行列の積の種類
数学において、 2つの 分割行列 の カトリ・ラオ積 または ブロッククロネッカー積 は 次のように定義される [1] [2] [3]
あ
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
あ
∗
B
=
（
あ
私 じゅう
⊗
B
私 じゅう
）
私 じゅう
{\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{ij}\right)_{ij}}
ここで、 ij 番目のブロックは、 A と B の対応するブロックの m i p i × n j q j サイズの クロネッカー積です。ただし、両方の 行列 の行と列の分割数は 等しいと仮定します。積のサイズは、 (Σ i m i p i ) × (Σ j n j q j ) です。
たとえば、 A と B が 両方とも 2 × 2 の分割行列である場合、次のようになります。
あ
=
[
あ
11
あ
12
あ
21
あ
22
]
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
、
B
=
[
B
11
B
12
B
21
B
22
]
=
[
1
4
7
2
5
8
3
6
9
]
、
{\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | cc}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}
次が得られます:
あ
∗
B
=
[
あ
11
⊗
B
11
あ
12
⊗
B
12
あ
21
⊗
B
21
あ
22
⊗
B
22
]
=
[
1
2
12
21
4
5
24
42
14
16
45
72
21
24
54
81
]
。
{\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf { A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{配列}}\right]=\left[{\begin{array}{cc | cc}1&2&12&21\\4&5&24&42\\\hline 14&16&45&72\\21&24&54&81\end{array}}\right].}
これは2つの行列のTracy-Singh積 [4] の部分行列です（この例の各パーティションは Tracy-Singh積
の角のパーティションです ）。
列方向のクロネッカー積 2 つの行列の列方向の クロネッカー積は 、上で定義したカトリ・ラオ積の特殊なケースであり、カトリ・ラオ積とも呼ばれます 。 この積は、行列の分割が列であると想定しています。この場合、 m 1 = m 、 p 1 = p 、 n = q であり、各 j について、 n j = q j = 1 です。結果の積は mp × n 行列で、各列はA と B の対応する列のクロネッカー積です 。列が分割された前の例の行列を使用すると、次のようになります。
Ｃ
=
[
Ｃ
1
Ｃ
2
Ｃ
3
]
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
、
だ
=
[
だ
1
だ
2
だ
3
]
=
[
1
4
7
2
5
8
3
6
9
]
、
{\displaystyle \mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c | c | c}\mathbf {C} _{1}&\mathbf {C} _{2}&\mathbf {C} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {D} _{1}&\mathbf {D} _{2}&\mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}
となることによって：
C
∗
D
=
[
C
1
⊗
D
1
C
2
⊗
D
2
C
3
⊗
D
3
]
=
[
1
8
21
2
10
24
3
12
27
4
20
42
8
25
48
12
30
54
7
32
63
14
40
72
21
48
81
]
.
{\displaystyle \mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}&\mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}&\mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&8&21\\2&10&24\\3&12&27\\4&20&42\\8&25&48\\12&30&54\\7&32&63\\14&40&72\\21&48&81\end{array}}\right].}
このカトリ・ラオ積の列方向バージョンは、データ分析処理に対する線形代数アプローチ [5] や、対角行列を扱う逆問題の解の最適化に役立ちます。 [6] [7]
1996年に、デジタルアンテナアレイ におけるマルチパス信号の 到着角度 （AOA）と遅延 [8] および信号源の4つの座標 [9] を推定するために、列方向のKhatri-Rao積が提案されました 。
顔を割る製品 行列の面分割積 行列積の代替概念として、与えられた行数の行列を行ごとに分割する手法が、 1996年に V. Slyusar [10]によって提案された。 [9] [11] [12] [13] [14]
この行列演算は、行列の「面分割積」 [11] [13] または「転置カトリ・ラオ積」と名付けられました。このタイプの演算は、2つの行列の行ごとの クロネッカー積 に基づいています。前の例の行を分割した行列を使用すると、次のようになります。
C
=
[
C
1
C
2
C
3
]
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
,
D
=
[
D
1
D
2
D
3
]
=
[
1
4
7
2
5
8
3
6
9
]
,
{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\\hline 4&5&6\\\hline 7&8&9\end{bmatrix}},\quad \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7\\\hline 2&5&8\\\hline 3&6&9\end{bmatrix}},}
次のような結果が得られる: [9] [11] [13]
C
∙
D
=
[
C
1
⊗
D
1
C
2
⊗
D
2
C
3
⊗
D
3
]
=
[
1
4
7
2
8
14
3
12
21
8
20
32
10
25
40
12
30
48
21
42
63
24
48
72
27
54
81
]
.
