畳み込み

数学（特に関数解析）において、畳み込みとは、 2 つの関数（および）に対して 3 つ目の関数（）を生成する数学的演算です。畳み込みという用語は、結果の関数とそれを計算するプロセスの両方を指します。畳み込みは、 2 つの関数の 1 つを y 軸を中心に反転させてシフトした後の積の積分として定義されます。積分はシフトのすべての値に対して評価され、畳み込み関数が生成されます。積分の前にどの関数を反転させてシフトするかを選択しても、積分の結果は変わりません（可換性を参照）。図式的には、1 つの関数の「形状」が他の関数によってどのように変更されるかを表します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f*g}$

畳み込みのいくつかの特徴は相互相関と似ています。連続変数または離散変数の実数値関数の場合、畳み込み( )${\displaystyle f*g}$は、またはが畳み込みで y 軸を中心に反射されるという点のみが相互相関 ( ) と異なります。つまり、これはと、またはとの相互相関です。^[A] 複素数値関数の場合、相互相関演算子は畳み込み演算子の 随伴演算子です。${\displaystyle f\star g}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(-x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(-x)}$${\displaystyle g(x)}$

畳み込みは、確率、統計、音響、分光法、信号処理、画像処理、地球物理学、工学、物理学、コンピュータービジョン、微分方程式などの分野で応用されています。^[1]

畳み込みは、ユークリッド空間やその他の群（代数構造として）上の関数に対して定義できます。^[要出典]たとえば、離散時間フーリエ変換などの周期関数は、円上で定義し、周期畳み込みによって畳み込むことができます。（DTFT § プロパティの行 18 を参照してください。）離散畳み込みは、整数の集合上の関数に対して定義できます。

畳み込みの一般化は、数値解析や数値線形代数の分野、信号処理における有限インパルス応答フィルタの設計と実装に応用されています。 ^[要出典]

畳み込み演算の逆を計算することを、逆畳み込みと呼びます。

と の畳み込みはと書き、演算子は記号 で表されます。^[B]これは、2 つの関数の積を y 軸を中心に反転させてシフトした後の積分として定義されます。したがって、これは特別な種類の積分変換です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f*g}$${\displaystyle *}$

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .}$

同等の定義は次の通りです（可換性を参照）。

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau .}$

上記では 記号が使用されていますが、時間領域を表す必要はありません。各 において、畳み込み式は、量だけシフトされた関数 によって重み付けされた関数 の下の領域として記述できます。 が変化すると、重み関数は入力関数 のさまざまな部分を強調します。が正の値の場合、 は量だけ右方向 ( の方向) にスライドまたはシフトするに等しくなります。一方、が負の値の場合、 は量だけ左方向 ( の方向) にスライドまたはシフトするに等しくなります。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f(\tau )}$${\displaystyle g(-\tau )}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle g(t-\tau )}$${\displaystyle f(\tau )}$${\displaystyle t}$${\displaystyle g(t-\tau )}$${\displaystyle g(-\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle g(t-\tau )}$${\displaystyle g(-\tau )}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle |t|}$

関数 の場合、のみでサポートされます(つまり、負の引数の場合は 0)。積分限界は切り捨てられ、次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \quad \ {\text{for }}f,g:[0,\infty )\to \mathbb {R} .}$

畳み込みの多次元定式化については、定義領域(下記) を参照してください。

一般的な工学表記法は次の通りである: ^[2]

${\displaystyle f(t)*g(t)\mathrel {:=} \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } _{(f*g)(t)},}$

混乱を避けるためには注意深く解釈する必要がある。例えば、は と同等であるが、実際には と同等である。^[3]${\displaystyle f(t)*g(t-t_{0})}$${\displaystyle (f*g)(t-t_{0})}$${\displaystyle f(t-t_{0})*g(t-t_{0})}$${\displaystyle (f*g)(t-2t_{0})}$

2つの関数と両側ラプラス変換（両側ラプラス変換） が与えられます。${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u}$

そして

${\displaystyle G(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v}$

畳み込み演算はそれぞれと積の逆ラプラス変換として定義される。^{[4] [5]}より正確には、 ${\displaystyle (f*g)(t)}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s(u+v)}\ f(u)\ g(v)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}v\end{aligned}}}$

