構成（ジオメトリ）

構成 (4 ₃ 6 ₂ ) (完全な四角形、左) と (6 ₂ 4 ₃ ) (完全な四辺形、右)。

数学、特に射影幾何学では、平面上の配置は有限の点の集合と有限の線の配置で構成され、各点は同数の線に接し、各線は同じ数の点に接します。 ^[1]

特定の構成は以前にも研究されていたが（たとえば1849年のトーマス・カークマンによる）、構成の正式な研究は、 1876年にテオドール・ライエによって、著書『幾何学的配置』第2版の中で、デザルグの定理の議論の文脈で初めて導入された。エルンスト・シュタイニッツは1894年にこの主題に関する博士論文を書き、ヒルベルトとコーン＝フォッセンの1932年の著書『幾何学的配置』によってそれらは普及し、英語ではヒルベルト＆コーン＝フォッセン（1952年）として再版された。

構成は、ユークリッド平面や射影平面などの特定の幾何学における点と線の具体的な集合として（これらはその幾何学で実現可能であると言われる）、または抽象的な接続幾何学の一種として研究されることがある。後者の場合、それらは正則ハイパーグラフや双正則二部グラフと密接に関連しているが、いくつかの追加の制限がある。接続構造のすべての 2 つの点は最大で 1 つの線に関連付けることができ、すべての 2 つの線は最大で 1 つの点に関連付けることができる。つまり、対応する二部グラフ（構成のレヴィグラフ）の内周は少なくとも 6 でなければならない。

表記

平面上の配置は（pγℓπ）で表され $、$ $ここ$ で $p$ は点の数、 $ℓは$ 線の数、 $γは$ $点$ あたりの線の数、 $πは線あたりの点の数である。これら$ $の$ 数は必ず次の式を満たす。

p\gamma =\ell \pi \,

この積は点と線の交差数（フラグ）となる。

同じ記号を持つ構成、たとえば ( $p γ ℓ π$ ) は、接続構造として同型である必要はありません。たとえば、3 つの異なる (9 ₃ 9 ₃ ) 構成が存在します。パップス構成と、それほど注目に値しない 2 つの構成です。

いくつかの構成では、 $p = ℓ$ となり、結果的に $γ = π$ となる。これらは対称構成またはバランス構成と呼ばれ^[2]、表記法は繰り返しを避けるために簡略化されることが多い。例えば、(9 ₃ 9 ₃ ) は (9 ₃ ) と省略される。

例

注目すべき射影構成には次のものがあります。

(1 ₁ ) は、直線に接する点からなる最も単純な構成です。自明であるとして除外されることが多いです。
(3 ₂ ) は三角形です。その 3 つの辺のそれぞれは、3 つの頂点のうちの 2 つと交わり、逆もまた同様です。より一般的には、 $n$ 辺の多角形は ( $n$ $2$ )型の構成を形成します。
（4 ₃ 6 ₂）は、完全な四角形である。
（6 ₂ 4 ₃）は、完全な四辺形を含むパシュ配置である。
(7 ₃ )はファノ平面である。この構成は抽象的な入射幾何学として存在するが、ユークリッド平面では構成できない。
(8 ₃ )はメビウス・カントール配置です。この配置は、互いに内接し、同時に外接する2つの四辺形を表します。ユークリッド平面幾何学では構成できませんが、これを定義する方程式は複素数で非自明な解を持ちます。
（9 ₃）、パップス配置
(9 ₄ 12 ₃ ) は、複素射影平面上の3 次曲線の9 つの変曲点と、これらの点のペアによって決まる 12 本の直線からなるヘッセ配置である。この配置は、その点を通るすべての直線が含まれるという性質をファノ平面と共有している。この性質を持つ配置は、シルベスター・ガライ定理によって実数座標を与えることができないことから、シルベスター・ガライ配置として知られている。 ^[3]
（10 ₃）、デザルグ構成
（12 ₄ 16 ₃）、ライ配置
（12 ₅ 30 ₂）、シュレーフリの二重の6 、立方体の表面の27本の線のうち12本で形成される
（15 ₃）、クレモナ・リッチモンド配置は、二重の6の補線とそれらの15の接平面によって形成される。
（15 ₄ 20 ₃）、ケイリー・サーモン配置
（16 ₆）、クンマー配置
（21 ₄）、グリュンバウム・リグビー配置
（27 ₃）、グレイ構成
(35 ₄ )、ダンザーの構成^[4]
（60 ₁₅）、クライン配置