{\displaystyle \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&42&63&24&48&72&27&54&81\end{bmatrix}}.}
主な特性 転置 ( V. Slyusar 、1996 [9] [11] [12] ):
(
A
∙
B
)
T
=
A
T
∗
B
T
{\displaystyle \left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}
、 双線性 と 結合性 : [9] [11] [12]
A
∙
(
B
+
C
)
=
A
∙
B
+
A
∙
C
,
(
B
+
C
)
∙
A
=
B
∙
A
+
C
∙
A
,
(
k
A
)
∙
B
=
A
∙
(
k
B
)
=
k
(
A
∙
B
)
,
(
A
∙
B
)
∙
C
=
A
∙
(
B
∙
C
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} +\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\bullet \mathbf {A} &=\mathbf {B} \bullet \mathbf {A} +\mathbf {C} \bullet \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\bullet \mathbf {B} &=\mathbf {A} \bullet (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} &=\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} ),\\\end{aligned}}}
ここで、 A 、 B 、 C は行列、 kは スカラー である 。
a
∙
B
=
B
∙
a
{\displaystyle a\bullet \mathbf {B} =\mathbf {B} \bullet a}
, [12]
ここで ベクトル は 、
a
{\displaystyle a}
混合積の性質 （ V. Slyusar 、1997 [12] ）：
(
A
∙
B
)
(
A
T
∗
B
T
)
=
(
A
A
T
)
∘
(
B
B
T
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)}
、
(
A
∙
B
)
(
C
∗
D
)
=
(
A
C
)
∘
(
B
D
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {D} )}
, [13]
(
A
∙
B
∙
C
∙
D
)
(
L
∗
M
∗
N
∗
P
)
=
(
A
L
)
∘
(
B
M
)
∘
(
C
N
)
∘
(
D
P
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \bullet \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(\mathbf {L} \ast \mathbf {M} \ast \mathbf {N} \ast \mathbf {P} )=(\mathbf {A} \mathbf {L} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {M} )\circ (\mathbf {C} \mathbf {N} )\circ (\mathbf {D} \mathbf {P} )}
[15]
(
A
∗
B
)
T
(
A
∗
B
)
=
(
A
T
A
)
∘
(
B
T
B
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )^{\textsf {T}}(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )=\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} \right)\circ \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} \right)}
, [16]
ここで は アダマール積 を表し 、
∘
{\displaystyle \circ }
(
A
∘
B
)
∙
(
C
∘
D
)
=
(
A
∙
C
)
∘
(
B
∙
D
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\bullet (\mathbf {C} \circ \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \bullet \mathbf {D} )}
, [12]
a
⊗
(
B
∙
C
)
=
(
a
⊗
B
)
∙
C
{\displaystyle \ a\otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(a\otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} }
[9]
ここで は行 ベクトル で あり 、
a
{\displaystyle a}
(
A
⊗
B
)
(
C
∗
D
)
=
(
A
C
)
∗
(
B
D
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\ast (\mathbf {B} \mathbf {D} )}
, [16]
(
A
⊗
B
)
∗
(
C
⊗
D
)
=
P
[
(
A
∗
C
)
⊗
(
B
∗
D
)
]
{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\ast (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {P} [(\mathbf {A} \ast \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \ast \mathbf {D} )]}
、ここで は 順列行列である。 [7]
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
(
A
∙
B
)
(
C
⊗
D
)
=
(
A
C
)
∙
(
B
D
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} )}
, [13] [15]
同様に:
(
A
∙
L
)
(
B
⊗
M
)
⋯
(
C
⊗
S
)
=
(
A
B
⋯
C
)
∙
