アフィン平面（入射幾何学）

幾何学において、アフィン平面とは、以下の公理を満たす点と線の系である。^[1]

• 任意の 2 つの異なる点は、一意の直線上にあります。
• 任意の直線とその直線上にない任意の点が与えられた場合、その点を含み、かつ与えられた直線と交わらない唯一の直線が存在します。（プレイフェアの公理）
• 4 つの点が存在するが、そのうち 3 つは共線的ではない (単一の直線上にない)。

アフィン平面では、2つの直線が等しいか互いに交わらない場合、その2つの直線は平行であると言われる。この定義を用いると、上記のプレイフェアの公理は次のように置き換えることができる。^[2]

• 点と線が与えられた場合、その点を含み、その線に平行な唯一の線が存在します。

平行性は、アフィン平面上の線上の 同値関係です。

公理には点と線の関係以外の概念は含まれていないため、アフィン平面は入射幾何学に属する研究対象である。アフィン平面はプレイフェアの公理を満たす 非退化線型空間である。

よく知られているユークリッド平面はアフィン平面である。有限および無限のアフィン平面は多数存在する。体（および分割環）上のアフィン平面だけでなく、分割環上の座標から導出されない、これらの公理を満たす非デザルグ平面も多数存在する。モールトン平面はその一例である。^[3]

アフィン平面上の点の数が有限である場合、平面の 1 本の線にn 個の点が含まれるとすると、次のようになります。

• 各線にはn個の点が含まれ、
• 各点はn + 1行に含まれ、
• 全部でn ²個の点があり、
• 合計でn ² + n行あります。

数n はアフィン平面の 次数と呼ばれます。

既知の有限アフィン平面はすべて、素数または素数べき整数である位数を持ちます。最小のアフィン平面 (位数 2) は、ファノ平面から直線とその直線上の 3 つの点を削除することによって得られます。位数 3 の射影平面から始めて同様の構成を行うと、位数 3 のアフィン平面が生成されます。これはヘッセ配置と呼ばれることもあります。位数nのアフィン平面が存在するのは、位数nの射影平面が存在する場合のみです(ただし、これら 2 つの場合の位数の定義は同じではありません)。したがって、位数 6 や位数 10 のアフィン平面は存在しません。これらの位数の射影平面は存在しないためです。ブルック・ライザー・チョウラ定理は、射影平面の位数、ひいてはアフィン平面の位数にさらなる制限を与えます。

n次アフィン平面のn ² + n本の直線は、平行性の同値関係により、n本ずつのn + 1 個の同値類に分類されます。これらの類は直線の平行類と呼ばれます。どの平行類の直線も、アフィン平面の点を分割します。1 つの点を通過する n + 1 本の直線はそれぞれ、異なる平行類に属します。

n次のアフィン平面の平行類構造は、n − 1個の 互いに直交するラテン方格の集合を構築するために使用できる。この構築には接続関係のみが必要である。

アフィン平面は、任意の射影平面から直線とその上のすべての点を削除することによって得ることができ、逆に任意のアフィン平面を使用して、各点が平行線の同値類が交わる無限遠点である無限遠直線を追加することによって射影平面を構築することができます。

射影平面が非デザルグ平面である場合、異なる直線を除去すると、非同型のアフィン平面が生成される可能性があります。たとえば、位数 9 の射影平面は正確に 4 つ、位数 9 のアフィン平面は 7 つ存在します。^{[4]位数 9 の}デザルグ平面に対応するアフィン平面は 1 つだけです。これは、その射影平面の共線群が平面の直線に対して推移的に作用するためです。位数 9 の 3 つの非デザルグ平面のそれぞれには、直線上に 2 つの軌道を持つ共線群があり、除去する直線がどの軌道から選択されるかによって、位数 9 の非同型のアフィン平面が 2 つ生成されます。

射影平面Πの直線lは、軸lを持つ関係の群が平面Πからl を取り除いて得られるアフィン平面の点に推移的に作用する場合、並進直線と呼ばれます。並進直線を持つ射影平面は並進平面と呼ばれ、並進直線を取り除いて得られるアフィン平面はアフィン並進平面と呼ばれます。一般には射影平面を扱う方が簡単な場合が多いですが、この文脈ではアフィン平面が好まれ、アフィン並進平面を意味するのに単に並進平面という用語を使用する著者もいます。^[5]

