シーケンスに適用されたフーリエ解析技術
数学 において 、 離散時間フーリエ変換 ( DTFT ) は、離散値のシーケンスに適用できる
フーリエ解析 の一種です。
DTFT は、連続関数のサンプルを解析するのによく使用されます。 離散時間 という用語は、変換が離散データ、多くの場合は間隔が時間の単位であるサンプルに対して実行されるという事実を指します。均一間隔のサンプルから、元の連続関数の 連続フーリエ変換 の 周期的な合計で ある周波数の関数が生成されます。簡単に言えば、連続信号の等間隔のサンプルの DTFT を取ると、サンプリング周波数に対応する間隔で、信号の周波数スペクトルの繰り返し (場合によっては重なり合う) コピーが得られます。サンプリング定理によって説明される特定の理論的条件下では、 元 の連続関数は DTFT から、したがって元の離散サンプルから完全に復元できます。DTFT 自体は周波数の連続関数ですが、その離散サンプルは離散 フーリエ変換 (DFT) (「DTFT のサンプリング」を参照) によって簡単に計算できます。これは、現在のところ、現代のフーリエ解析で最も一般的な方法です。
どちらの変換も可逆です。逆 DTFT は元のサンプリングされたデータ シーケンスを再構築し、逆 DFT は元のシーケンスの周期的な合計を生成します。 高速フーリエ変換 (FFT) は DFT の 1 サイクルを計算するアルゴリズムであり、その逆は逆 DFT の 1 サイクルを生成します。
導入
を時間領域における連続関数とします。連続 フーリエ変換 の一般的な定義から始めます 。ここで は ヘルツ単位の周波数を表し、 は 秒単位の時間を表します。
s （ t ）
{\displaystyle s(t)}
ふ
{\displaystyle f}
t
{\displaystyle t}
S （ ふ ） ≜
∫
−
∞
∞
s
(
t
)
⋅
e
−
i
2
π
f
t
d
t
.
{\displaystyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.}
秒 間隔で サンプリングすることで、積分を合計に減らすことができます（ フーリエ変換 § 一連の順序付きペアの数値積分 を参照）。具体的には、の整数値に対して 、 をそのサンプルの離散シーケンス で 置き換え 、微分要素を サンプリング周期 で置き換えることができます 。これにより、離散時間フーリエ変換（DTFT）の1つの定式化が得られます。
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
T
{\displaystyle T}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
s
(
n
T
)
{\displaystyle s(nT)}
n
{\displaystyle n}
d
t
{\displaystyle dt}
T
{\displaystyle T}
S
1
/
T
(
f
)
≜
∑
n
=
−
∞
∞
T
⋅
s
(
n
T
)
⏟
s
[
n
]
e
−
i
2
π
f
T
n
.
{\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi fTn}.}
この フーリエ級数 （周波数）は連続周期関数であり、その周期はサンプリング周波数 である 。下付き文字は 連続フーリエ変換 および DTFT の角周波数形式と区別する。後者は角周波数変数 （ 正規化された単位 は ラジアン/サンプル ）を定義することによって得られ、周期 を持つ角周波数の周期関数を与える ： [a]
1
/
T
{\displaystyle 1/T}
1
/
T
{\displaystyle 1/T}
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
ω
≜
2
π
f
T
{\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
図 1. フーリエ変換 (左上) と左下隅のその周期的合計 (DTFT) の図。右下隅は、離散フーリエ変換 (DFT) によって計算された DTFT のサンプルを示しています。
DTFTの有用性は ポアソン和公式 に根ざしており、これはフーリエ級数によって表される周期関数が連続フーリエ変換の周期和であることを示しています 。 [b]
ポアソン和
周期的和の成分は、 正規化された周波数 （サンプルあたりのサイクル数） の整数値（ で示される）を中心としています。通常/物理周波数（1秒あたりのサイクル数）は 、 とサンプルレートの積です。 が十分に大きい場合、 項は、 他の項からの 歪み（ エイリアシング ）がほとんどまたはまったくない 領域で観察できます。 図1は、 がエイリアシングを防ぐのに十分大きくない
例を示しています。
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
f
s
=
1
/
T
.
