デコンボリューション

測定誤差が非常に小さい場合（理想的な場合）、デコンボリューションはフィルタ反転に帰着します。この種のデコンボリューションはラプラス領域で実行できます。記録された信号hとシステム応答関数gのフーリエ変換を計算すると、 HとGが得られます。ここでGは伝達関数です。畳み込み定理を使用すると、

${\displaystyle F=H/G\,}$

ここで、 Fはfの推定フーリエ変換です。最後に、関数Fの逆フーリエ変換を実行して、推定デコンボリューション信号fを求めます。G は分母にあり、存在する場合は誤差モデルの要素を増幅する可能性があることに注意してください。

物理的な測定では、状況は通常、

${\displaystyle (f*g)+\varepsilon =h\,}$

この場合、εは記録された信号に混入したノイズです。ノイズのある信号や画像をノイズがないと仮定すると、gの統計的推定値は不正確になります。その結果、 ƒの推定値も不正確になります。信号対雑音比が低いほど、逆畳み込みされた信号の推定値は悪くなります。これが、信号を逆フィルタリングする（上記の「生の逆畳み込み」のように）ことが通常良い解決策ではない理由です。ただし、データに含まれるノイズの種類（たとえば、ホワイトノイズ）が少なくともある程度分かっている場合は、ウィーナー逆畳み込みなどの手法によってƒの推定値を改善できます。

デコンボリューションの概念は、反射地震学において初期から応用されていました。1950年、エンダース・ロビンソンはMITの大学院生でした。彼は、ノーバート・ウィーナー、ノーマン・レビンソン、経済学者のポール・サミュエルソンなど、MITの他の研究者たちと共に、反射地震記録の「畳み込みモデル」を開発しました。このモデルは、記録された地震記録s ( t )が、地球反射率関数e ( t )と点震源からの地震波w ( t )の畳み込みであると仮定しています。ここで、 tは記録時間を表します。したがって、畳み込み方程式は次のようになります。

${\displaystyle s(t)=(e*w)(t).\,}$

地震学者は、地球の構造に関する情報を含むeに興味を持っている。畳み込み定理により、この方程式はフーリエ変換して次のようになる。

${\displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\,}$

周波数領域では、${\displaystyle \omega }$は周波数変数です。反射率が白色であると仮定すると、反射率のパワースペクトルは一定であり、地震記録のパワースペクトルはウェーブレットのスペクトルにその定数を乗じたものであると仮定できます。したがって、

${\displaystyle |S(\omega )|\approx k|W(\omega )|.\,}$

ウェーブレットが最小位相であると仮定すると、先ほど求めたパワースペクトルの最小位相等価値を計算することで、ウェーブレットを復元できます。反射率は、推定ウェーブレットをディラックのデルタ関数（つまりスパイク）に整形するウィーナーフィルタを設計して適用することで復元できます。結果は、スケーリングされシフトされたデルタ関数の系列として見ることができます（ただし、これは数学的に厳密ではありません）。

${\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),}$

ここでNは反射イベントの数であり、$\displaystyle r_{i}}$反射係数は、$t-τ_i$は各イベントの反射時間であり、${\displaystyle \delta }$はディラックのデルタ関数です。

実際には、ノイズが多く、帯域幅が有限で、長さが有限の、離散的にサンプリングされたデータセットを扱っているため、上記の手順では、データをデコンボリューションするために必要なフィルタの近似値しか得られません。しかし、問題をトープレッツ行列の解として定式化し、レビンソン再帰を用いることで、平均二乗誤差が最小となるフィルタを比較的迅速に推定できます。また、周波数領域で直接デコンボリューションを実行して同様の結果を得ることもできます。この手法は、線形予測と密接に関連しています。

