楕円曲線のねじれ

代数幾何学の数学分野 では、体K 上の楕円曲線E には、関連する二次ツイスト、すなわちK の代数閉包上の E と同型な別の楕円曲線が存在します。特に、楕円曲線間の同型写像は次数 1 の同種写像、すなわち可逆な同種写像です。曲線によっては、三次ツイストや四次ツイストなどの高次のツイストを持つものもあります。曲線とそのツイストは同じj-不変量を持ちます。

ツイストの応用例としては、暗号^{[ 1 ]} 、ディオファントス方程式の解法[ ^{2 ] [ 3 ]} 、そして超楕円曲線に一般化された佐藤-テイト予想の研究^{[ 4 ]など}がある。

まず、${\displaystyle K}$は、標数が2と異なる体である。${\displaystyle E}$上の楕円曲線である${\displaystyle K}$以下の形式：

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,}$

与えられた$d≠0$正方形ではない${\displaystyle K}$二次ツイスト${\displaystyle E}$曲線は${\displaystyle E^{d}}$式で定義される。

${\displaystyle dy^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,}$

または同等に

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+da_{2}x^{2}+d^{2}a_{4}x+d^{3}a_{6}.\,}$

2つの楕円曲線${\displaystyle E}$そして${\displaystyle E^{d}}$同型ではない${\displaystyle K}$むしろフィールド拡張上で${\displaystyle K({\sqrt {d}})}$定性的に言えば、曲線の算術と二次ねじれは、現場では大きく異なって見えることがある。${\displaystyle K}$一方、曲線の複素解析は同じであるため、ねじれによって関連付けられた曲線の族は、楕円曲線の算術的性質を研究する上で有用な設定となる。 ^{[ 5 ]}

ベースフィールドがツイストを定義することもできます${\displaystyle K}$特性は2である。${\displaystyle E}$上の楕円曲線である${\displaystyle K}$以下の形式：

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,}$

与えられた${\displaystyle d\in K}$そのため${\displaystyle X^{2}+X+d}$は、上の既約多項式である。${\displaystyle K}$二次ツイスト${\displaystyle E}$曲線は${\displaystyle E^{d}}$式で定義される。

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+(a_{2}+da_{1}^{2})x^{2}+a_{4}x+a_{6}+da_{3}^{2}.\,}$

2つの楕円曲線${\displaystyle E}$そして${\displaystyle E^{d}}$同型ではない${\displaystyle K}$しかし、フィールド拡張では${\displaystyle K[X]/(X^{2}+X+d)}$。

j不変量が1728の楕円曲線は、4次指標によって「ねじる」ことが可能です。^{[ 6 ]}曲線のねじり${\displaystyle E}$4次ツイストにより、正確に4つの曲線が得られます。1つは${\displaystyle E}$そのうちの1つは二次ねじれであり、残りの2つだけが真に新しいものです。この場合も、ねじれ曲線はねじれ次数によって与えられる体拡大上で同型です。

4次ツイストの場合と同様に、${\displaystyle K}$j不変量がゼロである曲線は、3次指標によってねじることができる。得られた曲線は、ねじれ次数で与えられる体拡張上で、元の曲線と同型である。

ねじれは他の滑らかな射影曲線にも定義できます。${\displaystyle K}$分野であり、${\displaystyle C}$その体上の曲線、すなわち、次元1の射影多様体である。${\displaystyle K}$それは還元不可能で幾何学的に繋がっている。そしてひねりが加わる。${\displaystyle C'}$の${\displaystyle C}$は、存在する別の滑らかな射影曲線である。${\displaystyle {\bar {K}}}$-同型性${\displaystyle C'}$そして${\displaystyle C}$、その分野${\displaystyle {\bar {K}}}$は代数的閉包である${\displaystyle K}$[ ^{4 ]​}

• ねじれたヘシアン曲線
• ねじれたエドワーズ曲線
• ねじれた三重化方向のドシェ・イカール・コーヘル曲線

• P. スティーブンハーゲン (2008)。楕円曲線(PDF)。ライデン大学。
• C.L. Stewart および J. Top (1995 年 10 月) 「楕円曲線のねじれのランクと二進形式のべき乗のない値について」 . Journal of the American Mathematical Society . 8 (4): 943–973 . doi : 10.1090/S0894-0347-1995-1290234-5 . JSTOR 2152834 .