とすると、 ${\displaystyle t=u+v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\ f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u} _{(f*g)(t)}\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}(f*g)(t)\ {\text{d}}t.\end{aligned}}}$

は の両側ラプラス変換であることに注意してください。片側ラプラス変換を使用して同様の導出を行うことができます。 ${\displaystyle F(s)\cdot G(s)}$${\displaystyle (f*g)(t)}$

畳み込み演算は、線形時不変(LTI)と呼ばれる重要な演算クラスの出力 (入力に関して) も表します。LTI制約の結果としての畳み込みの導出については、LTI システム理論を参照してください。LTI 演算の入力と出力のフーリエ変換に関しては、新しい周波数成分は作成されません。既存のもの (振幅および/または位相) が変更されるだけです。言い換えると、出力変換は、入力変換と 3 番目の変換 (伝達関数と呼ばれる) の点ごとの積です。畳み込みのその特性の導出については、畳み込み定理を参照してください。逆に、畳み込みは、2 つのフーリエ変換の点ごとの積の逆フーリエ変換として導出できます。

畳み込み積分の最も初期の使用例の一つは、 1754年に出版された『世界のシステムの重要な点に関する研究』におけるダランベールのテイラーの定理の導出である^。[6]

また、次のような式もあります。

${\displaystyle \int f(u)\cdot g(x-u)\,du}$

シルヴェストル・フランソワ・ラクロワは、その著書『差分と級数に関する論文』の505ページでこの用語を使用しています。この論文は、百科事典シリーズ『微分積分法と積分法』全3巻の最終巻で、1797年から1800年にパリのクールシエで出版されました。^{[7]その後すぐに、}ピエール・シモン・ラプラス、ジャン＝バティスト・ジョセフ・フーリエ、シメオン・ドニ・ポアソンなどの著作に畳み込み演算が登場します。この用語自体は、1950年代または1960年代まで広く使用されませんでした。それ以前は、Faltung （ドイツ語で折りたたみを意味する）、合成積、重ね合わせ積分、カーソン積分などと呼ばれていました。^[8]しかし、この用語は1903年には早くも登場していますが、古い用法では定義があまり馴染みがありません。^{[9] [10]}

操作:

${\displaystyle \int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s)\,ds,\quad 0\leq t<\infty ,}$

は、 1913年にイタリアの数学者ヴィト・ヴォルテッラによって考えられた合成積の特殊なケースである。^[11]

関数が周期的で、周期の場合、関数 に対して、が存在すると、畳み込みも周期的になり、次と同一になります。 ${\displaystyle g_{T}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f*g_{T}}$

${\displaystyle (f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\tau +kT)\right]g_{T}(t-\tau )\,d\tau ,}$

ここで は任意の選択です。この和は関数 の周期和と呼ばれます。 ${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle f}$

が 別の関数 の周期的な和である場合、 はとの循環畳み込みとして知られています。${\displaystyle g_{T}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f*g_{T}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

また、上記の周期的な和を に置き換えた場合、この演算はとの周期的な畳み込みと呼ばれます。 ${\displaystyle f_{T}}$${\displaystyle f_{T}}$${\displaystyle g_{T}}$

整数の集合上で定義された複素数値関数とに対して、ととの離散畳み込みは次のように与えられる: ^[12]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]g[n-m],}$

または同等に（可換性を参照）次のようにも書けます。

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]g[m].}$

2 つの有限シーケンスの畳み込みは、シーケンスを整数の集合上の有限サポート関数に拡張することによって定義されます。シーケンスが 2 つの多項式の係数である場合、2 つの多項式の通常の積の係数は、元の 2 つのシーケンスの畳み込みです。これは、シーケンスの係数の コーシー積として知られています。

したがって、 gが集合内で有限のサポートを持つ場合（たとえば、有限のインパルス応答を表す）、有限の総和が使用される可能性がある：^[13]${\displaystyle \{-M,-M+1,\dots ,M-1,M\}}$

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[n-m]g[m].}$

関数が周期的である場合、周期 の関数に対してが存在すると、畳み込みも周期的になり、 と同一になります。${\displaystyle g_{_{N}}}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f*g_{_{N}}}$

${\displaystyle (f*g_{_{N}})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{_{N}}[n-m].}$

