ワイエルシュトラスの楕円関数

数学において、ワイエルシュトラスの楕円関数は、特に単純な形をとる楕円関数です。カール・ワイエルシュトラスにちなんで名付けられました。このクラスの関数は℘ 関数とも呼ばれ、通常は記号 ℘ (独特の特殊文字 p )で表されます。楕円関数、つまり二重周期の有理型関数の理論において重要な役割を果たします。 ℘ 関数とその導関数は、楕円曲線をパラメーター化するために使用でき、与えられた周期格子に関して楕円関数の体を生成します。

ワイエルシュトラス関数 の記号${\displaystyle \wp}$

の形の3次方程式（ここでは の複素数）は、有理的にパラメータ化することはできません。^[1]しかし、それでもパラメータ化する方法を見つけたいと考える人がいます。 ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

二次関数 、つまり単位円の場合、正弦関数とその導関数である余弦関数を使用した (非有理的な) パラメータ化が存在します。 正弦と余弦の周期性のため、定義域として選択されるため、関数は一対一になります。 ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).}$$${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

同様の方法で、二重周期関数を用いてのパラメータ化を得ることができます（「楕円曲線との関係」のセクションを参照）。このパラメータ化はドメイン を持ち、これは位相的にはトーラスと同等です。^[2]${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \wp}$${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

三角関数にはもう一つ類似点があります。積分関数を考えてみましょう 。これはと を代入することで簡略化できます。 つまり です。したがって、正弦関数は積分関数の逆関数です。^[3]$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}}$$${\displaystyle y=\sin t}$${\displaystyle s=\arcsinx}$$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$

楕円関数は楕円積分の逆関数である。特に、次のようにする。 このとき、 の複素平面へ の拡張は-関数に等しい。^[4]この可逆性は複素解析において、パンルヴェ性質を満たす特定の非線形微分方程式、すなわち、極を唯一の可動特異点として認める方程式の解を求めるのに用いられる。^[5]$${\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty}{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$${\displaystyle u^{-1}}$${\displaystyle \wp}$

を 2 つの複素数とし、これらがに対して線形独立であるとします。また、をそれらの数によって生成される周期格子とします。このとき、 -関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \wp}$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

この級数は複素トーラス内で局所的に絶対的に一様収束します。 ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

上半平面でと を格子の生成元として使用するのが一般的です。 を で割ると、を持つ格子 に同型に写像されます。はの代わりに使用できるため、一般性を失うことなく を仮定して を定義できます。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$${\textstyle \omega _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$${\displaystyle -\tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$

• ${\displaystyle \wp }$は、各周期に 2 次極を持つ有理型関数です。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle \wp }$は偶関数です。これはすべての に対して であることを意味し、次のように表すことができます。${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

最後から2番目の等式は、 であるため成り立ちます。 和は絶対収束するので、この並べ替えによって極限は変わりません。${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• の導関数は次のように与えられる: ^[6]${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$および は、周期 およびと二重に周期的である。^[6]これは次を意味する。すべての に対しておよびが成り立つ。${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$$${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

とする。すると、関数に対して次のローラン展開が成り立つ。 ただし 、 に対してはアイゼンシュタイン級数と呼ばれる。^[6]${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$${\displaystyle 0<|z|<r}$${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$$${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$${\displaystyle n\geq 3}$

と を設定します。すると、関数は微分方程式^[6]を満たします。この関係は、とのべき乗の線形結合を形成してにおける極を消去すること で検証できます。これにより、リウヴィルの定理により定数となる楕円関数が得られます。^[6]${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle z=0}$

上記の微分方程式g ₂とg _{3の係数は}不変量として知られています。これらは格子に依存するため、およびの関数として見ることができます。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

級数展開はg2とg3が次数−4と−6の同次関数であることを示唆して_いる。これは_[ 7 ]で^示される。 $${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$ $${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$${\displaystyle \lambda \neq 0}$

および が となるように選択される場合、g ₂およびg _{3 は}上半平面上の関数として解釈できます。 ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

とする。次式が得られる。^{[8]これは、} g ₂とg _{3 が}これを行うことによってのみスケールされること を意味する。集合および の As 関数は、いわゆるモジュラー形式である。${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ $${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$ $${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$$${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$

およびのフーリエ級数は次のように与えられる: ^[9] ここで は 除数関数 であり、 は名詞である。 ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$ $${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$ $${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle \sigma _{m}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{m}}$$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

モジュラー判別式Δは、次のように 微分方程式の特性多項式の判別式として定義される。 判別式は重み12のモジュラー形式である。つまり、モジュラー群の作用により、次のように変換される。 ここで、 ad  −  bc = 1である 。 ^[10]$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$$${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$

ここで、はデデキントのイータ関数である。^[11]${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$${\displaystyle \eta }$

