双曲直交性

幾何学において、一対の共役双曲線が与えられた場合、2つの共役直径は双曲的に直交する。この直径の関係はペルガのアポロニウスによって記述され、解析幾何学を用いて現代的に再定式化された。双曲的に直交する直線は、特殊相対性理論において、同時性の相対性を示す時間的および空間的な方向として現れる。

ミンコフスキー空間のように、時間軸と空間軸を双曲的に直交させると、光速の測定時に一定の結果が得られる。

2つの直線が双曲線直交であるとは、それらが与えられた双曲線の漸近線に関して互いに鏡像関係にある場合をいう。平面上では、特に2つの双曲線がよく用いられる。

双曲直交性の関係は、実際には平面上の平行線のクラスに適用され、任意の特定の直線がそのクラスを表すことができます。したがって、与えられた双曲線と漸近線Aに対して、2 つの直線 ( a、b ) は、次の条件を満たすペア ( c、d )が存在する場合に双曲直交性を持ちます。${\displaystyle a\rVert c,\ b\rVert d}$、cはAに関してdを反射したものである。

円の半径が接線に垂直であるのと同様に、双曲線の半径は双曲線の接線に双曲的に直交する。^{[ 1 ] [ 2 ]}

解析幾何学では、双線形形式を用いて直交性を記述します。双線形形式がゼロになるとき、2つの要素は直交します。複素数平面では${\displaystyle z_{1}=u+iv,\quad z_{2}=x+iy}$双線形形式は${\displaystyle xu+yv}$双曲数の平面では${\displaystyle w_{1}=u+jv,\quad w_{2}=x+jy,}$双線形形式は${\displaystyle xu-yv.}$

複素数平面上のベクトルz ₁とz ₂ 、および双曲数平面上のベクトルw ₁とw _{2は、それぞれの内積 [双線形形式] がゼロである場合、それぞれ}ユークリッド直交または双曲直交であると言われる。^{[ 3 ]}

双線形形式は、一方の数と他方の数の共役複素数の積の実部として計算できます。

${\displaystyle z_{1}z_{2}^{*}+z_{1}^{*}z_{2}=0}$複素平面における垂直性を伴う一方、

${\displaystyle w_{1}w_{2}^{*}+w_{1}^{*}w_{2}=0}$これは、wが双曲直交であることを意味する。

双曲直交性の概念は、楕円と双曲線の共役直径を考察する解析幾何学において生じた。 ^{[ 4 ]} gとg ′が共役直径の傾きを表す場合、${\displaystyle gg'=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$楕円の場合、${\displaystyle gg'={\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$双曲線の場合、a = bのとき楕円は円になり、共役直径は垂直になりますが、双曲線は長方形になり、共役直径は双曲直交になります。

射影幾何学の用語では、双曲直交線を取る操作は対合と呼ばれます。垂直線の傾きを ∞ とすると、すべての直線は射影的に拡張された実数直線上で傾きを持ちます。この場合、双曲線 (A) または (B) のどちらを使用しても、この操作は漸近線が不変な双曲対合の一例となります。双曲直交線は、双曲線の漸近線によって決定される平面の異なるセクターに位置するため、双曲直交性の関係は平面上の直線の集合に対する異質な関係となります。

特殊相対性理論の第二の公準は、光速は測定が行われる慣性系に依存しないというものである。この公準は、マイケルソン・モーリー実験におけるヌル結果と関連付けられている。空間軸と時間軸が双曲的に直交している限り、光速の測定結果は常に同じになる。運動する観測者に関して光速が不変であるという一見矛盾した現象は、ミンコフスキー空間のこの特性によって特殊相対性理論において解決される。

1908年にヘルマン・ミンコフスキーが時空研究の基礎を築いて以来、時空平面上の点が時間軸（世界線に接する）に対して双曲直交するという概念は、時間軸に対する事象の同時性、すなわち同時性の相対性を定義するために用いられてきた。ミンコフスキーの発展においては、上記のタイプ（B）の双曲線が用いられている。^{[ 5 ]} 2つのベクトル（x ₁ , y ₁ , z ₁ , t ₁）と（x ₂ , y ₂ , z ₂ , t ₂）が正規（つまり双曲直交）であるのは、

${\displaystyle c^{2}\ t_{1}\ t_{2}-x_{1}\ x_{2}-y_{1}\ y_{2}-z_{1}\ z_{2}=0.}$

c = 1 でy s とz s がゼロ、x ₁ ≠ 0、t ₂ ≠ 0の場合、${\displaystyle {\frac {c\ t_{1}}{x_{1}}}={\frac {x_{2}}{c\ t_{2}}}}$。

漸近線Aを持つ双曲線が与えられた場合、Aに関してその双曲線を反射すると共役双曲線が得られます。元の双曲線の任意の直径は共役直径に反射されます。共役直径によって示される方向は、相対性理論における空間軸と時間軸として採用されます。ET Whittaker が1910 年に書いたように、「双曲線は、任意の一対の共役直径を新しい軸として採用し、これらの直径のいずれかの長さに比例する新しい長さの単位を採用しても変化しません。」^{[ 6 ]}この相対性の原理に基づいて、彼はラピディティを使用してローレンツ変換を現代的な形で書きました。

エドウィン・ビッドウェル・ウィルソンとギルバート・N・ルイスは、 1912年に合成幾何学の中でこの概念を発展させた。彼らは「我々の平面では、どの直交する（双曲線直交）直線のペアも、他のどのペアよりも座標軸として適しているわけではない」と述べている^{[ 1 ]。}

双曲直交性は、ローレンツ変換の直接的な幾何学的解釈を提供する。平面内のユークリッド回転は直交軸を維持し、円の方程式を保存するが、${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$）、ローレンツ変換は双曲回転（またはブースト）として働き、不変な時空間隔を保存します。

${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2}}$

• GD Birkhoff (1923) 『相対性理論と現代物理学』 62,3ページ、ハーバード大学出版局。
• Francesco Catoni、Dino Boccaletti、Roberto Cannata (2008)ミンコフスキー空間の数学、Birkhäuser Verlag、バーゼル。 38 ページの「擬似直交性」を参照してください。
• ロバート・ゴールドブラット(1987) 『直交性と時空幾何学』、第 1 章：アインシュタインの列車の旅、Universitext Springer-Verlag ISBN 0-387-96519-XMR 0888161 
• J.A.ウィーラー、C.ミスナー、K.S.ソーン（1973）。重力。WHフリーマン社、58ページ。ISBN  0-7167-0344-0。