算術関数の数学演算
ヨハン・ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ 数学 において 、 ディリクレ畳み込み （または 除数畳み込み ）は 算術関数 に対して定義された 二項演算であり、 数論 において重要である。これは ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレ によって開発された 。
意味 が正の整数 から 複素数 への 2つの 算術関数 である場合 、 ディリクレ 畳み込み f ∗ g は次のように定義される新しい算術関数です。
ふ 、 グ :
いいえ
→
Ｃ
{\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }
（ ふ ∗ グ ） （ ん ）
=
∑
d ∣ ん
ふ （ d ） グ
（
ん d
）
=
∑
1つの b = ん
ふ （ 1つの ） グ （ b ）
{\displaystyle (f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)}
ここで、和は n の すべての正の 約数 d に及びます。
つまり、積が n となる正の整数の すべての異なるペア ( a 、 b )に及びます。
この積は、リーマンゼータ関数 などの ディリクレ級数 の研究では自然に発生します 。これは、2つのディリクレ級数の係数の乗算を表します。
（
∑
ん ≥ 1
ふ （ ん ）
ん
s
）
（
∑
ん ≥ 1
グ （ ん ）
ん
s
）
=
（
∑
ん ≥ 1
（ ふ ∗ グ ） （ ん ）
ん
s
）
。
{\displaystyle \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).}
プロパティ 算術関数の集合は 可換環を 形成し、 ディリクレ環 、 点ごとの加法 、 f + g は( f + g )( n ) = f ( n ) + g ( n ) で定義されます 。乗法単位元は、 n = 1 の場合は ε ( n ) = 1 、 n > 1 の場合は ε ( n ) = 0 で定義される 単位関数 ε 。 単位元 (可逆元) は、 f (1) ≠ 0 となる 算術関数 f 。
具体的には、 [1] ディリクレ畳み込みは 結合的で あり、
（ ふ ∗ グ ） ∗ h = ふ ∗ （ グ ∗ h ） 、
{\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h),}
分配的
加算
ふ ∗ （ グ + h ） = ふ ∗ グ + ふ ∗ h
{\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h}
、 交換可能 、
ふ ∗ グ = グ ∗ ふ
{\displaystyle f*g=g*f}
、 アイデンティティ要素を持ち、
ふ ∗ ε
{\displaystyle f*\バレプシロン }
= .
ε ∗ ふ = ふ
{\displaystyle \varepsilon *f=f}
さらに、を持つ 各に対して、 を持つ 算術関数が存在し 、これは
ふ
{\displaystyle f}
ふ （ 1 ） ≠ 0
{\displaystyle f(1)\neq 0}
ふ
− 1
{\displaystyle f^{-1}}
ふ ∗
ふ
− 1
= ε
{\displaystyle f*f^{-1}=\バレプシロン }
の ディリクレ逆関数 。
ふ
{\displaystyle f}
2 つの乗法関数 のディリクレ畳み込み も乗法であり、常にゼロではないすべての乗法関数には、やはり乗法であるディリクレ逆関数があります。言い換えると、乗法関数はディリクレ環の可逆な元のグループのサブグループを形成します。ただし、2 つの乗法関数の和は乗法ではない ( のため ) ので、乗法関数のサブセットはディリクレ環の部分環ではないことに注意してください。乗法関数に関する記事には、重要な乗法関数間の畳み込み関係がいくつかリストされています。
（ ふ + グ ） （ 1 ） = ふ （ 1 ） + グ （ 1 ） = 2 ≠ 1
{\displaystyle (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1}
算術関数に対する別の演算は点ごとの乗算です。fg は ( fg )( n ) = f ( n ) g ( n ) で定義されます 。 完全に乗法的な関数 が与えられた場合、による点ごとの乗算は ディリクレ畳み込みに分配されます。 [ 2] 2つの完全に乗法的な関数の畳み込みは乗法ですが、必ずしも完全に乗法であるとは限りません。
h
{\displaystyle h}
h
{\displaystyle h}
（ ふ ∗ グ ） h = （ ふ h ） ∗ （ グ h ）
{\displaystyle (f*g)h=(fh)*(gh)}
プロパティと例 これらの式では、次の 算術関数 を使用します。
ε