{\displaystyle f_{s}=1/T.}
f
s
,
{\displaystyle f_{s},}
k
=
0
{\displaystyle k=0}
[
−
f
s
/
2
,
f
s
/
2
]
{\displaystyle [-f_{s}/2,f_{s}/2]}
1
/
T
{\displaystyle 1/T}
また、 は のフーリエ変換であることにも留意してください 。したがって、DTFTの別の定義は次のようになります 。 [A]
e
−
i
2
π
f
T
n
{\displaystyle e^{-i2\pi fTn}}
δ
(
t
−
n
T
)
.
{\displaystyle \delta (t-nT).}
変調 ディラックコム関数は、 インパルスサンプリング と呼ばれることもある数学的抽象化です 。 [3]
DTFT関数から離散データシーケンスを復元する操作は、 逆DTFTと呼ばれます。たとえば、 式3 の両辺を逆連続フーリエ変換すると、 変調されたディラック櫛形関数の形式でシーケンスが生成されます 。
∑
n
=
−
∞
∞
s
[
n
]
⋅
δ
(
t
−
n
T
)
=
F
−
1
{
S
1
/
T
(
f
)
}
≜
∫
−
∞
∞
S
1
/
T
(
f
)
⋅
e
i
2
π
f
t
d
f
.
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{S_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}
しかし、 が 周期的であることに留意すると、長さの任意の区間内に必要な情報がすべて含まれます。 式 1 と 式 2 の 両方において 、 上の合計は 係数を持つ フーリエ級数 です。 フーリエ係数の標準的な式は、逆変換 でもあります 。
S
1
/
T
(
f
)
{\displaystyle S_{1/T}(f)}
1
/
T
.
{\displaystyle 1/T.}
n
{\displaystyle n}
s
[
n
]
.
{\displaystyle s[n].}
定期データ 入力データシーケンス が 周期的である場合、 式2は 計算上離散フーリエ変換（DFT）に簡約できます 。
s
[
n
]
{\displaystyle s[n]}
N
{\displaystyle N}
利用可能なすべての情報は サンプル内に含まれています。
N
{\displaystyle N}
S
1
/
T
(
f
)
{\displaystyle S_{1/T}(f)}
DTFT は、いわゆる 高調波 周波数の整数倍を除いて、どこでもゼロに収束します 。これらの周波数では、DTFT は異なる周波数依存の速度で発散します。そして、これらの速度は、シーケンスの 1 サイクルの DFT によって与えられます 。
1
/
(
N
T
)
,
{\displaystyle 1/(NT),}
s
[
n
]
{\displaystyle s[n]}
DTFTは周期的であるため、固有の高調波振幅の最大数は
(
1
/
T
)
/
(
1
/
(
N
T
)
)
=
N
.
{\displaystyle (1/T)/(1/(NT))=N.}
シーケンスの1サイクルのDFTは次 のようになります 。
s
[
n
]
{\displaystyle s[n]}
S
[
k
]
≜
∑
N
s
[
n
]
⋅
e
−
i
2
π
k
N
n
⏟
any n-sequence of length N
,
k
∈
Z
.
{\displaystyle S[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},\quad k\in \mathbf {Z} .}
そして 逆変換で表現することができ、 離散フーリエ級数 （DFS）と呼ばれることもある ： [1] ：p 542
s
[
n
]
{\displaystyle s[n]}
s
[
n
]
=
1
N
∑
N
S
[
k
]
⋅
e
i
2
π
k
N
n
⏟
any k-sequence of length N
,
n
∈
Z
.