構成の二重性

配置 ( $p$ $γ$ $ℓ$ $π$ ) の射影双対は、「点」と「線」の役割が交換された ( ℓ π p γ ) 配置です。したがって $、$ $配置$ $の$ $種類$ は、双対の結果が同型配置になる場合を除き、双対ペアで表されます。これらの例外は自己双対配置と呼ばれ、そのような場合は $p$ $=$ $ℓ$ です。^[5]

（の数 $3 ...$ ) 構成

$n$ $= 7から始まる ($ $n 3$ )型の非同型構成の数は、次の数列で与えられる。

1、1、3、10、31、229、2036、21399、245342、...（OEISの配列A001403 ）

これらの数字は、実現可能性に関係なく、抽象的な発生構造として構成を数えます。^[6] Gropp (1997) が論じているように、10 個の (10 ₃ ) 構成のうち 9 個と、(11 ₃ ) および (12 ₃ ) 構成のすべてはユークリッド平面で実現可能ですが、 $n \geq 16$ ごとに少なくとも 1 つの実現不可能な ( $n 3$ _{) 構成が存在します。Gropp はまた、このシーケンスに長年残っている誤りを指摘しています。1895 年の論文では、すべての (12 3} ) 構成をリストアップしようとして、そのうち 228 個を発見しましたが、229 番目の構成である Gropp 構成は 1988 年まで発見されませんでした。

対称構成の構築

構成を構築するための手法はいくつかありますが、一般的には既知の構成から始めます。これらの手法のうち最も単純なもののいくつかは、対称 ( $p γ$ ) 構成を構築します。

任意の $n$ 次有限射影平面は、 (( $n$ $2$ $+$ $n$ $+ 1)$ $n$ $+ 1$ $)$ 構成です。 $Π を$ $n$ 次射影平面とします。 $Π$ から点 $Pと、$ $P を$ 通る $Π$ のすべての直線( $P$ 以外の直線上にある点は除く) を除去し、 $P$ を通らない直線 $ℓと直線$ $ℓ$ 上にあるすべての点を除去します。結果は、 (( $n$ $2$ $- 1)$ $n$ $)$ タイプの構成になります。この構成で、直線 $ℓ が$ $P$ を通る直線になるように選択された場合、構成は (( $n$ $2$ $)$ $n$ $)$ タイプの構成になります。射影平面は素数の累乗であるすべての次数 $n$ に対して存在することが知られているため、これらの構成は対称構成の無限の族を提供します。

すべての構成が実現可能というわけではない。例えば、(43 ₇ )構成は存在しない。^{[7]しかし、Gropp (1990)は、} $k \geq 3に対して、すべての$ $p$ $\geq 2$ $ℓ$ $k$ $+ 1$ に対して( $p k$ )構成が存在することを示す構成を提供している。ここで、 $ℓ$ $k は$ 、次数 $k$ の最適ゴロム定規の長さである。

従来とは異なる構成

高次元

配置の概念は、高次元に一般化される可能性があり、^[8]たとえば、空間内の点や線、平面に一般化される可能性があります。このような場合、2つの点が複数の線に属さないという制限は緩和される可能性があります。なぜなら、2つの点が複数の平面に属する可能性があるからです。

注目すべき3次元構成としては、互いに内接する2つの四面体からなるメビウス構成、12の点と12の平面（1つの平面あたり6つの点、1つの点あたり6つの平面）からなるライ構成、 27の点の3×3×3グリッドとそれらを通る27本の直交線からなるグレイ構成、および30の点、12の線（1つの点あたり2本の線、1つの線あたり5つの点）からなる構成であるシュレーフリの二重の6つがある。

