トープレット行列

線形代数において、オットー・トプリッツにちなんで名付けられたトプリッツ行列（対角定数行列）とは、左から右へ下降する各対角線が定数である行列のことである。例えば、次の行列はトプリッツ行列である。

${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\i&h&g&f&a\end{bmatrix}}.}$

どれでも${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$形式

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\cdots &\cdots &a_{-(n-1)}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}$

はトープレッツ行列です。${\displaystyle i,j}$要素${\displaystyle A}$と表記される${\displaystyle A_{i,j}}$すると、

${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{ij}.}$

トープレッツ行列は必ずしも正方行列ではない。

行列方程式の形式

${\displaystyle Ax=b}$

トープレッツシステムと呼ばれるのは、${\displaystyle A}$はトープレッツ行列です。${\displaystyle A}$は${\displaystyle n\times n}$トープレッツ行列の場合、システムは最大で ${\displaystyle 2n-1}$独自の価値ではなく${\displaystyle n^{2}}$したがって、トープレッツ方程式系の解法はより簡単であると予想されるが、実際その通りである。

トープレッツ系は、シュールアルゴリズムやレビンソンアルゴリズムなどのアルゴリズムで解くことができる。${\displaystyle O(n^{2})}$時間。^{[ 1 ] [ 2 ]} 後者の変種は弱安定であることが示されています（つまり、条件の良い線形システムに対して数値的安定性を示します）。^{[ 3 ]}これらのアルゴリズムは、トプリッツ行列の行列式を 求めるためにも使用できます。${\displaystyle O(n^{2})}$時間。^{[ 4 ]}

トープレッツ行列は、以下のように分解（因数分解）することもできます。${\displaystyle O(n^{2})}$時間。^{[ 5 ]} LU分解のための Bareissアルゴリズムは安定している。^{[ 6 ]} LU分解は、トープレッツ系を解くための高速な方法であり、行列式の計算にも有効である。変位ランク を用いると、必要な方法が得られる。$\displaystyle {\tilde {O}}({\alpha ^{\omega -1}}n)}$高速行列乗算アルゴリズムを使用した演算、ここで${\displaystyle \alpha }$ランクと${\displaystyle ^{\sim }2.37\leq \omega <3}$^{[ 7 ]}​

• 1${\displaystyle n\times n}$トープレッツ行列は行列として定義できる。${\displaystyle A}$どこ${\displaystyle A_{i,j}=c_{ij}}$定数の場合${\displaystyle c_{1-n},\ldots ,c_{n-1}}$.のセット${\displaystyle n\times n}$トープレッツ行列はベクトル空間の部分空間である${\displaystyle n\times n}$行列（行列の加算とスカラー乗算について）。
• 2 つのトープレッツ行列は、${\displaystyle O(n)}$時間（各対角線の値の 1 つだけを保存することによって）を乗算し、${\displaystyle O(n^{2})}$時間。
• トープレッツ行列は半対称行列です。対称トープレッツ行列は中心対称かつ双対称です。
• トープレッツ行列はフーリエ級数とも密接に関連している。なぜなら、有限次元空間に圧縮された三角多項式による乗算演算子は、このような行列で表現できるからである。同様に、線形畳み込みもトープレッツ行列による乗算として表現できる。
• トープリッツ行列は、次元が大きくなるにつれて漸近的に巡回行列と等価になります。これはグレナンダー・セゲー定理として知られています。^{[ 8 ]}この漸近的な巡回性は、離散フーリエ変換が大きなトープリッツ行列を近似的に対角化する理由であり、定常過程に対するDFTベースのスペクトル密度推定の有効性の基礎となっています。
• トープレッツ行列は漸近的に可換である。これは、行と列の次元が無限大に近づくにつれて、同じ基底で対角化されることを意味する。
• 対称トープレッツ行列の場合、分解は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}A=GG^{\operatorname {T} }-(GI)(GI)^{\operatorname {T} }}$

どこ${\displaystyle G}$は、${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}A}$。

• 非特異対称トープレッツ行列の逆行列は、次のように表現される。

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\alpha _{0}}}(BB^{\operatorname {T} }-CC^{\operatorname {T} })}$

どこ${\displaystyle B}$そして${\displaystyle C}$は下三角トープレット行列であり、${\displaystyle C}$は厳密に下三角行列である。^{[ 9 ]}

畳み込み演算は行列乗算として構成でき、入力の1つはトープレッツ行列に変換されます。たとえば、${\displaystyle h}$そして${\displaystyle x}$次のように定式化できる。

${\displaystyle y=h\ast x={\begin{bmatrix}h_{1}&0&\cdots &0&0\\h_{2}&h_{1}&&\vdots &\vdots \\h_{3}&h_{2}&\cdots &0&0\\\vdots &h_{3}&\cdots &h_{1}&0\\h_{m-1}&\vdots &\ddots &h_{2}&h_{1}\\h_{m}&h_{m-1}&&\vdots &h_{2}\\0&h_{m}&\ddots &h_{m-2}&\vdots \\0&0&\cdots &h_{m-1}&h_{m-2}\\\vdots &\vdots &&h_{m}&h_{m-1}\\0&0&0&\cdots &h_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle y^{T}={\begin{bmatrix}h_{1}&h_{2}&h_{3}&\cdots &h_{m-1}&h_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}&0&0&0&\cdots &0\\0&x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}&0&0&\cdots &0\\0&0&x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}&0&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &0&0&x_{1}&\cdots &x_{n-2}&x_{n-1}&x_{n}&0\\0&\cdots &0&0&0&x_{1}&\cdots &x_{n-2}&x_{n-1}&x_{n}\end{bmatrix}}.}$

この手法は、自己相関、相互相関、移動平均などの計算にも拡張できます。

双無限トープレッツ行列（つまり、インデックスが${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$）${\displaystyle A}$線形演算子を誘導する${\displaystyle \ell ^{2}}$。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\cdots &a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&a_{-3}&\cdots \\\cdots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\cdots \\\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\cdots \\\cdots &a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}.}$

誘導作用素が有界となるのは、トープレッツ行列の係数が${\displaystyle A}$は、本質的に有界な関数のフーリエ係数である。${\displaystyle f}$。

このような場合、${\displaystyle f}$これはトープレッツ行列のシンボルと呼ばれます。${\displaystyle A}$、そしてトープレッツ行列のスペクトルノルム${\displaystyle A}$と一致する${\displaystyle L^{\infty }}$そのシンボルのノルム。証明は、BöttcherとGrudskyの定理1.1に記載されています。^{[ 10 ]}

• 巡回行列とは、正方トープレッツ行列に以下の特性が加わったものである。${\displaystyle a_{i}=a_{i+n}}$
• ハンケル行列は、トプリッツ行列を「逆さまにした」（つまり、行を反転させた）ものである。
• シェグーの極限定理– 大規模なテプリッツ行列の行列式 
• トプリッツオペレーター