の和は関数の周期和と呼ばれる。${\displaystyle k}$${\displaystyle f.}$

が別の関数の周期的な和である場合、はおよびの循環畳み込みとして知られています。${\displaystyle g_{_{N}}}$${\displaystyle g,}$${\displaystyle f*g_{_{N}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$

と の両方の非ゼロの持続時間が 区間 に制限される場合、は次の一般的な形式に簡約されます。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle [0,N-1],}$  ${\displaystyle f*g_{_{N}}}$

巡回畳み込みの表記は、Nを法とする整数の巡回群上の畳み込みを表します。 ${\displaystyle f*_{N}g}$

循環畳み込みは、高速フーリエ変換(FFT) アルゴリズムを使用した高速畳み込みのコンテキストで最も頻繁に発生します。

多くの場合、離散畳み込みは循環畳み込みに変換できるため、畳み込み特性を持つ高速変換を使用して計算を実装できます。たとえば、数字シーケンスの畳み込みは、複数桁の数字の乗算における核となる演算であるため、変換技術を使用して効率的に実装できます (Knuth 1997、§4.3.3.C; von zur Gathen & Gerhard 2003、§8.2)。

式 1 では、出力値ごとにN 回の算術演算、 N 個の出力ごとにN ^{2 回の}演算が必要です。これは、いくつかの高速アルゴリズムのいずれかを使用すると大幅に削減できます。デジタル信号処理やその他のアプリケーションでは、通常、高速畳み込みアルゴリズムを使用して、畳み込みのコストを O( N log N )の複雑さに削減します。

最も一般的な高速畳み込みアルゴリズムは、円畳み込み定理を介して高速フーリエ変換(FFT) アルゴリズムを使用します。具体的には、 2 つの有限長シーケンスの円畳み込みは、各シーケンスの FFT を取得し、点ごとに乗算してから逆 FFT を実行することによって求められます。上で定義されたタイプの畳み込みは、ゼロ拡張や出力の一部破棄と組み合わせてその手法を使用することで効率的に実装されます。Schönhage –Strassen アルゴリズムやメルセンヌ変換などの他の高速畳み込みアルゴリズム^{[14]は、他の}リングで高速フーリエ変換を使用します。Winograd 法は、FFT の代替として使用されます。^{[15]これにより、1D、 [16]} 2D、^[17]および 3D ^[18]畳み込みが大幅に高速化されます。

一方のシーケンスが他方のシーケンスよりもはるかに長い場合、短いシーケンスのゼロ拡張と高速循環畳み込みは、利用可能な最も計算効率の高い方法ではありません。[ ^{19]代わりに、長いシーケンスをブロックに分解し、各ブロックを畳み込むと}、オーバーラップ保存法やオーバーラップ追加法などのより高速なアルゴリズムが可能になります。^{[20]ブロックアルゴリズムと}FIRアルゴリズムを組み合わせたハイブリッド畳み込み法では、リアルタイム畳み込み計算に役立つゼロ入出力遅延が可能になります。^[21]

R ^d上の 2 つの複素数値関数の畳み込みは、それ自体がR ^d上の複素数値関数であり、次のように定義されます。

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy,}$

そして、積分が存在するためにfとg が無限大で十分急速に減少する場合にのみ、畳み込みが明確に定義されます。無限大でのgの爆発はfの十分急速な減少によって簡単に相殺できるため、畳み込みの存在条件は難しい場合があります。したがって、存在の問題にはfとgに関するさまざまな条件が関係する可能性があります。

fとg がコンパクトにサポートされている 連続関数である場合、それらの畳み込みが存在し、もコンパクトにサポートされている連続です (Hörmander 1983、第 1 章)。より一般的には、どちらかの関数 (たとえばf ) がコンパクトにサポートされている場合、もう一方が局所的に積分可能である場合、畳み込みf ∗ g は明確に定義され、連続です。

fとgの畳み込みも、両方の関数がR上で局所的に二乗積分可能であり、 [ a , +∞)の形式の区間でサポートされている場合（または両方とも[−∞, a ]でサポートされている場合）には適切に定義されます。

fとgの畳み込みは、fとg が両方ともL ¹ ( R ^d )のルベーグ積分関数である場合に存在し、この場合、f ∗ gも積分可能です (Stein & Weiss 1971、定理 1.3)。これは、トネリの定理の結果です。これは、離散畳み込みの下でのL ¹の関数にも当てはまり、より一般的には任意のグループ上の畳み込みにも 当てはまります。