{\displaystyle \epsilon }
は乗法単位元です: 、それ以外の場合は 0 ( ) です。
ε （ 1 ） = 1
{\displaystyle \varepsilon (1)=1}
ε （ ん ） = ⌊
1 ん
⌋
{\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor }
1
{\displaystyle 1}
は、すべての に対して 値が 1 である定数関数です 。 は 恒等関数ではない ことに注意してください。( 関連するディリクレ級数が リーマンゼータ関数であるため、 これを と表記する著者もいます 。)
1 （ ん ） = 1
{\displaystyle 1(n)=1}
ん
{\displaystyle n}
1
{\displaystyle 1}
ζ
{\displaystyle \zeta}
1
Ｃ
{\displaystyle 1_{C}}
は セット 指示関数 です: の場合のみ 、それ以外の場合は 0 です。
Ｃ ⊂
いいえ
{\displaystyle C\subset \mathbb {N} }
1
Ｃ
（ ん ） = 1
{\displaystyle 1_{C}(n)=1}
ん ∈ Ｃ
{\displaystyle n\in C}
識別子
{\displaystyle {\text{Id}}}
は値 n を持つ恒等関数です 。
識別子
（ ん ） = ん
{\displaystyle {\text{Id}}(n)=n}
識別子
け
{\displaystyle {\text{Id}}_{k}}
はk 乗関数 です: 。
識別子
け
（ ん ） =
ん
け
{\displaystyle {\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}}
次の関係が成り立ちます。
1 ∗ μ = ε
{\displaystyle 1*\mu =\バレプシロン }
では、定数関数のディリクレ逆関数は メビウス関数 です （ 証明 を参照）。したがって、
1
{\displaystyle 1}
グ = ふ ∗ 1
{\displaystyle g=f*1}
のとき 、 メビウス反転公式
ふ = グ ∗ μ
{\displaystyle f=g*\mu}
σ
け
=
識別子
け
∗ 1
{\displaystyle \sigma_{k}={\text{Id}}_{k}*1}
、 約数のk乗の和関数 σ k
σ =
識別子
∗ 1
{\displaystyle \sigma ={\text{Id}}*1}
、約数の和関数 σ = σ 1
τ
=
1
∗
1
{\displaystyle \tau =1*1}
、約数関数 τ ( n ) = σ 0
Id
k
=
σ
k
∗
μ
{\displaystyle {\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu }
、 σ k 、 σ 、 τ の公式のメビウス反転による
Id
=
σ
∗
μ
{\displaystyle {\text{Id}}=\sigma *\mu }
1
=
τ
∗
μ
{\displaystyle 1=\tau *\mu }
ϕ
∗
1
=
Id
{\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}
、 オイラーのトーティエント関数によって証明される
ϕ
=
Id
∗
μ
{\displaystyle \phi ={\text{Id}}*\mu }
メビウス反転による
σ
=
ϕ
∗
τ
{\displaystyle \sigma =\phi *\tau }
の両側に1を畳み込むと、
ϕ
∗
1
=
Id
{\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}
λ
∗
|
μ
|
=
ε
{\displaystyle \lambda *|\mu |=\varepsilon }
ここで λは リウヴィル関数 である。
λ
∗
1
=
1
Sq
{\displaystyle \lambda *1=1_{\text{Sq}}}
ここで、Sq = {1, 4, 9, ...}は正方形の集合である。
Id
k
∗
(
Id
k
μ
)
=
ε
{\displaystyle {\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon }
τ
3
∗
1
=
(
τ
∗
1
)
2
{\displaystyle \tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}}
J
k
∗
1
=
Id
k
{\displaystyle J_{k}*1={\text{Id}}_{k}}
、 ジョルダンのトーティエント関数
(
Id
s
J
r
)
∗
J
s
=
J
s
+
r
{\displaystyle ({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}}