{\displaystyle s[n]={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any k-sequence of length N}},\quad n\in \mathbf {Z} .}
これらの定義により、DTFT と DFT の関係を示すことができます 。
S
1
/
T
(
f
)
≜
∑
n
=
−
∞
∞
s
[
n
]
⋅
e
−
i
2
π
f
n
T
=
∑
n
=
−
∞
∞
[
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
S
[
k
]
⋅
e
i
2
π
k
N
n
]
⋅
e
−
i
2
π
f
n
T
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
S
[
k
]
[
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
2
π
k
N
n
⋅
e
−
i
2
π
f
n
T
]
⏟
DTFT
(
e
i
2
π
k
N
n
)
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
S
[
k
]
⋅
1
T
∑
M
=
−
∞
∞
δ
(
f
−
k
N
T
−
M
T
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{1/T}(f)&\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\underbrace {\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\cdot e^{-i2\pi fnT}\right]} _{\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot {\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}
[ハ] [バ] の両方の関数の周期性 により、 これは次のように簡略化できます 。
N
{\displaystyle N}
k
,
{\displaystyle k,}
S
1
/
T
(
f
)
=
1
N
T
∑
k
=
−
∞
∞
S
[
k
]
⋅
δ
(
f
−
k
N
T
)
,
{\displaystyle S_{1/T}(f)={\frac {1}{NT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right),}
これは逆変換の要件を満たす ：
s
[
n
]
=
T
∫
0
1
T
S
1
/
T
(
f
)
⋅
e
i
2
π
f
n
T
d
f
=
1
N
∑
k
=
−
∞
∞
S
[
k
]
∫
0
1
T
δ
(
f
−
k
N
T
)
e
i
2
π
f
n
T
d
f
⏟
zero for
k
∉
[
0
,
N
−
1
]
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
S
[
k
]
∫
0
1
T
δ
(
f
−
k
N
T
)
e
i
2
π
f
n
T
d
f
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
S
[
k
]
⋅
e
i
2
π
k
N
T
n
T
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
S
[
k
]
⋅
e
i
2
π
k
N
n
{\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{0}^{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\underbrace {\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df} _{{\text{zero for }}k\ \notin \ [0,N-1]}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{NT}}nT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\end{aligned}}}
DTFTのサンプリング DTFTが連続的な場合、周期関数の1サイクルの 任意の数のサンプルを計算するのが一般的です 。 [1] ：pp 557–559＆703 [2] ：p 76
(
N
)
{\displaystyle (N)}
S
1
/
T
{\displaystyle S_{1/T}}
S
1
/
T
(
k
N
T
)
⏟
S
k
=
∑
n
=
−
∞
∞
s
[
n
]
⋅
e
−
i
2
π
k
N
n
k
=
0
,
…
,
N
−
1
=
∑
N
s
N
[
n
]
⋅
e
−
i
2
π
k
N
n
,
⏟
DFT
(sum over any
n
-sequence of length
N
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {S_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}
ここで、 周期的な和は次のよう になります 。
s
N
{\displaystyle s_{_{N}}}
s
N
[
n
]
≜
∑
m
=
−
∞
∞
s
[
n
−
m
N
]
.
{\displaystyle s_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN].}
（ 離散フーリエ級数 を参照） この シーケンスは逆DFTです。したがって、DTFTのサンプリングにより逆変換が周期的になります。値の配列は ピリオドグラム と呼ばれ 、 同じ名前のMatlab関数ではパラメータはNFFTと呼ばれます。 [4]
s
N
{\displaystyle s_{_{N}}}
|
S
k
|
2
{\displaystyle |S_{k}|^{2}}
N
{\displaystyle N}
の 1 サイクルを数値的に評価するには 、有限長の シーケンスが必要です。たとえば、長いシーケンスは長 さの ウィンドウ関数 によって切り捨てられる可能性があり、その結果、特に言及する価値のある 3 つのケースが発生します。表記を簡単にするために、ウィンドウ関数によって変更された値を表すために、以下の値を検討してください 。
s
N
{\displaystyle s_{_{N}}}
s
[
n
]
{\displaystyle s[n]}
L
{\displaystyle L}
s
[
n
]
{\displaystyle s[n]}
ケース: 周波数デシメーション。 ある整数 （通常は6または8）
の場合
L
=
N
⋅
I
,
{\displaystyle L=N\cdot I,}
I
{\displaystyle I}
のサイクルは 長さのセグメント の合計に縮小されます 。DFT は次のようなさまざまな名前で呼ばれます 。
s
N
{\displaystyle s_{_{N}}}
I
{\displaystyle I}
N
.