同様に、1 ≤ p ≤ ∞でf ∈ L ¹ ( R ^d )  かつg ∈ L ^p ( R ^d )ならば、   f * g ∈ L ^p ( R ^d )であり、

${\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}$

p = 1 の特定のケースでは、これはL ¹が畳み込みの下でバナッハ代数であることを示します (そして、 fとgがほぼすべての点で非負であれ ば、両辺の等式が成立します)。

より一般的には、ヤングの不等式は畳み込みが適切なL ^p空間間の連続双線型写像であることを意味します。具体的には、1 ≤ p、q、r ≤ ∞ が次を満たす場合:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1,}$

それから

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq \left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q},}$

となるため、畳み込みはL ^p × L ^qからL ^rへの連続双線型写像となる。畳み込みのヤング不等式は他のコンテキスト（円群、Z上の畳み込み）でも成り立つ。前述の不等式は実数直線上では鋭くない。1 < p、q、r < ∞のとき、定数B _p、q < 1が存在し、次のようになる。

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq B_{p,q}\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q}.}$

B _{p , q}の最適値は1975年に発見され^[22]、1976年には独立に発見されました^[23]。 ブラスカンプ・リーブ不等式を参照してください。

1 < p、q、r < ∞の場合、より強い推定値が真となります。

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq C_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q,w}}$

ここで は弱いLqノルムである。畳み込みは^、弱いヤング不等式により、に対する双線型連続写像も定義する: ^[24]${\displaystyle \|g\|_{q,w}}$${\displaystyle L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}}$${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$

${\displaystyle \|f*g\|_{r,w}\leq C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}.}$

コンパクトに支えられた関数と積分可能な関数に加えて、無限大で十分に急速に減衰する関数も畳み込み可能です。畳み込みの重要な特徴は、fとg が両方とも急速に減衰する場合、f ∗ gも急速に減衰することです。特に、fとg が急速に減少する関数である場合、畳み込みf ∗ g も同様に減少します。畳み込みが微分と交換するという事実 (#Properties を参照) と組み合わせると、シュワルツ関数のクラスは畳み込みに関して閉じていることがわかります (Stein & Weiss 1971、定理 3.3)。

fがコンパクトにサポートされた滑らかな関数でgが超関数である場合、 f ∗ gは次のように定義される滑らかな関数である。

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\,dy=(f*g)(x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d}).}$

より一般的には、畳み込みの定義を上記のfと同じ方法で一意に拡張することができ、結合法則は ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi }$

fが超関数でgがコンパクトにサポートされた超関数 の場合でも有効である（Hörmander 1983、§4.2）。

任意の2つのボレル測度 μとνの畳み込みは、（Rudin 1962）によって定義される 測度である。${\displaystyle \mu *\nu }$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,d(\mu *\nu )(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y).}$

特に、

${\displaystyle (\mu *\nu )(A)=\int _{\mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} ^{d}}1_{A}(x+y)\,d(\mu \times \nu )(x,y),}$

ここで は測定可能な集合であり、は の指示関数です。 ${\displaystyle A\subset \mathbf {R} ^{d}}$${\displaystyle 1_{A}}$${\displaystyle A}$

これは、μ と ν が分布とみなされる場合に上で定義された畳み込みと一致し、また、μ と ν がルベーグ測度に関して絶対連続である場合の L ^{1関数の畳み込みとも一致します。}

測度の畳み込みは、ヤングの不等式の次のバージョンも満たす。

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|}$

ここで、ノルムは測度の全変動です。有界変動の測度の空間はバナッハ空間であるため、測度の畳み込みは、分布の畳み込みには適用できない可能性のある関数解析の標準的な方法で処理できます。

畳み込みは積分可能関数の線形空間上の積を定義します。この積は次の代数的性質を満たします。これは形式的には、畳み込みによって積が与えられる積分可能関数の空間が単位元を持たない可換結合代数であることを意味します( Strichartz 1994、§3.3)。コンパクト サポートの連続関数の空間など、関数の他の線形空間は畳み込みの下で閉じているため、可換結合代数も形成します。

可換性

$${\displaystyle f*g=g*f}$$証明: 定義により、積分の変数を結果に変更すると次のようになります。$${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$$${\displaystyle u=t-\tau }$