(
L
M
⋯
S
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} )}
、
c
T
∙
d
T
=
c
T
⊗
d
T
{\displaystyle c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}}
, [12]
c
∗
d
=
c
⊗
d
{\displaystyle c\ast d=c\otimes d}
、
ここで 、およびは ベクトル であり 、
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
(
A
∗
c
T
)
d
=
(
A
∗
d
T
)
c
{\displaystyle \left(\mathbf {A} \ast c^{\textsf {T}}\right)d=\left(\mathbf {A} \ast d^{\textsf {T}}\right)c}
, [17] ,
d
T
(
c
∙
A
T
)
=
c
T
(
d
∙
A
T
)
{\displaystyle d^{\textsf {T}}\left(c\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=c^{\textsf {T}}\left(d\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)}
(
A
∙
B
)
(
c
⊗
d
)
=
(
A
c
)
∘
(
B
d
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)}
, [18]
ここで 、およびは ベクトル です （これは、プロパティ 3 と 8 の組み合わせです）。同様に、
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
(
A
∙
B
)
(
M
N
c
⊗
Q
P
d
)
=
(
A
M
N
c
)
∘
(
B
Q
P
d
)
,
{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d),}
F
(
(
C
(
1
)
x
)
⋆
(
C
(
2
)
y
)
)
=
(
(
F
C
(
1
)
)
∙
(
F
C
(
2
)
)
)
(
x
⊗
y
)
=
(
F
C
(
1
)
x
)
∘
(
F
C
(
2
)
y
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left((C^{(1)}x)\star (C^{(2)}y)\right)=\left(({\mathcal {F}}C^{(1)})\bullet ({\mathcal {F}}C^{(2)})\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}x)\circ ({\mathcal {F}}C^{(2)}y)}
、
ここで、 はベクトル 畳み込み 、 は「カウントスケッチ」行列、は フーリエ変換行列 です（この結果は カウントスケッチ 特性 [19] の発展形です ）。
これは適切な行列に対して一般化できます 。
⋆
{\displaystyle \star }
C
(
1
)
,
C
(
2
)
{\displaystyle C^{(1)},C^{(2)}}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
A
,
B
{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }
F
(
(
A
x
)
⋆
(
B
y
)
)
=
(
(
F
A
)
∙
(
F
B
)
)
(
x
⊗
y
)
=
(
F
A
x
)
∘
(
F
B
y
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left((\mathbf {A} x)\star (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {F}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {F}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}
なぜなら、上記の性質11は、
(
(
F
A
)
∙
(
F
B
)
)
(
x
⊗
y
)
=
(
F
A
x
)
∘
(
F
B
y
)
{\displaystyle \left(({\mathcal {F}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {F}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}
そして 畳み込み定理 は
F
(
(
A
x
)
⋆
(
B
y
)
)
=
(
F
A
x
)
∘
(
F
B
y
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left((\mathbf {A} x)\star (\mathbf {B} y)\right)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}
A
∙
B
=
(
A
⊗
1
k
T
)
∘
(
1
c
T
⊗
B
)
{\displaystyle \mathbf {A} \bullet \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_{k}} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1_{c}} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} \right)}
, [20]
ここで、 は 行列、 は 行列、 は長さの1のベクトル 、 は長さの1のベクトル
または
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
r
×
c
{\displaystyle r\times c}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
r
×
k
{\displaystyle r\times k}
1
c
{\displaystyle \mathbf {1_{c}} }
c
{\displaystyle c}
1
k
{\displaystyle \mathbf {1_{k}} }
k
{\displaystyle k}
M
∙
M
=
(
M
⊗
1
T
)
∘
(
1
T
⊗
M
)
