スケール相関

統計学において、スケール相関は相関係数の一種であり、時系列などの時間的要素を持つデータに適用できます。これは短期的な相関の平均です。信号に複数の要素（低速と高速）がある場合、スケール相関係数は信号の高速要素に対してのみ計算され、低速要素の寄与は無視されます。^[1]このフィルタリングのような操作には、信号の正弦波の性質について仮定する必要がないという利点があります。

たとえば、脳信号の研究では、研究者は高周波成分（ベータおよびガンマ範囲、25～80 Hz）に関心があることが多く、低周波範囲（アルファ、シータなど）には関心がない場合があります。その場合、分析のスケールsをその周波数の周期に対応するように選択することで、25 Hz を超える周波数に対してのみスケール相関を計算できます（たとえば、 25 Hz の振動の場合はs  = 40 ms）。

2 つの信号間のスケール相関は、それらの信号の短いセグメントにわたって計算された平均相関として定義されます。まず、特定のスケールの信号の合計長さに収まるセグメントの数を決定する必要があります。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle K=\operatorname {round} \left({\frac {T}{s}}\right).}$

次に、 がセグメント のピアソンの相関係数である場合、信号全体のスケール相関は次のように計算されます。 ${\displaystyle r_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\bar {r}}_{s}}$

${\displaystyle {\bar {r}}_{s}={\frac {1}{K}}\sum \limits _{k=1}^{K}r_{k}.}$

^{ニコリッチら[1]}は詳細な分析で、低速成分の寄与がどの程度減衰するかは、スケールの選択、低速成分と高速成分の振幅比、およびそれらの振動周波数の差という3つの要因に依存することを示しました。振動周波数の差が大きいほど、計算された相関係数から低速成分の寄与がより効率的に除去されます。同様に、高速成分に対する低速成分のパワーが小さいほど、スケールされた相関のパフォーマンスは向上します。

スケール相関は、自己相関と相互相関に適用でき、異なる時間遅延で高周波成分の相関がどのように変化するかを調べることができます。すべての時間シフトの相互スケール相関を適切に計算するには、各時間シフト後に信号を新たにセグメント化する必要があります。言い換えると、信号は常にセグメント化が適用される前にシフトされます。スケール相関はその後、視覚皮質の同期ハブの調査に使用されました。^[2]スケール相関は機能ネットワークの抽出にも使用できます。^[3]

多くの場合、スケール相関はスペクトル法に基づく信号フィルタリングよりも優先されます。スケール相関の利点は、信号のスペクトル特性（信号の正弦波形状など）について仮定をしないことです。Nikolić ら^{[1] は、}ウィーナー・ヒンチン定理を使用して低速成分を除去すると、スケール相関によって得られる結果よりも劣ることを示しました。これらの利点は、信号が非周期的である場合、またはニューロン活動電位が検出されたタイムスタンプなどの離散イベントで構成される場合に特に明らかになります。

多重解像度相関分析を用いた可視化により、異なるスケールにわたる相関構造の詳細な洞察が得られる。^[4]

• 自己相関
• コヒーレンス（信号処理）
• 畳み込み
• 相関
• 相互相関
• 位相相関
• スペクトル密度
• クロススペクトル
• ウィーナー・ヒンチンの定理

• スケールされた相互相関を計算するための無料のソースコードと MATLAB のインターフェイスは、ここからダウンロードできます: http://www.raulmuresan.ro/sources/corrlib/
• Python のシンプルなデモ コード: https://github.com/dankonikolic/Scaled-Correlation