トポロジ構成

点と擬似直線によって実現される射影平面上の配置は位相配置と呼ばれる。^[2]例えば、点-直線(19 ₄ )配置は存在しないことが知られているが、これらのパラメータを持つ位相配置は存在する。

点と円の構成

配置の概念のもう一つの一般化は点と円の配置に関するもので、注目すべき例としては(8 ₃ 6 ₄ )ミゲル配置がある。^[2]

参照

パールズ配置、9 個の点と 9 本の線のセットで、それらの点と線は互いに等しい数の衝突をしません。

注記

^ 文献では、ここで定義されている構成を説明するために、射影構成（Hilbert & Cohn-Vossen 1952）やタイプ（1,1）の戦術構成（Dembowski 1968）という用語も使用されています。
^ abc Grünbaum 2009年。
^ ケリー 1986年。
^ グリュンバウム 2008、ボーベン、ジェヴェ & ピサンスキー 2015
^ コクセター 1999、106-149 ページ
^ ベッテン、ブリンクマン、ピサンスキ 2000年。
^この構成は、 ブルック・ライザー定理によれば存在しない、6次の射影平面となる。
^ ジェヴェ 2014.

参考文献

バーマン、リア W.、「可動 (n4) 構成」、電子組合せ論ジャーナル、13 (1): R104。
Betten, A; Brinkmann, G.; Pisanski, T. (2000)、「対称構成のカウント」、離散応用数学、99 (1–3): 331–338、doi : 10.1016/S0166-218X(99)00143-2。
Boben, Marko; Gévay, Gábor; Pisanski, T. (2015)、「Danzer の構成の再考」、Advances in Geometry、15 (4): 393–408。
Coxeter, HSM (1999)、「自己双対構成と正則グラフ」、The Beauty of Geometry、Dover、ISBN 0-486-40919-8
Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 44、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-61786-8、MR 0233275
Gévay, Gábor (2014)、「大きな点線 (n _k ) 構成の構築」、Ars Mathematica Contemporanea、7 : 175-199。
Gropp, Harald (1990)、「構成n _kの存在と非存在について」、Journal of Combinatorics and Information System Science、15 : 34–48
グロップ、ハラルド（1997）、「構成とその実現」、離散数学、174（1–3）：137–151、doi：10.1016 / S0012-365X（96）00327-5。
Grünbaum, Branko (2006)、「点と線の構成」、Davis, Chandler、Ellers, Erich W. (編)、The Coxeter Legacy: Reflections and Projections、アメリカ数学会、pp. 179–225。
グリュンバウム、ブランコ（2008）、「ダンツァーの例についての考察」、ヨーロッパ組合せ論ジャーナル、29：1910-1918。
グリュンバウム、ブランコ(2009)、「点と線の構成」、数学大学院研究、第 103 巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4308-6。
ヒルベルト、デイヴィッド、コーン＝フォッセン、ステファン（1952）、幾何学と想像力（第2版）、チェルシー、pp.94-170、ISBN 0-8284-1087-9。
ケリー、LM (1986)、「JP セールのシルベスター・ガライ問題の解決」、離散および計算幾何学、1 (1): 101–104、doi : 10.1007/BF02187687。
ピサンスキ、トマシュ、セルバティウス、ブリジット（2013）、グラフィカルな視点からの構成、Springer、ISBN 9780817683641。

外部リンク

ワイスタイン、エリック W.、「構成」、MathWorld

[1] 文献では、ここで定義されている構成を説明するために、射影構成（Hilbert & Cohn-Vossen 1952）やタイプ（1,1）の戦術構成（Dembowski 1968）という用語も使用されています。

[FOOTNOTEGrünbaum2009-2] Grünbaum 2009年。

[FOOTNOTEKelly1986-3] ケリー 1986年。

[4] グリュンバウム 2008、ボーベン、ジェヴェ & ピサンスキー 2015

[5] コクセター 1999、106-149 ページ

[FOOTNOTEBettenBrinkmannPisanski2000-6] ベッテン、ブリンクマン、ピサンスキ 2000年。

[7] ^この構成は、 ブルック・ライザー定理によれば存在しない、6次の射影平面となる。

[FOOTNOTEGévay2014-8] ジェヴェ 2014.

表記

例