{\displaystyle N.}
ウィンドウプレサムFFT [5] 重み、オーバーラップ、追加（WOLA） [6] [7] [8] [9] [10] [11] [C] [D] 多相DFT [9] [10] 多相フィルタバンク [12] 複数ブロックウィンドウ処理 と 時間エイリアシング [13 ] 一方の領域（時間または周波数）でサンプリングされたデータをデシメーションすると、他方の領域でオーバーラップ（ エイリアシング とも呼ばれる）が発生し、その逆も同様であることを思い出してください。 長さの DFT と比較すると、 合計/オーバーラップによって周波数でデシメーションが発生し、 [1] : p.558 スペクトル漏れ の影響が最も少ない DTFT サンプルのみが残ります。これは通常、FFT フィルタバンク （チャネライザ）を実装するときに優先されます 。長さの従来のウィンドウ関数では、 スカロップ損失は 許容されません。そのため、マルチブロックウィンドウは FIR フィルタ 設計ツールを使用して作成されます。 [14] [15] 周波数プロファイルは最高点で平坦で、残りの DTFT サンプル間の中間点で急速に低下します。パラメータの値が大きいほど 、潜在的なパフォーマンスが向上します。
L
{\displaystyle L}
s
N
{\displaystyle s_{_{N}}}
L
,
{\displaystyle L,}
I
,
{\displaystyle I,}
場合：
L
=
N
+
1
{\displaystyle L=N+1}
対称で、長さ が - の ウィンドウ関数 ( ) が 1 つの係数で切り捨てられる場合、それは 周期的 または DFT 偶数 と呼ばれます。これは一般的な方法ですが、切り捨てによって DTFT (スペクトル漏れ) がわずかに影響を受けます。その影響を特徴付けることは、少なくとも学術的な関心事です。 切り捨てられたウィンドウの 長さの DFT は、 ではなくの間隔で周波数サンプルを生成します。 サンプルは実数値ですが、 [16] : p.52 それらの値は対称ウィンドウの DTFT と正確には一致しません。周期的な合計は、長さの DFT とともに 、間隔 で DTFT をサンプリングするために使用することもできます。 それらのサンプルも実数値であり、DTFT と正確に一致します (例: File:Sampling the Discrete-time Fourier transform.svg )。間隔 でのスペクトル解析に完全対称ウィンドウを使用するには、データ サンプル とデータ サンプル を結合し (対称ウィンドウはこれらを均等に重み付けするため、加算によって)、切り捨てられた対称ウィンドウと 長さ DFT を適用します。
L
{\displaystyle L}
s
{\displaystyle s}
N
{\displaystyle N}
1
/
N
,
{\displaystyle 1/N,}
1
/
L
.
{\displaystyle 1/L.}
s
N
,
{\displaystyle s_{_{N}},}
N
{\displaystyle N}
1
/
N
.
{\displaystyle 1/N.}
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
n
=
0
{\displaystyle n=0}
n
=
N
{\displaystyle n=N}
N
{\displaystyle N}
図2. L = 64 、 N = 256 の場合の e i2πn/8 のDFT 図3. L = 64 、 N = 64 の場合の e i2πn/8 のDFT ケース: 周波数補間。
L
≤
N
{\displaystyle L\leq N}
この場合、DFT はより馴染みのある形式に簡略化されます 。
S
k
=
∑
n
=
0
N
−
1
s
[
n
]
⋅
e
−
i
2
π
k
N
n
.