{\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} \right)}
, [21]
ここで 、 は 行列、 は 要素ごとの乗算を意味し、 は 長さ の 1 のベクトルです 。
M
{\displaystyle \mathbf {M} }
r
×
c
{\displaystyle r\times c}
∘
{\displaystyle \circ }
1
{\displaystyle \mathbf {1} }
c
{\displaystyle c}
M
∙
M
=
M
[
∘
]
(
M
⊗
1
T
)
{\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ]\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)}
、
ここで、は行列の 面積 を表す 。 [13]
同様に、
[
∘
]
{\displaystyle [\circ ]}
P
∗
N
=
(
P
⊗
1
k
)
∘
(
1
c
⊗
N
)
{\displaystyle \mathbf {P} \ast \mathbf {N} =(\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_{k}} )\circ (\mathbf {1_{c}} \otimes \mathbf {N} )}
、ここで は 行列、 は 行列、。
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
c
×
r
{\displaystyle c\times r}
N
{\displaystyle \mathbf {N} }
k
×
r
{\displaystyle k\times r}
W
d
A
=
w
∙
A
{\displaystyle \mathbf {W_{d}} \mathbf {A} =\mathbf {w} \bullet \mathbf {A} }
, [12]
vec
(
(
w
T
∗
A
)
B
)
=
(
B
T
∗
A
)
w
{\displaystyle \operatorname {vec} ((\mathbf {w} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {B} )=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w} }
[13] = = 、
vec
(
A
(
w
∙
B
)
)
{\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {A} (\mathbf {w} \bullet \mathbf {B} ))}
vec
(
A
W
d
B
)
{\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {A} \mathbf {W_{d}} \mathbf {B} )}
vec
(
A
T
W
d
A
)
=
(
A
∙
A
)
T
w
{\displaystyle \operatorname {vec} \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {A} \right)^{\textsf {T}}\mathbf {w} }
, [21]
ここで、は の対角要素からなるベクトルであり 、行列の 列を積み重ねて ベクトルを作成することを意味します。
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
W
d
{\displaystyle \mathbf {W_{d}} }
vec
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {A} )}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
(
A
∙
L
)
(
B
⊗
M
)
⋯
(
C
⊗
S
)
(
K
∗
T
)
=
(
A
B
.
.
.
C
K
)
∘
(
L
M
.
.
.
S
T
)
{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {T} )}
. [13] [15]
同様に:
(
A
∙
L
)
(
B
⊗
M
)
⋯
(
C
⊗
S
)
(
c
⊗
d
)
=
(
A
B
⋯
C
c
)
∘
(
L
M
⋯
S
d
)
,
(
A
∙
L
)
(
B
⊗
M
)
⋯
(
C
⊗
S
)
(
P
c
⊗
Q
d
)
=
(
A
B
⋯
C
P
c
)
∘
(
L
M
⋯
S
Q
d
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} d),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} d)\end{aligned}}}
、
ここで 、およびは ベクトル である。
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
例 出典: [18]
(
[
1
0
0
1
1
0
]
∙
[
1
0
1
0
0
1
]
)
(
[
1
1
1
−
1
]
⊗
[
1
1
1
−
1
]
)
(
[
σ
1
0
0
σ
2
]
⊗
[
ρ
1
0
0
ρ
2
]
)
(
[
x
1
x
2
]
∗
[
y
1
y
2
]
)
=
(
[
1
0
0
1
1
0
]
∙
[
1
0
1
0
0
1
]
)
(
[
1
1
1
−
1
]
[
σ
1
0
0
σ
2
]
[
x
1
x
2
]
⊗
[
1
1
1
−
1
]
[
ρ
1
0
0
ρ
2
]
[
y
1
y
2
]
)
=
[
1
0
0
1
1
0
]
[
1
1
1
−
1
]
[
σ
1
0
0
σ
2
]
[
x
1
x
2
]
∘
[
1
0
1
0
0
1
]
[
1
1
1
−
1
]
[
ρ
1
0
0
ρ
2
]
[
y
1
y
2
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\ast {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]{}={}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\otimes \,{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]{}={}&{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\circ \,{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