結合性

$${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h}$$証明: これは、フビニの定理を使用することによって得られます(つまり、二重積分は、どちらの順序でも反復積分として評価できます)。

分配性

$${\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}$$証明: これは積分の線形性から導かれます。

スカラー乗算の結合性

$${\displaystyle a(f*g)=(af)*g}$$任意の実数（または複素数）に対して。${\displaystyle a}$

乗法的な恒等式

関数の代数は、畳み込みの恒等式を持ちません。恒等式がなくても通常は大きな不都合はありません。畳み込みが行われる関数の集合のほとんどは、デルタ分布（ゼロを中心とするユニタリーインパルス）で畳み込むことができるか、少なくとも（L ¹の場合のように）恒等式の近似値を持つからです。ただし、コンパクトにサポートされた分布の線形空間は、畳み込みの下で恒等式を持ちます。具体的には、δはデルタ分布です。$${\displaystyle f*\delta =f}$$

逆要素

いくつかの分布Sには畳み込みの逆元 S ⁻¹があり、この逆元は必ず満たす必要があり、そこからS ⁻¹の明示的な式が得られます。$${\displaystyle S^{-1}*S=\delta }$$

可逆な分布の集合は畳み込みの下でアーベル群を形成します。

複素活用

$${\displaystyle {\overline {f*g}}={\overline {f}}*{\overline {g}}}$$

時間の逆転

もし    そうなら  ${\displaystyle q(t)=r(t)*s(t),}$${\displaystyle q(-t)=r(-t)*s(-t).}$

証明（畳み込み定理を使用）：

${\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(f)=R(f)S(f)}$

${\displaystyle q(-t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(-f)=R(-f)S(-f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q(-t)&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f)S(-f){\bigg \}}\\&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f){\bigg \}}*{\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}S(-f){\bigg \}}\\&=r(-t)*s(-t)\end{aligned}}}$

差別化との関係

$${\displaystyle (f*g)'=f'*g=f*g'}$$証拠：

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)'&={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau ){\frac {\partial }{\partial t}}g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g'(t-\tau )\,d\tau =f*g'.\end{aligned}}}$

統合との関係

もし、そして${\textstyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ,}$${\textstyle G(t)=\int _{-\infty }^{t}g(\tau )\,d\tau ,}$$${\displaystyle (F*g)(t)=(f*G)(t)=\int _{-\infty }^{t}(f*g)(\tau )\,d\tau .}$$

fとgが積分可能な関数である場合、それらの畳み込みの積分は、それらの積分の積として単純に得られる。^[25]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}(f*g)(x)\,dx=\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,dx\right)\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}g(x)\,dx\right).}$

これはフビニの定理から導かれます。トネリの定理により、 fとgが非負の測定可能な関数であると仮定した場合のみ、同じ結果が成り立ちます。

1変数の場合、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g=f*{\frac {dg}{dx}}}$

ここで は導関数です。より一般的には、複数の変数を持つ関数の場合、偏導関数についても同様の式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}*g=f*{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}.}$

このことの特別な結果として、畳み込みは「平滑化」操作として見ることができるようになります。つまり、 fとgの畳み込みは、fとgの合計 と同じ回数だけ微分可能です。

これらの恒等式は、例えば、fとgが絶対積分可能であり、ヤングの畳み込み不等式の結果として、少なくともそのうちの1つが絶対積分可能な（L ¹ ）弱導関数を持つという条件の下で成立する。例えば、fがコンパクトな台で連続微分可能であり、gが任意の局所積分可能な関数である場合、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g.}$

これらの恒等式は、 fまたはgの一方が急速に減少する緩和分布、コンパクトにサポートされた緩和分布、またはシュワルツ関数であり 、他方が緩和分布である場合、緩和分布の意味でより広く成立します。一方、2 つの正の積分可能かつ無限に微分可能な関数には、どこでも連続しない畳み込みが存在する場合があります。

離散的な場合、差分演算子 D f ( n ) = f ( n + 1) − f ( n )は同様の関係を満たします。

${\displaystyle D(f*g)=(Df)*g=f*(Dg).}$

畳み込み定理によれば^[26]

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

ここで はのフーリエ変換を表します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$${\displaystyle f}$