アフィン変換平面の別の見方は、次のようにして得ることができる。V を体F上の2 n次元ベクトル空間とする。Vの広がりは、 Vの非ゼロベクトルを分割するVのn次元部分空間の集合Sである。 Sの要素は広がりの成分と呼ばれ、 V _iとV _jが異なる成分であれば、V _i ⊕ V _j = Vとなる。Aを、点がVのベクトルで線が成分の剰余類、つまりv + U の形式の集合（vはVのベクトル、Uは広がりSの成分）である入射構造とする。すると、次のようになる。 ^[6]

Aはアフィン平面であり、ベクトルwに対する変換 x → x + wの群はこの平面上の点に正則に作用する自己同型群です。

有限アフィン平面よりも一般的な入射構造は、次数nのkネットです。これは、次の式で表されるn ^{2 個}の点とnk 本の直線で構成されます。

• 平行性（アフィン平面で定義される）は、直線の集合上の同値関係です。
• すべての線にはn 個の点があり、すべての平行クラスにはn 個の線があります (したがって、各平行クラスは点集合を分割します)。
• 平行な直線のクラスはk種類あります。各点は、各平行クラスから 1 つずつ、正確にk本の直線上にあります。

次数nの( n + 1) -ネットは、まさに次数nのアフィン平面です。

次数nのkネットは、次数nのk − 2 個の相互に直交するラテン方陣の集合と同等です。

任意の体Fについて、Σ をベクトル空間F ^{2 n}のn次元部分空間の集合とし、その任意の 2 つは {0} でのみ交差する (部分広がりと呼ばれる) ものとします。 Σの要素と、F ^{2 n}内のその剰余類は、 F ^{2 n}の点上の変換ネットの線を形成します。| Σ | = kの場合、これは次数| F ⁿ |のkネットです。アフィン変換平面から始めて、平行クラスの任意の部分集合は変換ネットを形成します。

平行移動ネットが与えられた場合、ネットに平行クラスを追加してアフィン平面を形成することが常に可能であるとは限らない。しかし、Fが無限体であれば、| F |未満の要素を持つ任意の部分広がりΣを拡張することができ、平行移動ネットをアフィン平行移動平面に完成させることができる。^[7]

任意の有限な入射構造Mと任意の体Fの「線/点」入射行列が与えられれば、F上のMの行空間はC = C _F ( M )で表すことができる線形コードである。入射構造に関する情報を含む別の関連コードはCのハルであり、次のように定義される: ^[8]

${\displaystyle \operatorname {ハル} (C)=C\cap C^{\perp },}$

ここで、C ^{⊥ は}Cに対する直交コードです。

このレベルの一般性ではこれらのコードについて多くを語ることはできませんが、もし入射構造に何らかの「規則性」があれば、このように生成されたコードを分析することができ、コードと入射構造に関する情報を互いに収集することができます。入射構造が有限アフィン平面である場合、コードは幾何学コードと呼ばれるコードのクラスに属します。コードがアフィン平面についてどれだけの情報を伝えるかは、フィールドの選択に部分的に依存します。フィールドの特性が平面の順序を分割しない場合、生成されたコードは完全な空間であり、情報を何も伝えません。一方、^[9]

• π がn次のアフィン平面であり、F が特性pの体( p がnを割り切る)である場合、コードB = Hull( C _F ( π )) ^{⊥の最小重みは}nであり、すべての最小重みベクトルは、要素が 0 または 1 であるベクトルの定数倍です。

さらに、^[10]

• π がpの位数のアフィン平面で、F が特性pの体である場合、C = Hull( C _F ( π )) ^{⊥ となり、最小重みベクトルは}πの直線（の入射ベクトル）のスカラー倍数とまったく同じになります 。

π = AG(2, q )のとき、生成される幾何コードはq元リード・ミュラーコードです。

アフィン空間は、射影平面からアフィン平面を構築するのと同様の方法で定義できます。また、対応する射影空間を参照しない高次元アフィン空間の公理系を提供することも可能です。^[11]

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