{\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}
DFT を計算するための高速フーリエ変換アルゴリズムを利用するために、ゼロが含まれる 項であっても、通常はすべての項に対して合計が実行されます 。そのため、このケースは ゼロパディング と呼ばれることがよくあります 。
N
{\displaystyle N}
N
−
L
{\displaystyle N-L}
L
<
N
{\displaystyle L<N}
スペクトル漏れは 減少するにつれて増加し、複数の周波数成分の解像度や各 DTFT サンプルで測定されるノイズの量など、特定の重要なパフォーマンス メトリックに悪影響を及ぼします。ただし、シーケンスがウィンドウ関数によって形作られたノイズのない正弦波 (または定数) である場合など、これらのことは常に問題になるわけではありません。その場合、 ゼロ パディングを 使用してウィンドウ関数の詳細な漏れパターンをグラフィカルに表示し、比較するのが一般的です 。長方形のウィンドウの場合、これを説明するために、次のシーケンスを検討します。
L
{\displaystyle L}
s
[
n
]
{\displaystyle s[n]}
s
[
n
]
=
e
i
2
π
1
8
n
,
{\displaystyle s[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }
そして
L
=
64.
{\displaystyle L=64.}
図 2 と 3 は、 ラベルに示されているように、2 つの異なるサイズの DFT の大きさのプロットです。どちらの場合も、支配的な成分は信号周波数にあります: 。また、 図 2 には、長方形ウィンドウのスペクトル漏れパターンも表示されています。 図 3 の錯覚は 、DTFT をゼロ交差でのみサンプリングした結果です。有限長シーケンスの DTFT ではなく、無限に長い正弦波シーケンスのような印象を与えます。この錯覚の原因は、長方形ウィンドウの使用と、64 サンプルあたりちょうど 8 (整数) サイクルの周波数 (1/8 = 8/64) の選択です。Hann ウィンドウで も同様の結果が得られますが、ピークが 3 サンプルに広がります (DFT 偶数 Hann ウィンドウを参照)。
f
=
1
/
8
=
0.125
{\displaystyle f=1/8=0.125}
L
=
64
{\displaystyle L=64}
畳み込み シーケンスの 畳み込み定理は次のとおり です 。
s
∗
y
=
D
T
F
T
−
1
[
D
T
F
T
{
s
}
⋅
D
T
F
T
{
y
}
]
.
{\displaystyle s*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}
[17] : p.297 [d] 重要な特殊なケースとして、 シーケンス s と yの 循環畳み込みが あります。これは、 が周期的な和 として定義されます 。 の離散周波数特性は、 連続関数との積 も離散的であることを意味し、その結果、逆変換が大幅に簡素化されます 。
s
N
∗
y
,
{\displaystyle s_{_{N}}*y,}
s
N
{\displaystyle s_{_{N}}}
D
T
F
T
{
s
N
}
{\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}}
D
T
F
T
{
y
}
{\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}
s
N
∗
y
=
D
T
F
T
−
1
[
D
T
F
T
{
s
N
}
⋅
D
T
F
T
{
y
}
]
=
D
F
T
−
1
[
D
F
T
{
s
N
}
⋅
D
F
T
{
y
N
}
]
.
{\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}
[18] [1] : p.548 非ゼロの持続時間がN 以下である s および y シーケンスの場合 、最終的な簡略化は次のようになります 。
s
N
∗
y
=
D
F
T
−
1
[
D
F
T
{
s
}
⋅
D
F
T
{
y
}
]
.
{\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}
この結果の重要性については、 循環畳み込み と 高速畳み込みアルゴリズム で説明されています。
対称性の特性 複素関数の実部と虚部を 偶数部と奇数部 に分解すると、4つの成分があり、以下では下付き文字 RE、RO、IE、IOで表されます。 複素時間関数の4つの成分と複素周波数変換の4つの成分の間には1対1のマッピングがあります 。 [17] ：p.291
T
i
m
e
d
o
m
a
i
n
s
=
s
RE
+
s
RO
+
i
s
IE
+
i
s
IO
⏟
⇕
F
⇕
F
⇕
F
⇕
F
⇕
F
F
r
e
q
u
e
n
c
y
d
o
m
a
i
n
S
=
S
RE
+
i
S
IO
⏞
+
i
S
IE
+
S
RO
{\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&i\ s_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {i\ S_{\text{IO}}\,} &+&i\ S_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}
このことから、次のようなさまざまな関係が明らかになります 。
実数値関数の変換は 共役対称 関数 です。 逆に、 共役対称 変換は実数値の時間領域を意味します。
(
s
R
E
+
s
R
O
)
{\displaystyle (s_{_{RE}}+s_{_{RO}})}
S
R
E
+
i
S
I
O
.