定理 出典: [18]
の場合 、独立成分は 独立同一分布の行を持つ ランダム行列であり 、
M
=
T
(
1
)
∙
⋯
∙
T
(
c
)
{\displaystyle M=T^{(1)}\bullet \dots \bullet T^{(c)}}
T
(
1
)
,
…
,
T
(
c
)
{\displaystyle T^{(1)},\dots ,T^{(c)}}
T
{\displaystyle T}
T
1
,
…
,
T
m
∈
R
d
{\displaystyle T_{1},\dots ,T_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}
E
[
(
T
1
x
)
2
]
=
‖
x
‖
2
2
{\displaystyle E\left[(T_{1}x)^{2}\right]=\left\|x\right\|_{2}^{2}}
そして 、
E
[
(
T
1
x
)
p
]
1
p
≤
a
p
‖
x
‖
2
{\displaystyle E\left[(T_{1}x)^{p}\right]^{\frac {1}{p}}\leq {\sqrt {ap}}\|x\|_{2}}
すると任意のベクトル
x
{\displaystyle x}
|
‖
M
x
‖
2
−
‖
x
‖
2
|
<
ε
‖
x
‖
2
{\displaystyle \left|\left\|Mx\right\|_{2}-\left\|x\right\|_{2}\right|<\varepsilon \left\|x\right\|_{2}}
行数
が
1
−
δ
{\displaystyle 1-\delta }
m
=
(
4
a
)
2
c
ε
−
2
log
1
/
δ
+
(
2
a
e
)
ε
−
1
(
log
1
/
δ
)
c
.
{\displaystyle m=(4a)^{2c}\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +(2ae)\varepsilon ^{-1}(\log 1/\delta )^{c}.}
特に、のエントリ が 取得できる
場合
T
{\displaystyle T}
±
1
{\displaystyle \pm 1}
m
=
O
(
ε
−
2
log
1
/
δ
+
ε
−
1
(
1
c
log
1
/
δ
)
c
)
{\displaystyle m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +\varepsilon ^{-1}\left({\frac {1}{c}}\log 1/\delta \right)^{c}\right)}
これは、が小さい とき の ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題 と一致します。
m
=
O
(
ε
−
2
log
1
/
δ
)
{\displaystyle m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta \right)}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ブロック面分割製品 多面レーダーモデルにおける転置ブロック面分割積 [15] V. Slyusar [9] [13] の定義によれば、 ブロック内の行数を与えられた
2つの 分割行列 のブロック面分割積は、
A
=
[
A
11
A
12
A
21
A
22
]
,
B
=
[
B
11
B
12
B
21
B
22
]
,
{\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right],}
次のように書くことができます:
A
[
∙
]
B
=
[
A
11
∙
B
11
A
12
∙
B
12
A
21
∙
B
21
A
22
∙
B
22
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\bullet \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\bullet \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\bullet \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\bullet \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].}
ブロック内の列数を与えられた2つの 分割行列 の転置ブロック 面分割積 （またはブロック列方向のカトリ・ラオ積）は、次のような見方ができる。 [9] [13]
A
[
∗
]
B
=
[
A
11
∗
B
11
A
12
∗
B
12
A
21
∗
B
21
A
22
∗
B
22
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\ast \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\ast \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\ast \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\ast \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].}
主な特性 転置 ：
(
A
[
∗
]
B
)
T
=
A
T
[
∙
]
B
T
{\displaystyle \left(\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}[\bullet ]\mathbf {B} ^{\textsf {T}}}
[15]
アプリケーション デジタル アンテナ アレイの テンソル 行列理論 で使用される面分割積とブロック面分割積 。これらの演算は、次の場合にも使用されます。
参照
注記
^ Khatri CG、 CR Rao (1968)。「いくつかの関数方程式の解と確率分布の特性評価への応用」。Sankhya。30 : 167–180 。 2010年10月 23日 時点の オリジナル (PDF)からアーカイブ。 2008年8月21日 閲覧 。 ^ Liu, Shuangzhe (1999). 「Khatri–Rao積とTracy–Singh積の行列結果」. 線形代数とその応用 . 289 (1–3): 267–277. doi : 10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .
^ Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002)、「半正定値行列のカトリ・ラオ積を含む不等式」、 応用数学 E-notes 、 2 : 117–124 ^ Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz (2008). 「アダマール、カトリ・ラオ、クロネッカーおよびその他の行列積」. 国際情報システム科学ジャーナル . 4 (1): 160–177.
^ 例えば、HD Macedo と JN Oliveira の「OLAP への線形代数アプローチ」を参照してください。Formal Aspects of Computing、27(2):283–307、2015。 ^ Lev-Ari, Hanoch (2005-01-01). 「マルチスタティックアンテナアレイ処理への応用による線形行列方程式の効率的な解法」 (PDF) . Communications in Information & Systems . 05 (1): 123–130. doi : 10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5 . ISSN 1526-7555. ^ ab Masiero, B.; Nascimento, VH (2017-05-01). 「クロネッカー配列変換の再考」. IEEE Signal Processing Letters . 24 (5): 525–529. Bibcode :2017ISPL...24..525M. doi :10.1109/LSP.2017.2674969. ISSN 1070-9908. S2CID 14166014. ^ Vanderveen, MC, Ng, BC, Papadias, CB, & Paulraj, A. (nd). マルチパス環境における信号のジョイント角度および遅延推定 (JADE)。信号、システム、およびコンピューターに関する第 30 回アシロマ会議の会議記録。– DOI:10.1109/acssc.1996.599145 ^ abcdefgh Slyusar、VI (1996 年 12 月 27 日)。 「レーダー用途におけるエンドマトリックス製品」 (PDF) 。 イズベスチヤ VUZ: Radioelektronika 。 41 (3): 71-75。 ^ アンナ・エステベ、エヴァ・ボイ、ジョセップ・フォルティアナ（2009）：「距離ベース回帰における相互作用項」、 統計におけるコミュニケーション - 理論と方法 、38：19、p. 3501 [1] ^ abcde Slyusar, VI (1997-05-20). 「面分割行列積に基づくデジタルアンテナアレイの解析モデル」 (PDF) . Proc. ICATT-97, キエフ : 108–109. ^ abcdefgh Slyusar, VI (1997-09-15). 「レーダーへの応用のための行列積の新しい演算」 (PDF) . Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97)、リヴィウ : 73–74。 ^ abcdefghij Slyusar、VI (1998 年 3 月 13 日)。 「行列の面積のファミリーとそのプロパティ」 (PDF) 。 Kibernetika I Sistemnyi Analiz のサイバネティクスおよびシステム分析 C/C。 1999年 。 35 (3): 379–384。 土井 ：10.1007/BF02733426。 S2CID 119661450。 ^ Slyusar, VI (2003). 「非同一チャネルを持つデジタルアンテナアレイのモデルにおける行列の一般化面積」 (PDF) . 無線エレクトロニクスおよび通信システム . 46 (10): 9–17. ^ abcde Vadym Slyusar. DSP のための新しい行列演算 (講義). 1999 年 4 月. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1 ^ ab C. ラダクリシュナ ラオ . 線型モデルにおける異分散分散の推定.//アメリカ統計学会誌、第 65 巻、第 329 号 (1970 年 3 月)、pp. 161–172 ^ Kasiviswanathan、Shiva Prasad、他「分割表を非公開に公開することの代償と、相関行を持つランダム行列のスペクトル」第 42 回 ACM コンピューティング理論シンポジウムの議事録。2010 年。 ^ abcd トーマス・D・アーレ、ヤコブ・ベク・テイス・クヌッセン。ほぼ最適な Tensor スケッチ。 2019 年発行。数学、コンピューター サイエンス、ArXiv ^ Ninh, Pham; Pagh, Rasmus (2013). 明示的な特徴マップによる高速でスケーラブルな多項式カーネル。知識発見とデータマイニングに関する SIGKDD 国際 会議。Association for Computing Machinery。doi :10.1145/2487575.2487591。 ^ ab Eilers, Paul HC; Marx, Brian D. (2003). 「2次元ペナルティ付き信号回帰を用いた温度相互作用による多変量キャリブレーション」. ケモメトリクスおよびインテリジェントラボラトリーシステム . 66 (2): 159–174. doi :10.1016/S0169-7439(03)00029-7. ^ abc Currie, ID; Durban, M.; Eilers, PHC (2006). 「多次元スムージングへの応用を伴う一般化線形配列モデル」. Journal of the Royal Statistical Society . 68 (2): 259–280. doi :10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x. S2CID 10261944. ^ ブライアン・ビショフ。面分割によるハイパーグラフの高次共起テンソル。2020年2月15日発行、数学、コンピュータサイエンス、ArXiv ^ Johannes WR Martini、Jose Crossa、Fernando H. Toledo、Jaime Cuevas。遺伝子型×環境相互作用の共分散構造におけるアダマール積とクロネッカー積について。//Plant Genome。2020;13:e20033。5ページ。[2]
参考文献 Khatri CG、 CR Rao (1968)。「いくつかの関数方程式の解と確率分布の特性評価への応用」。Sankhya。30 : 167–180 。2010年10月 23 日にオリジナルからアーカイブ 。 2008年8月21日 に取得。 Rao CR; Rao M. Bhaskara (1998)、 「行列代数と統計学および計量経済学への応用」 、World Scientific、p. 216 Zhang X、Yang Z、Cao C. (2002)、「半正定値行列のKhatri-Rao積を含む不等式」、 応用数学E-notes 、 2 :117–124 Liu Shuangzhe、Trenkler Götz (2008)、「Hadamard、Khatri-Rao、Kronecker およびその他の行列積」、 International Journal of Information and Systems Sciences 、 4 : 160–177
![{\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | cc}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53cde028551100b310943f25b2028a764436687)
