は0です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

-代数は、特性がn を割り切る環と同値です。これは、すべての環Rに対して環準同型 が存在し、この写像が因数分解できるのは、 Rの特性がn を割り切る場合のみであるためです。この場合、環内の任意のrに対して、 r をそれ自身にn回加算すると、 nr = 0になります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

可換環R が素特性 p を持つ場合、Rのすべての元xとyに対して( x + y ) ^p = x ^p + y ^pが成り立ちます。これは、通常は正しくない「新入生の夢」がp乗に対して成立することを意味します。この場合、写像x ↦ x ^{p は}環準同型R → Rを定義します。これはフロベニウス準同型と呼ばれます。 R が整域である場合、それは単射です。

前述のように、任意の体の特性は0または素数です。特性が 0 でない体は、有限特性体、正特性体、または素特性体と呼ばれます。特性指数も同様に定義されますが、特性が0のときは1に等しくなります。それ以外の場合は特性と同じ値になります。^[2]

任意の体Fには、その体Fの最小部分体とも呼ばれる、唯一の部分体が存在する。素体。この部分体は、有理数体または素数位数の有限体のいずれかに同型です。同じ特性を持つ 2 つの素体は同型であり、この同型性は一意です。言い換えると、各特性には本質的に一意の素体が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

最も一般的な特性ゼロの体は、複素数の部分体です。p 進体は、数論で広く使用されている特性ゼロの体です。それらの絶対値は、複素数の絶対値とは非常に異なります。

有理数体や実数体などの任意の順序体では、特性は0です。したがって、すべての代数体と複素数体は特性 0 です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

有限体 GF( pn )は特性pを^持ちます。

素特性を持つ無限体が存在する。例えば、上のすべての有理関数の体、の代数閉包、または形式ローラン級数の体などである。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))}$

素数特性pの任意の有限環のサイズはpのべき乗です。その場合、環はp を含むため、環もその体上のベクトル空間であり、線型代数から有限体上の有限ベクトル空間のサイズは体のサイズのべき乗であることがわかっています。これはまた、任意の有限ベクトル空間のサイズが素数べき乗であることを示しています。^[b]${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

ウィキブック「離散数学」には、有限体に関するページがあります。