{\displaystyle S_{RE}+i\ S_{IO}.}
虚数値関数の変換は 共役反対称 関数 であり 、その逆もまた真である。
(
i
s
I
E
+
i
s
I
O
)
{\displaystyle (i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})}
S
R
O
+
i
S
I
E
,
{\displaystyle S_{RO}+i\ S_{IE},}
共役対称 関数 の変換は 実数値関数であり 、その逆もまた真です。
(
s
R
E
+
i
s
I
O
)
{\displaystyle (s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})}
S
R
E
+
S
R
O
,
{\displaystyle S_{RE}+S_{RO},}
共役反対称 関数 の変換は 虚数値関数であり 、その逆もまた真である。
(
s
R
O
+
i
s
I
E
)
{\displaystyle (s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})}
i
S
I
E
+
i
S
I
O
,
{\displaystyle i\ S_{IE}+i\ S_{IO},}
S
2
π
(
ω
)
{\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}
は、双対Z変換 によっても表現できる フーリエ級数 です 。つまり 、
S
2
π
(
ω
)
=
S
z
(
z
)
|
z
=
e
i
ω
=
S
z
(
e
i
ω
)
,
{\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\left.S_{z}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}=S_{z}(e^{i\omega }),}
ここで、 表記はZ変換とフーリエ変換を区別するものです。したがって、Z変換の一部をフーリエ変換で表すこともできます 。
S
z
{\displaystyle S_{z}}
S
z
(
e
i
ω
)
=
S
1
/
T
(
ω
2
π
T
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
S
(
ω
2
π
T
−
k
/
T
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
S
(
ω
−
2
π
k
2
π
T
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{z}(e^{i\omega })&=\ S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}
パラメータ T が変化すると、項は 一定の間隔を保ち 、その幅は拡大または縮小することに注意してください。S 1/ T ( f ) の項は 一定 の 幅 を 保ち 、 その間隔 1/ T は拡大または縮小します。
S
2
π
(
ω
)
{\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
一般的な変換ペアのいくつかを下の表に示します。次の表記が適用されます 。
ω
=
2
π
f
T
{\displaystyle \omega =2\pi fT}
は連続角周波数を表す実数です（サンプルあたりのラジアン単位）。 （ はサイクル/秒単位、 は 秒/サンプル単位です）。 表のすべてのケースで、DTFT は 2π 周期です（ ）。
f
{\displaystyle f}
T
{\displaystyle T}
ω
{\displaystyle \omega }
S
2
π
(
ω
)
{\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}
で定義された関数を指定します 。
−
∞
<
ω
<
∞
{\displaystyle -\infty <\omega <\infty }
S
o
(
ω
)
{\displaystyle S_{o}(\omega )}
はで定義された関数を指定し 、それ以外の場所ではゼロを指定します。
−
π
<
ω
≤
π
{\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }
S
2
π
(
ω
)
≜
∑
k
=
−
∞
∞
S
o
(
ω
−
2
π
k
)
.
{\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k).}
δ
(
ω
)
{\displaystyle \delta (\omega )}
ディラックのデルタ関数 である
sinc
(
t
)
{\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}
正規化された sinc関数
rect
[
n
L
]
≜
{
1
|
n
|
≤
L
/
2
0
|
n
|
>
L
/
2
{\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}}
tri
(
t
)
{\displaystyle \operatorname {tri} (t)}
三角形 関数 n は離散時間領域を表す整数（サンプル単位）
u
[
n
]
{\displaystyle u[n]}
離散時間 単位ステップ関数
δ
[
n
]
{\displaystyle \delta [n]}
クロネッカー デルタ
δ
n
,
0
{\displaystyle \delta _{n,0}}
プロパティ この表は、時間領域におけるいくつかの数学的演算と、それに対応する周波数領域の効果を示しています。
∗
{\displaystyle *\!}
2つのシーケンスの 離散畳み込み である
s
∗
[
n
]
{\displaystyle s^{*}[n]}
は複素共役 で ある
s
[
n
]
.
