畳み込みパワー

数学では、畳み込みの累乗は、それ自身との畳み込みのn回反復である。したがって、がユークリッド空間R ^d上の関数であり、が自然数である場合、畳み込みの累乗は次のように定義される。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x^{*n}=\underbrace {x*x*x*\cdots *x*x} _{n},\quad x^{*0}=\delta _{0}}$

ここで、∗ はR ^d上の関数の畳み込み演算を表し、 δ ₀はディラックのデルタ分布です。この定義は、 xが積分可能な関数（ L ¹内）、急速に減少する分布（特に、コンパクトにサポートされた分布）、または有限のボレル測度である場合に意味を持ちます。

x が実数直線上の確率変数の分布関数である場合、 xのn^乗の畳み込みは、分布xが同一であるn 個の独立した確率変数の合計の分布関数を与えます。中心極限定理は、x が平均 0 で分散 σ ²のL ¹と L ²にある場合、

${\displaystyle P\left({\frac {x^{*n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}}}}}\beta \right)\to \Phi (\beta )\quad {\rm {{as}\ n\to \infty }}}$

ここで、Φ は実数直線上の累積標準正規分布です。同様に、標準正規分布に弱く近づきます。 ${\displaystyle x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}}$

場合によっては、任意の実数t  > 0に対してx ^{* t}のべき乗を定義することも可能である。 μ が確率測度である場合、各正の整数nに対して、次の式で表される確率測度 μ _{1/ n}が存在する限り、 μ は無限に割り切れる。

${\displaystyle \mu _{1/n}^{*n}=\mu .}$

つまり、すべてのn乗根を定義できる場合、測度は無限に分割可能である。すべての確率測度が無限に分割可能であるわけではなく、無限に分割可能な測度の特徴付けは、確率過程の抽象理論において中心的な重要性を持つ。直感的には、明確に定義された「畳み込み対数」を持つ測度は無限に分割可能であるはずである。そのような対数を持つ測度の自然な候補は、次の形式で与えられる (一般化)ポアソン型の測度である。

${\displaystyle \pi _{\alpha ,\mu }=e^{-\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!}} \mu ^{*n}.}$

実際、レヴィ・ヒンチンの定理によれば、測度が無限に分割可能であるための必要十分条件は、その測度が、漠然とした位相に関して、ポアソン測度のクラスの閉包内にあることであると述べられています (Stroock 1993、§3.2)。

畳み込みべき乗の多くの応用は、解析関数の類似物を、べき乗を畳み込みべき乗に置き換えた形式的なべき級数として定義できることに依存している。したがって、が解析関数である場合、次のように定義できることが望まれる。 ${\displaystyle \textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}}$

${\displaystyle F^{*}(x)=a_{0}\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{*n}.}$

x  ∈  L ¹ ( R ^d ) またはより一般的にはR ^d上の有限ボレル測度である場合、後者の級数はxのノルムがF ( z )を定義する元の級数の収束半径よりも小さい限り、ノルムに関して絶対収束する。特に、そのような測度は畳み込み指数を定義することが可能である。

${\displaystyle \exp^{*}(x)=\delta_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{*n}}{n!}}.}$

この定義を任意の分布に拡張することは一般には不可能ですが、この級数が適切な弱い意味で収束する分布のクラスは、Ben Chrouda、El Oued、Ouerdiane (2002) によって特定されています。

x自体が適切に微分可能である場合、畳み込みの 性質から、

${\displaystyle {\mathcal {D}}{\big \{}x^{*n}{\big \}}=({\mathcal {D}}x)*x^{*(n-1)}=x*{\mathcal {D}}{\big \{}x^{*(n-1)}{\big \}}}$

ここで、は微分演算子を表します。具体的には、x がコンパクトにサポートされた分布であるか、ソボレフ空間W ^1,1内にある場合に、畳み込みが明確に定義されるように微分が十分に正則であることを保証する場合に、これが当てはまります。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

配置ランダムグラフでは、連結成分のサイズ分布は過剰次数分布の畳み込み累乗によって表現できる（Kryven（2017））。

${\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mu _{1}}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1.\end{cases}}}$

ここで、は連結成分のサイズ分布、は過剰次数分布、 は次数分布を表します。 ${\displaystyle w(n)}$${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {k+1}{\mu _{1}}}u(k+1),}$${\displaystyle u(k)}$

畳み込み代数はホップ代数の特殊なケースなので、畳み込みべき乗はホップ代数の（通常の）べき乗の特殊なケースです。量子場の理論への応用では、畳み込み指数、畳み込み対数、および畳み込みに基づくその他の解析関数は、代数の要素の形式的なべき級数として構成されます（Brouder、Frabetti、Patras 2008）。さらに、代数がバナッハ代数である場合、級数の収束は上記のように決定できます。形式的な設定では、次のようなよく知られた恒等式が使用できます。

${\displaystyle x=\log^{*}(\exp^{*}x)=\exp^{*}(\log^{*}x)}$

は成立し続けます。さらに、関数関係の永続性により、すべての式が収束級数によって開集合内で明確に定義されている限り、関数のレベルでも成立します。

• 畳み込み
• 畳み込み定理
• フーリエ変換
• テイラー級数

• シュワルツ、ローラン (1951)、テオリ・デ・ディストリビューション、第 2 巻、ハーマン、パリ。
• Horváth, John (1966)、「位相ベクトル空間と分布」、Addison-Wesley Publishing Company: Reading、マサチューセッツ州、米国。
• Ben Chrouda, Mohamed; El Oued, Mohamed; Ouerdiane, Habib (2002)、「畳み込み計算と確率微分方程式への応用」、蘇州数学ジャーナル、28 (4): 375–388、ISSN  0250-3255、MR  1953702。
• Brouder, Christian; Frabetti, Alessandra; Patras, Frédéric (2008). 「多体物理学における 1 粒子の既約グリーン関数への分解」. arXiv : 0803.3747 [cond-mat.str-el].。
• フェラー、ウィリアム（1971）、確率論とその応用入門。第2巻、第2版、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、MR  0270403。
• ストロック、ダニエル W. (1993)、「確率論、分析的視点」、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-43123-1、MR  1267569。
• Kryven, I (2017)、「無限構成ネットワークにおけるコンポーネントサイズ分布の一般的な表現」、Physical Review E、95 (5): 052303、arXiv : 1703.05413、Bibcode :2017PhRvE..95e2303K、doi :10.1103/physreve.95.052303、PMID  28618550、S2CID  8421307。