のフーリエ係数については、ラマヌジャンのタウ関数を参照してください。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle e_{1}}$であり、通常は半周期における関数 の値を表すのに用いられる。 これらは対ごとに異なっており、格子のみに依存し、格子の生成元には依存しない。^[12]${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$、およびは3次多項式の根であり、次の式で関係付けられます。 これらの根は異なるため、判別式は上半平面上では消えません。^[13]ここで、微分方程式を書き直すことができます。 つまり、半周期は のゼロです。 ${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$$${\displaystyle \Delta }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).}$$${\displaystyle \wp '}$

不変量とは次の方法でこれらの定数を用いて表現できる: ^[14]、およびはモジュラーラムダ関数と関連している: ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$ $${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$$ $${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$$ ${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$$

数値計算では、ワイエルシュトラスの楕円関数をヤコビの楕円関数で計算すると便利な場合がよくあります。

基本的な関係は^[15] であり、は上で述べた3つの根 であり、ヤコビ関数の 係数kはに等しく 、その偏角wは $${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$${\displaystyle e_{1},e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$$${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$$${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

この関数はヤコビのシータ関数で表すことができます。 ここでは名詞、は周期比です。^[16]これは を計算するための非常に高速なアルゴリズムも提供します。 ${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$$${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$${\displaystyle \wp (z,\tau )}$

3次曲線を複素射影平面に埋め込むことを考える

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \{\infty \}=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

この3次曲線には、有理数パラメータ化は存在しない。^{[1]この場合、楕円曲線とも呼ばれる。しかし、}同次座標では、関数とその導関数を使用するパラメータ化が存在する。^[17]${\displaystyle \Delta \neq 0}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

これで、マップは全単射となり、楕円曲線をパラメータ化します。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$はアーベル群であり、商位相を備えた位相空間です。

あらゆるワイエルシュトラス立方体はこのように与えられることが示せます。つまり、を持つあらゆるペアに対して、次のような 格子 が存在するということです。${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$そして[ ^18]${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

上の楕円曲線は上でパラメータ化できるという主張は、モジュラリティ定理として知られています。これは数論における重要な定理です。これは、アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明 (1995 年)の一部でした。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

とすると、 となる。すると次が得られる。^[19]${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$ $${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}$$

複製式も同様である: ^[19] $${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}$$

前のセクションのように 楕円曲線をマッピングと一緒に見ると、これらの式には幾何学的な解釈もあります。${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

のグループ構造は曲線に変換され、そこで幾何学的に解釈できます。 ${\displaystyle (\mathbb {C} /\Lambda ,+)}$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

３つの異なる点の和がゼロとなるのは、それらが同じ直線上にある場合のみである。^[20]${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

これは次と同等である： ここで、、および。^[21]$${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0,}$$${\displaystyle \wp (u)=a}$${\displaystyle \wp (v)=b}$${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$

ワイエルシュトラスの楕円関数は、通常、特殊な小文字の文字 ℘ で表記されます。これは、ワイエルシュトラスが 1862 年から 1863 年の講義で導入した独自の表記法です。^{[脚注 1]}これを通常の数学用文字 P、𝒫、𝓅 と混同しないでください。

コンピューターでは、文字 ℘ はTeX\wpと同様に使用できます。Unicode では、コード ポイントはU+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P ( ℘, ℘ ) で、より正確な別名はweierstrass 楕円関数です。^{[脚注 2]} HTMLでは、 のようにエスケープできます。 ℘

• ワイエルシュトラス関数
• ヤコビ楕円関数
• レムニスケート楕円関数

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステグン、アイリーン・アン編 (1983) [1964 年 6 月]。「第 18 章」。数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック。応用数学シリーズ。第 55 巻 (第 10 刷の訂正を加えた第 9 刷 (1972 年 12 月)、初版)。ワシントン DC、ニューヨーク: 米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。p. 627。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN 64-60036。MR 0167642。LCCN  65-12253 。 ​ ​
• NI Akhiezer著『楕円関数理論の要素』(1970年) モスクワ、英訳『AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79』(1990年) AMS、ロードアイランドISBN 0-8218-4532-2 
• Tom M. Apostol 著『Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory』第 2 版(1990 年)、Springer、ニューヨークISBN 0-387-97127-0 (第 1 章を参照) 
• K. チャンドラセカラン『楕円関数』（1980 年）、シュプリンガー・フェアラークISBN 0-387-15295-4 
• コンラッド・クノップ、『関数理論 II』（1947 年）、ドーバー出版。英語訳で『関数理論』（1996 年）として再出版、ドーバー出版ISBN 0-486-69219-1 
• セルジュ・ラング『楕円関数』（1973年）、アディソン・ウェスレー、ISBN 0-201-04162-6 
• ET WhittakerとGN Watson著『現代分析論』、ケンブリッジ大学 出版局、1952 年、第 20 章と第 21 章

ウィキメディア・コモンズには、ワイエルシュトラスの楕円関数に関連するメディアがあります。

• 「ワイエルシュトラスの楕円関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Mathworld における Weierstrass の楕円関数。
• WP Reinhardt と PL Walker 著「DLMF (数学関数のデジタル ライブラリ)」の第 23 章「ワイエルシュトラスの楕円関数とモジュラー関数」 。
• David Dumas が C 言語で実装した Weierstrass P 関数とその導関数