Λ
∗
1
=
log
{\displaystyle \Lambda *1=\log }
、 フォン・マンゴルト関数 は
Λ
{\displaystyle \Lambda }
|
μ
|
∗
1
=
2
ω
,
{\displaystyle |\mu |\ast 1=2^{\omega },}
ここで、 nの 異なる 素因数 を数える プライムオメガ関数 は
ω
(
n
)
{\displaystyle \omega (n)}
Ω
∗
μ
=
1
P
{\displaystyle \Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}}
、素数のべき乗の特性関数。
ω
∗
μ
=
1
P
{\displaystyle \omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }}
ここで、 素数の特性関数です。
1
P
(
n
)
↦
{
0
,
1
}
{\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}}
この最後の恒等式は、 素数計算関数 が総和関数によって与えられること
を示している。
π
(
x
)
=
∑
n
≤
x
(
ω
∗
μ
)
(
n
)
=
∑
d
=
1
x
ω
(
d
)
M
(
⌊
x
d
⌋
)
{\displaystyle \pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)}
ここで は メルテンス 関数 、 は 上記とは異なる素因数関数です。この展開は、約数和の 恒等式の ページに示されているディリクレ畳み込みの和の恒等式に従います（これらの和の標準的なトリックです）。 [3]
M
(
x
)
{\displaystyle M(x)}
ω
{\displaystyle \omega }
ディリクレ逆関数
例 算術関数が与えられた場合、 そのディリクレ逆関数 は再帰的に計算できます。 の値は に対して となり ます 。
f
{\displaystyle f}
g
=
f
−
1
{\displaystyle g=f^{-1}}
g
(
n
)
{\displaystyle g(n)}
g
(
m
)
{\displaystyle g(m)}
m
<
n
{\displaystyle m<n}
のために ：
n
=
1
{\displaystyle n=1}
(
f
∗
g
)
(
1
)
=
f
(
1
)
g
(
1
)
=
ε
(
1
)
=
1
{\displaystyle (f*g)(1)=f(1)g(1)=\varepsilon (1)=1}
、 それで
g
(
1
)
=
1
/
f
(
1
)
{\displaystyle g(1)=1/f(1)}
これは、 の場合に にはディリクレ逆関数がないことを意味します 。
f
{\displaystyle f}
f
(
1
)
=
0
{\displaystyle f(1)=0}
のために ：
n
=
2
{\displaystyle n=2}
(
f
∗
g
)
(
2
)
=
f
(
1
)
g
(
2
)
+
f
(
2
)
g
(
1
)
=
ε
(
2
)
=
0
{\displaystyle (f*g)(2)=f(1)g(2)+f(2)g(1)=\varepsilon (2)=0}
、
g
(
2
)
=
−
(
f
(
2
)
g
(
1
)
)
/
f
(
1
)
{\displaystyle g(2)=-(f(2)g(1))/f(1)}
、 のために ：
n
=
3
{\displaystyle n=3}
(
f
∗
g
)
(
3
)
=
f
(
1
)
g
(
3
)
+
f
(
3
)
g
(
1
)
=
ε
(
3
)
=
0
{\displaystyle (f*g)(3)=f(1)g(3)+f(3)g(1)=\varepsilon (3)=0}
、
g
(
3
)
=
−
(
f
(
3
)
g
(
1
)
)
/
f
(
1
)
{\displaystyle g(3)=-(f(3)g(1))/f(1)}
、 のために ：
n
=
4
{\displaystyle n=4}
(
f
∗
g
)
(
4
)
=
f
(
1
)
g
(
4
)
+
f
(
2
)
g
(
2
)
+
f
(
4
)
g
(
1
)
=
ε
(
4
)
=
0
{\displaystyle (f*g)(4)=f(1)g(4)+f(2)g(2)+f(4)g(1)=\varepsilon (4)=0}
、
g
(
4
)
=
−
(
f
(
4
)
g
(
1
)
+
f
(
2
)
g
(
2
)
)
/
f
(
1
)
{\displaystyle g(4)=-(f(4)g(1)+f(2)g(2))/f(1)}
、 そして一般に 、
n
>
1
{\displaystyle n>1}
g
(
n
)
=
−
1
f
(
1
)
∑
d
∣
n
d
<
n
f
(
n
d
)
g
(
d
)
.