この定理のバージョンは、ラプラス変換、両側ラプラス変換、Z 変換、メリン変換にも当てはまります。

がフーリエ変換行列である場合、 ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}\left(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y\right)=\left({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)}\right)(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y}$、

ここで、面分割積は^{[27] [28] [29] [30] [31]は}クロネッカー積を表し、アダマール積を表します（この結果はカウントスケッチ特性の発展形です^[32]）。 ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \circ }$

これは適切な行列に対して一般化できます。 ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$

${\displaystyle {\mathcal {W}}\left((\mathbf {A} x)\ast (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {W}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {W}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {W}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {W}}\mathbf {B} y)}$

面分割積の特性から。

畳み込みは変換と交換可能であり、つまり

${\displaystyle \tau _{x}(f*g)=(\tau _{x}f)*g=f*(\tau _{x}g)}$

ここでτ _x fは関数fのxによる変換であり、次のように定義される。

${\displaystyle (\tau _{x}f)(y)=f(y-x).}$

fがシュワルツ関数の場合、τ _x f は変換されたディラックのデルタ関数τ _x f = f ∗ τ _x δとの畳み込みです。したがって、シュワルツ関数の畳み込みの変換不変性は、畳み込みの結合性の結果です。

さらに、特定の条件下では、畳み込みは最も一般的な変換不変演算である。非公式に言えば、次の式が成り立つ。

S が関数に作用する有界線型演算子であり、変換と可換であると仮定します:すべてのxに対してS ( τ _x f ) = τ _x ( Sf ) 。この場合、S は関数 (または分布) g _Sとの畳み込みとして与えられます。つまり、Sf = g _S ∗ fです。

したがって、いくつかの変換不変操作は畳み込みとして表現できます。畳み込みは、時間不変システム、特にLTI システム理論の研究で重要な役割を果たします。表現関数g _{S は}、変換Sのインパルス応答です。

上で引用した定理のより正確なバージョンでは、畳み込みが定義されている関数のクラスを指定する必要があり、さらにS が適切な位相に関して連続線型演算子でなければならないと仮定する必要があります。たとえば、L ¹上のすべての連続変換不変連続線型演算子は、有限のボレル測度を持つ畳み込みであることが知られています。より一般的には、1 ≤ p < ∞ に対するL ^p上のすべての連続変換不変連続線型演算子は、フーリエ変換が有界である緩和分布を持つ畳み込みです。つまり、それらはすべて有界フーリエ乗数によって与えられます。

G が測度λを持つ適切な群であり、fとg がG上の実数値または複素数値の可積分関数である場合、それらの畳み込みを次のように定義できます。

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda (y).}$

一般に可換ではありません。興味深い典型的なケースでは、Gは局所的にコンパクトな ハウス ドルフ位相群で、λ は (左)ハール測度です。その場合、Gがユニモジュラでない限り、このように定義された畳み込みは と同じではありません。一方が他方よりも優先されるのは、固定関数gとの畳み込みが、群内の左変換と可換になるようにするためです。 ${\textstyle \int f\left(xy^{-1}\right)g(y)\,d\lambda (y)}$

${\displaystyle L_{h}(f*g)=(L_{h}f)*g.}$

さらに、この規則は、以下に示す測度の畳み込みの定義との一貫性を保つためにも必要です。ただし、左ハール測度ではなく右ハール測度を使用する場合は、前者よりも後者の積分が優先されます。

局所コンパクトアーベル群では、畳み込み定理の一種が成り立ちます。つまり、畳み込みのフーリエ変換は、フーリエ変換の点ごとの積です。^ルベーグ測度を持つ円群 Tは、そのすぐれた例です。L 1 ( T )内の固定されたgに対して、ヒルベルト空間L ² ( T )に作用する次のよく知られた演算子があります。

${\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy.}$

演算子Tはコンパクトである。直接計算すると、その随伴演算子T*は

${\displaystyle {\bar {g}}(-y).}$

上で引用した交換法則により、T は正規である: T * T = TT * 。また、T は変換演算子と交換可能である。このような畳み込みと変換演算子すべてから成る演算子の族S を考えてみよう。すると、 S は交換可能な正規演算子の族となる。スペクトル理論によれば、 S を同時に対角化する正規直交基底 { h _k } が存在する。これは円上の畳み込みを特徴付ける。具体的には、

${\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx},\quad k\in \mathbb {Z} ,\;}$