![{\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf { A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{配列}}\right]=\left[{\begin{array}{cc | cc}1&2&12&21\\4&5&24&42\\\hline 14&16&45&72\\21&24&54&81\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a086acf8812fc6ff3dec00cf40423b150b9942)
![{\displaystyle \mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c | c | c}\mathbf {C} _{1}&\mathbf {C} _{2}&\mathbf {C} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {D} _{1}&\mathbf {D} _{2}&\mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311fb96a2459096ea05d8f0461e67a8b49f5ee43)
![{\displaystyle \mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}&\mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}&\mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&8&21\\2&10&24\\3&12&27\\4&20&42\\8&25&48\\12&30&54\\7&32&63\\14&40&72\\21&48&81\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e951f306d0dd52a9a56a35d767f2117db8a5ee6)
![{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\ast (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {P} [(\mathbf {A} \ast \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \ast \mathbf {D} )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0be3bf1fc6226631d8af11b6bb868812171113)
![{\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ]\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ef70c0e73175eb22cda75ecb898d7779fb0441)
![{\displaystyle [\circ ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae862b2ddef9fd1f7eb59ccec0f5f8ce6d30ae1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\ast {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]{}={}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\otimes \,{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]{}={}&{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\circ \,{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077e2f2bb61c0f8393874c7f0ceb5f1bef78355c)
![{\displaystyle E\left[(T_{1}x)^{2}\right]=\left\|x\right\|_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45663822e2a8c1b8b9b87a1a530b573089063f38)
![{\displaystyle E\left[(T_{1}x)^{p}\right]^{\frac {1}{p}}\leq {\sqrt {ap}}\|x\|_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443c2d06bae7487f43814c4526a92bb3282cf0e8)
![{\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b027efdf1b4ea7866bdc28bc7ac1b3809137bf)
![{\displaystyle \mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\bullet \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\bullet \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf { A} _{21}\bullet \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\bullet \mathbf {B} _{22}\end{配列}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5d6918b358808c418ec16679a5f86b9d93d4aa)
![{\displaystyle \mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\ast \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\ast \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\ast \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\ast \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1177613d963926bd03de425c42177de8661e5f55)
![{\displaystyle \left(\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}[\bullet ]\mathbf {B} ^{\textsf {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907ec4c862586658a29c538a04d6f973e129a19c)