{\displaystyle s[n].}
参照
注記
^ 実際、 式2は 次のように正当化されることが多い ： [1] ：p.143、式4.6
F
{
∑
n
=
−
∞
∞
T
⋅
s
(
n
T
)
⋅
δ
(
t
−
n
T
)
}
=
F
{
s
(
t
)
⋅
T
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
)
}
=
S
(
f
)
∗
F
{
T
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
)
}
=
S
(
f
)
∗
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
f
−
k
T
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
S
(
f
−
k
T
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}}
^ § 離散時間フーリエ変換の表から次の式が得られます。
DTFT
(
e
i
2
π
k
N
n
)
=
2
π
∑
M
=
−
∞
∞
δ
(
ω
−
2
π
k
N
−
2
π
M
)
=
2
π
∑
M
=
−
∞
∞
δ
(
2
π
f
T
−
2
π
k
N
−
2
π
M
)
=
2
π
∑
M
=
−
∞
∞
1
2
π
T
δ
(
1
2
π
T
(
2
π
f
T
−
2
π
k
N
−
2
π
M
)
)
=
1
T
∑
M
=
−
∞
∞
δ
(
f
−
k
N
T
−
M
T
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)&=2\pi \sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -2\pi {\frac {k}{N}}-2\pi M\right)\\&=2\pi \sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(2\pi fT-2\pi {\frac {k}{N}}-2\pi M\right)\\&=2\pi \sum _{M=-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{2\pi T}}\ \delta \left({\tfrac {1}{2\pi T}}\left(2\pi fT-2\pi {\frac {k}{N}}-2\pi M\right)\right)\\&={\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}
^ WOLA を区分畳み込みの オーバーラップ加算法 と混同しないでください 。 ^ WOLA の例: ファイル:WOLA チャネルライザーの例.png ^ この表現は次のように導かれる: [1] : p.168
∑
n
=
−
∞
∞
s
(
n
M
T
)
e
−
i
ω
n
=
1
M
T
∑
k
=
−
∞
∞
S
(
ω
2
π
M
T
−
k
M
T
)
=
1
M
T
∑
m
=
0
M
−
1
∑
n
=
−
∞
∞
S
(
ω
2
π
M
T
−
m
M
T
−
n
T
)
,
where
k
→
m
+
n
M
=
1
M
∑
m
=
0
M
−
1
1
T
∑
n
=
−
∞
∞
S
(
(
ω
−
2
π
m
)
/
M
2
π
T
−
n
T
)
=
1
M
∑
m
=
0
M
−
1
S
2
π
(
ω
−
2
π
m
M
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nMT)\ e^{-i\omega n}&={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {k}{MT}}\right)\\&={\frac {1}{MT}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad \sum _{n=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi MT}}-{\tfrac {m}{MT}}-{\tfrac {n}{T}}\right),\quad {\text{where}}\quad k\rightarrow m+nM\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {(\omega -2\pi m)/M}{2\pi T}}-{\tfrac {n}{T}}\right)\\&={\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}\quad S_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\end{aligned}}}
ページ引用
^ オッペンハイムとシェーファー、 [1] p 147 (4.17)、そこでは 、
x
[
n
]
≜
s
(
n
T
)
=
1
T
s
[
n
]
,
{\displaystyle x[n]\triangleq s(nT)={\tfrac {1}{T}}s[n],}
X
(
e
i
ω
)
≜
1
T
S
2
π
(
ω
)
.
{\displaystyle X(e^{i\omega })\triangleq {\tfrac {1}{T}}S_{2\pi }(\omega ).}
^ オッペンハイムとシェーファー、 [1] p 147 (4.20)、p 694 (10.1)、およびプランドーニとヴェッターリ、 [2] p 255、(9.33)、ここで :
ω
≜
2
π
f
T
,
{\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}
X
c
(
i
2
π
f
)
≜
S
(
f
)
.