{\displaystyle g(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}
プロパティ ディリクレ逆行列には以下の性質がある: [4]
関数 fは、 f (1)≠0 の場合にのみディリクレ逆関数を持つ 。 乗法関数 のディリクレ逆関数 もまた乗法関数です。 ディリクレ畳み込みのディリクレ逆関数は、各関数の逆関数の畳み込みです 。
(
f
∗
g
)
−
1
=
f
−
1
∗
g
−
1
{\displaystyle (f\ast g)^{-1}=f^{-1}\ast g^{-1}}
乗法関数 f は 、 のときのみ 完全に乗法的 です 。
f
−
1
(
n
)
=
μ
(
n
)
f
(
n
)
{\displaystyle f^{-1}(n)=\mu (n)f(n)}
f が 完全に乗法で ある場合、 および は関数の点 ごと の乗算を表します。
(
f
⋅
g
)
−
1
=
f
⋅
g
−
1
{\displaystyle (f\cdot g)^{-1}=f\cdot g^{-1}}
g
(
1
)
≠
0
{\displaystyle g(1)\neq 0}
⋅
{\displaystyle \cdot }
任意の算術関数 f のディリクレ逆関数の正確な非再帰的公式は、 約数の和の恒等 式で与えられている 。f のディリクレ逆関数の より 分割理論的な 表現は、次のように与えられる
。
f
−
1
(
n
)
=
∑
k
=
1
Ω
(
n
)
{
∑
λ
1
+
2
λ
2
+
⋯
+
k
λ
k
=
n
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
k
|
n
(
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
k
)
!
1
!
2
!
⋯
k
!
(
−
1
)
k
f
(
λ
1
)
f
(
λ
2
)
2
⋯
f
(
λ
k
)
k
}
.
{\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{\Omega (n)}\left\{\sum _{{\lambda _{1}+2\lambda _{2}+\cdots +k\lambda _{k}=n} \atop {\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}|n}}{\frac {(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})!}{1!2!\cdots k!}}(-1)^{k}f(\lambda _{1})f(\lambda _{2})^{2}\cdots f(\lambda _{k})^{k}\right\}.}
次の式は可逆算術関数f のディリクレ逆関数を簡潔に表現する方法を提供します 。
f
−
1
=
∑
k
=
0
+
∞
(
f
(
1
)
ε
−
f
)
∗
k
f
(
1
)
k
+
1
{\displaystyle f^{-1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(f(1)\varepsilon -f)^{*k}}{f(1)^{k+1}}}}
ここで、式は、 算術関数を k 回畳み込んだものを表します 。固定された正の整数 に対して 、 であれば となることに注意してください 。これは、 を k 個の正の整数の積として 表すすべての方法に 1 が含まれる必要があるためであり、右側の級数はすべての固定された正の整数 n に対して収束します。
(
f
(
1
)
ε
−
f
)
∗
k
{\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}}
f
(
1
)
ε
−
f
{\displaystyle f(1)\varepsilon -f}
n
{\displaystyle n}
k
>
Ω
(
n
)
{\displaystyle k>\Omega (n)}
(
f
(
1
)
ε
−
f
)
∗
k
(
n
)
=
0
{\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}(n)=0}
f
(
1
)
ε
(
1
)
−
f
(
1
)
=
0
{\displaystyle f(1)\varepsilon (1)-f(1)=0}
ディリクレ級数 fが 算術関数である 場合、 ディリクレ級数 生成関数は 次のように定義されます。
D
G
(
f
;
s
