係数を等しくする

数学において、係数を等しくする方法は、多項式などの2つの式からなる関数方程式を、 複数の未知パラメータについて解く方法の一つです。この方法は、2つの式が同一であるのは、各項の種類ごとに対応する係数が等しい場合に限られるという事実に基づいています。この方法は、数式を目的の形に整えるために用いられます。

式に部分分数分解を適用したいとします。

${\displaystyle {\frac {1}{x(x-1)(x-2)}},\,}$

つまり、私たちはそれを次の形式にしたいのです。

${\displaystyle {\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-2}},\,}$

ここで、未知のパラメータはA、B、Cです。これらの式にx ( x − 1)( x − 2 ) を掛けると、両方とも多項式になり、それらを等式で結びます。    

${\displaystyle A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)=1,\,}$

または、展開してxの同じべき乗の項をまとめると次のようになります。

${\displaystyle (A+B+C)x^{2}-(3A+2B+C)x+2A=1.\,}$

この時点で、多項式 1 は実際には多項式 0 x ²  +  0 x  + 1 と等しく、 x の正のべき乗の係数はゼロであることを理解することが不可欠です。対応する係数を等しくすると、次の連立一次方程式が得られます。

${\displaystyle A+B+C=0,\,}$

${\displaystyle 3A+2B+C=0,\,}$

${\displaystyle 2A=1.\,}$

これを解くと、次のようになります。

${\displaystyle A={\frac {1}{2}},\,B=-1,\,C={\frac {1}{2}}.\,}$

入れ子になった根号を解こうとする場合、同類項の係数ではなく同類項同士を等しくするという同様の問題が生じる。${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}}$平方根を含む式の平方根を含まない同等の式を得るために、次のような有理パラメータd、eの存在を仮定することができる。

${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}+{\sqrt {e}}.}$

この方程式の両辺を二乗すると、次の式が得られます。

${\displaystyle a+b{\sqrt {c}}=d+e+2{\sqrt {de}}.}$

dとeを求めるには、平方根を含まない項を等しくします。${\displaystyle a=d+e,}$そして、根号を含む部分を等しくすると、${\displaystyle b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}}$二乗すると${\displaystyle b^{2}c=4de.}$これにより、目的のパラメータdとeに関する 2 つの方程式 (1 つは二次方程式、もう 1 つは一次方程式) が得られ、これらを解くことで次の式が得られます。

${\displaystyle e={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},}$

${\displaystyle d={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},}$

これは、以下の場合に限り有効な解のペアです。${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}$は有理数である。

次のような過剰決定方程式系を考えてみましょう（未知数が2つしかないのに、方程式が3つあります）。

${\displaystyle x-2y+1=0,}$

${\displaystyle 3x+5y-8=0,}$

${\displaystyle 4x+3y-7=0.}$

3番目の式が最初の2つの式に線形依存しているかどうかを検証するために、 aとbという2つのパラメータを仮定します。aに最初の式を掛けたものとbに2番目の式を掛けたものを足すと、3番目の式に等しくなります。これは常に右辺（すべて0）に対して成り立つので、左辺に対しても成り立つようにすればよいのです。

${\displaystyle a(x-2y+1)+b(3x+5y-8)=4x+3y-7.}$

両辺のxの係数を等しくし、両辺のyの係数を等しくし、両辺の定数を等しくすると、目的のパラメータa、bに関して次のシステムが得られます。

${\displaystyle a+3b=4,}$

${\displaystyle -2a+5b=3,}$

${\displaystyle a-8b=-7.}$

これを解くと次のようになります。

${\displaystyle a=1,\ b=1}$

最初の 2 つの式を満たす一意の値のペアa、bは ( a、b ) = (1、1) です。これらの値は 3 番目の式も満たすため、実際には、最初の式のa倍と、2 番目の式のb倍を足したものが、3 番目の式に等しくなるようなa、bが存在します。したがって、3 番目の式は最初の 2 つの式に線形依存していると結論付けられます。

元の第 3 式の定数項が -7 以外であった場合、パラメータ内の最初の 2 つの式を満たす値 ( a , b ) = (1, 1) は第 3 式の ( a – 8 b = 定数 )を満たさないため、パラメータ内の 3 つの式すべてを満たすa、b は存在せず、したがって元の第 3 式の方程式は最初の 2 つの式とは独立していることに注意してください。

係数を等しくする方法は、複素数を扱う際によく用いられます。例えば、複素数a + biを複素数c + diで割る場合、その比が複素数e + fiに等しいと仮定し、この条件を満たすパラメータeとfの値を求めます。

${\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}=e+fi,}$

両辺に分母を掛けると、

${\displaystyle (ce-fd)+(ed+cf)i=a+bi.}$

実数項を等しくすると

${\displaystyle ce-fd=a,}$

そして虚数単位iの係数を等しくすると、

${\displaystyle ed+cf=b.}$

これらは未知のパラメータeとfに関する 2 つの方程式であり、これらを解くことで商の係数を求めることができます。

${\displaystyle e={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\quad \quad {\text{および}}\quad \quad f={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.}$

• タントン、ジェームズ（ 2005）。数学百科事典。Facts on File。p. 162。ISBN  0-8160-5124-0。