光学および画像処理において、「デコンボリューション」という用語は、光学顕微鏡、電子顕微鏡、望遠鏡、またはその他の画像装置で発生する光学歪みを反転させ、より鮮明な画像を作成するプロセスを指すために具体的に使用されます。これは通常、顕微鏡画像処理技術群の一部として、ソフトウェアアルゴリズムによってデジタル領域で行われます。デコンボリューションは、撮影中に高速な動きや揺れによって歪んだ画像を鮮明にするためにも有効です。初期のハッブル宇宙望遠鏡の画像は、欠陥のあるミラーによって歪んでいましたが、デコンボリューションによって鮮明化されました。

通常の方法は、装置を通過する光路が光学的に完全であると仮定し、点像分布関数(PSF) で畳み込むことです。PSF とは、理論上の点光源 (またはその他の波) が装置を通過する経路に関して歪みを記述する数学関数です。 ^{[ 3 ]}通常、このような点光源は、最終画像に小さなぼやけ領域をもたらします。この関数が決定できる場合は、その逆関数または補関数を計算し、取得した画像と畳み込むだけです。結果として、歪みのない元の画像が得られます。

実際には、真の PSF を見つけることは不可能であり、通常は理論的に計算された近似値^{[ 4 ]}または既知のプローブを使用した実験的推定値に基づいて近似値が使用されます。実際の光学系では、焦点位置や空間位置によって PSF が異なる場合があり、PSF が非線形になる場合もあります。PSF の近似の精度が最終結果を左右します。計算負荷が高くなるという代償を伴いますが、より良い結果を得るためにさまざまなアルゴリズムを使用できます。元の畳み込みではデータが破棄されるため、一部のアルゴリズムでは、失われた情報の一部を補うために、近くの焦点で取得した追加データを使用します。反復アルゴリズム (期待値最大化アルゴリズムなど) では、非現実的な解を避けるために正則化を適用できます。

PSF が不明な場合、考えられるさまざまな PSF を系統的に試して画像が改善されたかどうかを評価することで、PSF を推測できる場合があります。この手順はブラインド デコンボリューションと呼ばれます。^{[ 3 ]}ブラインド デコンボリューションは、天文学において確立された画像復元技術であり、撮影されたオブジェクトの点状の性質により PSF が露出するため、より実現可能になります。また、蛍光顕微鏡での画像復元や、複数の未知の蛍光体のスペクトル分離のための蛍光スペクトルイメージングにも使用されます。この目的のための最も一般的な反復アルゴリズムはRichardson–Lucy デコンボリューションアルゴリズムであり、Wiener デコンボリューション(および近似) は最も一般的な非反復アルゴリズムです。

レーザーパルステラヘルツシステムなどの特定のイメージングシステムでは、PSFを数学的にモデル化することができます。^{[ 6 ]}その結果、図に示すように、モデル化されたPSFとテラヘルツ画像のデコンボリューションにより、テラヘルツ画像のより高解像度の表現が得られます。

電波干渉法（電波天文学の一種）における画像合成を行う際、生成された画像を「ダーティビーム」（点広がり関数の別名）でデコンボリューションする手順がある。一般的に用いられる手法として、CLEANアルゴリズムがある。

デコンボリューションの典型的な用途はトレーサー動態学です。例えば、血液中のホルモン濃度を測定する場合、デコンボリューションによってその分泌速度を推定できます。別の例としては、測定された間質グルコースから血糖値を推定する方法があります。これは、実際の血糖値を時間的にも振幅的にも歪めたものです。^{[ 7 ]}

デコンボリューションは吸収スペクトルに広く適用されている。^{[ 8 ]} Van Cittert アルゴリズム(ドイツ語の記事) を使用できる。^{[ 9 ]}

デコンボリューションは、フーリエ共領域における除算に対応します。これにより、フーリエ変換の対象となる実験データにデコンボリューションを容易に適用できます。例えば、NMR分光法では、データは時間領域で記録されますが、周波数領域で解析されます。時間領域のデータを指数関数で除算すると、周波数領域におけるローレンツ線の幅が狭くなります。