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
級数が収束する複素 引数 s に対して （もしあれば）。ディリクレ級数の乗算は、次の意味でディリクレ畳み込みと互換性があります。
D
G
(
f
;
s
)
D
G
(
g
;
s
)
=
D
G
(
f
∗
g
;
s
)
{\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}
左辺の両方の級数が収束し、そのうちの少なくとも 1 つは絶対収束するすべての に対して (左辺の両方の級数が単純に収束しても、右辺が収束するわけではないことに注意してください ) 。 これは、ディリクレ級数を フーリエ変換 として考えると、 畳み込み定理 に似ています 。
畳み込みにおける因子を ユニタリ因子 、 双ユニタリ 因子、または無限因子に制限すると、ディリクレ畳み込みと多くの特徴を共有する同様の可換演算が定義されます（メビウス反転の存在、乗法的性質の持続、トーティエントの定義、関連する素数上のオイラー型積公式など）。
ディリクレ畳み込みは、半集合 の 接続代数 に対する畳み込み乗算の特殊なケースです 。この場合は、割り切れる順に並べられた正の整数の半集合です。
ディリクレ 双曲線法は、 畳み込みの和をその関数とその和関数に基づいて計算します。
参照
参考文献
^ 証明はChan、第2章にあります ^ 証明は記事「 完全乗法関数#分配法則の証明」 にあります。 ^ シュミット、マキシー。 アポストルの解析的数論入門 。 このアイデンティティは、私が「クルトン」と呼んでいる、少し特別なものです。これは、Apostol の古典的な本にある数章分の演習から派生したものです。 ^ もう一度、アポストルの第 2 章と、その章の最後にある練習問題を参照してください。 ^ アポストル第2章を参照。
アポストル、トム・M. (1976)、 解析的数論入門 、数学の学部テキスト、ニューヨーク-ハイデルベルグ：シュプリンガー・フェアラーク、 ISBN 978-0-387-90163-3 、 MR 0434929、 Zbl 0335.10001 チャン、ヘン・フアット (2009)。 学部生のための解析的数論 。数論のモノグラフ。ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング・カンパニー 。ISBN 978-981-4271-36-3 。 ヒュー・L・モンゴメリー 、 ロバート・C・ヴォーン （2007年）。 乗法数論I.古典理論 。ケンブリッジ高等数学論文集。第97巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。38ページ 。ISBN 978-0-521-84903-6 。 コーエン、エックフォード (1959)。「剰余系 (mod r) のクラスと関連する算術関数。I. メビウス反転の一般化」。 パシフィック ジャーナル 数学 。第 9 巻、第 1 号。pp. 13–23。MR 0109806 。 コーエン、エックフォード (1960)。「整数の単位約数に関連する算術関数」。Mathematische Zeitschrift。74 : 66–80。doi : 10.1007 /BF01180473。MR 0112861 。 コーエン、エックフォード (1960)。「整数の単位約数の個数」。 アメリカ数学月刊誌 。第 67 巻、第 9 号。pp. 879–880。MR 0122790 。 Cohen, Graeme L. (1990). 「整数の無限約数について」. Math. Comp . 54 (189): 395–411. doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR 0993927. Cohen, Graeme L. (1993). 「整数の無限約数に関連する算術関数」. Int. J. Math. Math. Sci . 16 (2): 373–383. doi : 10.1155/S0161171293000456 . Haukkanen, Pentti (2000). 「算術関数のディリクレ逆関数の表現」. 数論と離散数学に関するノート . 6 (4): 118–124. Sandor, Jozsef; Berge, Antal (2003). 「メビウス関数: 一般化と拡張」. 現代数学アドバンスト・スタディ (Kyungshang) . 6 (2): 77–128. MR 1962765. フィンチ、スティーブン (2004)。「ユニタリズムとインフィニタリズム」 (PDF) 。2015-02-22 に オリジナル (PDF)からアーカイブ。
外部リンク