これらはまさにTの文字です。各畳み込みは、この基底におけるコンパクトな乗算演算子です。これは、上で説明した畳み込み定理のバージョンとして考えることができます。

離散的な例としては、次数nの有限巡回群が挙げられます。畳み込み演算子はここでは巡回行列で表され、離散フーリエ変換によって対角化できます。

同様の結果はコンパクト群（必ずしもアーベル群ではない）にも当てはまります。有限次元ユニタリ表現の行列係数はピーター・ワイルの定理によりL ²の正規直交基底を形成し、畳み込み定理の類似物は、フーリエ変換に依存する 調和解析の他の多くの側面とともに、引き続き有効です。

G を（乗法的に書かれた）位相群とする。 μ と ν がG上の有限ボレル測度である場合、それらの畳み込みμ ∗ ν は群作用のプッシュフォワード測度として定義され、次のように書くことができる。

${\displaystyle (\mu *\nu )(E)=\iint 1_{E}(xy)\,d\mu (x)\,d\nu (y)}$

Gの各測定可能な部分集合Eに対して畳み込みは有限測度であり、その全変化は

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \left\|\mu \right\|\left\|\nu \right\|.}$

G が(左)ハール測度λ で局所コンパクトであり、μ と ν がλ に関して絶対連続で、それぞれが密度関数を持つ場合、畳み込み μ∗ν も絶対連続であり、その密度関数は 2 つの別々の密度関数の畳み込みにすぎません。

μ と ν が位相群( R ,+)上の確率測度である場合、畳み込みμ ∗ νは、それぞれの分布が μ と ν である2 つの独立したランダム変数XとYの和X + Yの確率分布です。

凸解析では、上の適切な（同一ではない）凸関数の最小畳み込みは次のように定義されます。 ^[33] 凸関数の最小畳み込みは凸であることが示されます。さらに、これは従来の畳み込みのフーリエ変換と類似した恒等式を満たし、フーリエ変換の役割はルジャンドル変換によって果たされます。 次が成り立ちます。 ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})(x)=\inf _{x}\{f_{1}(x_{1})+\cdots +f_{m}(x_{m})|x_{1}+\cdots +x_{m}=x\}.}$$$${\displaystyle \varphi ^{*}(x)=\sup _{y}(x\cdot y-\varphi (y)).}$$$${\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})^{*}(x)=f_{1}^{*}(x)+\cdots +f_{m}^{*}(x).}$$

( X , Δ, ∇, ε , η )を、共乗 Δ 、乗法 ∇ 、単位 η 、共単位εを持つ双代数とする。畳み込みは、自己準同型代数End( X ) 上で次のように定義される積である。φ、ψ ∈ End( X )、すなわちφ、ψ : X → XがXのすべての代数構造を尊重する関数であるとすると、畳み込みφ ∗ ψは合成として定義される。

${\displaystyle X\mathrel {\xrightarrow {\Delta } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\phi \otimes \psi } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\nabla } } X.}$

畳み込みはホップ代数の定義で特によく登場する（Kassel 1995, §III.3）。双代数がホップ代数であるために必要なのは、それが反対称体、すなわち自己 準同型Sを持ち、

${\displaystyle S*\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{X}*S=\eta \circ \varepsilon .}$