{\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq S(f).}
^ Oppenheim and Schafer、 [1] p 551 (8.35)、および Prandoni and Vetterli、 [2] p 82、(4.43)。定義 : この式 は、 3 番目のステップから 4 番目のステップに進むときにこの式が失われたため、 参考文献とは 倍の差があります。具体的には、 § 離散時間フーリエ変換の表における DTFT には、 参考文献で省略されている 倍の係数があります。
X
~
(
e
i
ω
)
≜
1
T
S
2
π
(
ω
)
,
{\displaystyle {\tilde {X}}(e^{i\omega })\triangleq {\tfrac {1}{T}}S_{2\pi }(\omega ),}
ω
≜
2
π
f
T
,
{\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT,}
X
~
[
k
]
≜
S
[
k
]
,
{\displaystyle {\tilde {X}}[k]\triangleq S[k],}
δ
(
2
π
f
T
−
2
π
k
N
)
≡
δ
(
f
−
k
N
T
)
/
(
2
π
T
)
,
{\displaystyle \delta \left(2\pi fT-{\tfrac {2\pi k}{N}}\right)\equiv \delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)/(2\pi T),}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
e
−
i
a
n
{\displaystyle e^{-ian}}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
^ オッペンハイムとシェーファー、 [1] p 60、(2.169)、およびプランドーニとヴェッターリ、 [2] p 122、(5.21)
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![{\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi fTn}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7875b54305c34b83f906231224531485ce3338)
![{\displaystyle [-f_{s}/2,f_{s}/2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b709f5f5354894fddd10bd415574d7f9483d742)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{S_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451339201583cba42613ba289ad488d5a39b7d12)
![{\displaystyle s[n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a39b84525014c72e20ec82b305a954eef9e1fc5)
![{\displaystyle s[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe878c033cc70d1aa3ffbd156394791aa8dffde)
![{\displaystyle S[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{長さ N の任意の n 次元シーケンス}},\quad k\in \mathbf {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae72313020b48e816fa6ef4b80d004036aac50c)
![{\displaystyle s[n]={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{長さ N の任意の k シーケンス}},\quad n\in \mathbf {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5aca5c8875f17be50fbe641955074dc69fdc545)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{1/T}(f)&\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\underbrace {\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\cdot e^{-i2\pi fnT}\right]} _{\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot {\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4cff4bbb838ed2e4d9c0a7657a8f929988db9d)
![{\displaystyle S_{1/T}(f)={\frac {1}{NT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567d2c32c4f7f6e9c111d478a55c2efd38332f54)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{0}^{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\underbrace {\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df} _{{\text{zero for }}k\ \notin \ [0,N-1]}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{NT}}nT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d03d98a2a336d20310c6e214faa108b97b4bfd5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {S_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(長さ }}N の任意の }}n{\text{-シーケンスの合計)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a9e4372e41342f45ffad49c36514a852e551f1)
![{\displaystyle s_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9523612ddd0dbc4d3328fae56063fe9f8a1a7126)
![{\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c6fa38b418a79fb2e540007dabeb9660e49a57)
![{\displaystyle s[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52191ef04aa2c8da9c9111acd10bddee1547069e)
![{\displaystyle s*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c93a9e98a6b820b8c1b03ae9ee229a1efd78e50)
![{\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3afa578be27f23f92bfc3ce68d15333facef5d88)
![{\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd821bce1380ce4fc6d5bf1bc54ecf6285baa36)
![{\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c667571bd82eac9350ddadb9bc4d221711789c0f)
![{\displaystyle u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f1362207606428a09d907db25527859eab6ac3)
![{\displaystyle \delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6caf535cb44fa3526b2f320330a805edfdfaa)
![{\displaystyle s^{*}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1988db4ff646994a33dbda5914676c663ac5df81)
![{\displaystyle x[n]\triangleq s(nT)={\tfrac {1}{T}}s[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6210aa1753608c62d8c1137c50cd0f813406254d)
![{\displaystyle {\tilde {X}}[k]\triangleq S[k],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a544929a6014e8b088f8808d75ff68cd92623e)