畳み込みと関連する演算は、科学、工学、数学の多くのアプリケーションで使用されています。

• 畳み込みニューラルネットワークは、機械視覚や人工知能の分野で応用され、複数のカスケード畳み込みカーネルを適用します。^{[34] [35]ただし、ほとんどの場合、これらは実際には畳み込みではなく}相互相関です。^[36]
• ニューラルネットワークをベースとしない画像処理では
  • デジタル画像処理では、畳み込みフィルタリングはエッジ検出や関連プロセスの多くの重要なアルゴリズムで重要な役割を果たします（カーネル（画像処理）を参照）。
  • 光学において、焦点が合っていない写真は、鮮明な画像とレンズの作用との畳み込みです。写真用語では、これをボケと呼びます。
  • ぼかしを追加するなどの画像処理アプリケーションで使用します。
• デジタルデータ処理では
  • 分析化学では、サビツキー・ゴレイ平滑化フィルタは分光データの分析に使用されます。スペクトルの歪みを最小限に抑えながら信号対雑音比を改善できます。
  • 統計学では、加重移動平均は畳み込みです。
• 音響学では、残響とは、元の音と音源の周囲の物体からの 反響との畳み込みです。
  • デジタル信号処理では、畳み込みを使用して、実際の部屋のインパルス応答をデジタルオーディオ信号にマッピングします。
  • 電子音楽における畳み込みとは、音にスペクトルやリズム構造を付加することです。このエンベロープや構造は、他の音から取られることが多いです。2つの信号の畳み込みとは、一方を他方にフィルタリングすることです。^[37]
• 電気工学では、1 つの関数 (入力信号) と 2 番目の関数 (インパルス応答) の畳み込みにより、線形時間不変システム(LTI) の出力が得られます。任意の瞬間において、出力は入力関数のすべての以前の値の累積効果であり、通常は最新の値が最も大きな影響力を持ちます (乗法係数として表されます)。インパルス応答関数は、各入力値が発生してからの経過時間の関数としてその係数を提供します。
• 物理学では、 「重ね合わせの原理」を持つ線形システムが存在する場合は常に、畳み込み演算が出現します。たとえば、分光法では、ドップラー効果による線幅の広がりはそれ自体でガウススペクトル線の形状をもたらし、衝突による広がりのみではローレンツ線の形状をもたらします。両方の効果が作用している場合、線の形状はガウスとローレンツの畳み込み、つまりフォークト関数になります。
  • 時間分解蛍光分光法では、励起信号はデルタパルスの連鎖として扱うことができ、測定される蛍光は各デルタパルスからの指数関数的減衰の合計となります。
  • 計算流体力学では、ラージ エディ シミュレーション(LES)乱流モデルは畳み込み演算を使用して計算に必要な長さスケールの範囲を狭め、計算コストを削減します。
• 確率論では、 2 つの独立したランダム変数の合計の確率分布は、それぞれの分布の畳み込みです。
  • カーネル密度推定では、等方性ガウス分布などのカーネルとの畳み込みによってサンプル点から分布が推定される。^[38]
• 放射線治療計画システムでは、最新の計算コードの大部分が畳み込み重ね合わせアルゴリズムを適用しています。^{[説明が必要]}
• 構造信頼性では、畳み込み定理に基づいて信頼性指標を定義できます。
  • 非正規分布を持つ限界状態関数の信頼性指標の定義は、結合分布関数に対応して確立することができます。実際、結合分布関数は畳み込み理論を使用して得ることができます。^[39]
• 平滑化粒子流体力学では、流体力学のシミュレーションは、それぞれが周囲を核で囲まれた粒子を使用して計算されます。任意の粒子に対して、ある物理量が重み関数による畳み込みとして計算されます。ここで、 は粒子の近傍、つまりその核内に位置する粒子を表します。畳み込みは、各近傍についての合計として近似されます。^[40]${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$
• 分数計算では、畳み込みは分数積分と分数微分に関するさまざまな定義に役立ちます。

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• 最も初期の使用例: 畳み込みに関するエントリには、いくつかの歴史的な情報が記載されています。
• 畳み込み、データ分析ブリーフブック
• https://jhu.edu/~signals/convolve/index.html ビジュアル畳み込み Java アプレット
• https://jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html 離散時間関数のビジュアル畳み込み Java アプレット
• https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution 離散畳み込みオンライン計算機
• https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html JavaScript による畳み込みのデモと視覚化
• https://phiresky.github.io/convolution-demo/ JavaScript での別の畳み込みデモ
• 画像処理に関する講義: ヴァンダービルト大学による 18 回の講義を PDF 形式でまとめたコレクション。講義 7 は 2D 畳み込みに関するものです。著者: アラン ピーターズ
• https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
• 畳み込みカーネルマスク操作インタラクティブチュートリアル
• MathWorldでの畳み込み
• Freeverb3 インパルスレスポンスプロセッサ: VST プラグインを備えたオープンソースのゼロレイテンシーインパルスレスポンスプロセッサ
• 空間畳み込みの仕組みを示すスタンフォード大学 CS 178 インタラクティブ Flash デモ。
• サルマン・カーンによる畳み込みに関するビデオ講義
• パターン認識（画像処理）のための FFT 畳み込みの例
• 畳み込みの直感的なガイド 畳み込みの直感的な解釈に関するブログ投稿。